題目分析

徐勇

摘? 要：在評講例、習題時，我們不應僅滿足于得到答案，或停留在糾錯的層面，還應該根據題目特點進一步挖掘與探究，努力從做對走向探究，拓展學生思維的深度與廣度，從而提升學生的探究意識和思維能力.

關鍵詞：數學思維;數學探究;學習力

做數學題，學生常常滿足于快速得出答案，這在限時考試環境中無可厚非，但在平時的學習中，我們對一些題目的解答不應僅滿足于得到答案，或是停留在糾錯的層面，可精選部分題目進行進一步的挖掘與探究.

數學探究是《普通高中數學課程標準（2017年版）》特別安排和提倡的一種學習形式，是圍繞某個具體的數學問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程. 通過數學探究能培養學生主動思考、敢于質疑、勇于創新的思維品質. 基于探究的數學課堂，會有廣闊的思維空間，常現鮮活的思維火花.

在一次模擬考試中，有一道解析幾何題學生得分較低，試卷提供的參考解答學生能看懂并理解，但若按參考答案評講試題，似乎不能充分挖掘其中的價值. 這道題中的橢圓定點、定值問題是一個很適合進行數學探究的素材. 于是在實際教學中，筆者引導學生對這道橢圓綜合題進行了深入探究.

師：總體來說，大家沒解好此題的原因有二：一是“懼”于大的運算量，信心不足;二是“礙”于思路不清，沒能打通條件到目標的思維通道.

二、調整視“序”得另解

師：以上參考解答中，點[M，N]是由直線[l]與橢圓相交得到的，我們調整點線形成順序，想一想還可以將點[M，N]看成是怎樣形成的.

師：這種解法雖然計算量很大，但是思路清晰，只用一個變量[k]來表示所用到的點，直接運用求根公式，想法簡單直接，但需要敢于運算. 還能變換為其他的視角求解嗎？

三、簡化條件悟本質

師：在解法2和解法3中，既沒有用到斜率[k，] 也沒有用到[t，] 即直線[l]是冗余條件，將它去掉可能更簡潔、處理起來更簡單.

師：橢圓具有對稱性，題中涉及兩個焦點，也有平行關系，能否從橢圓的對稱性角度對題目中的條件進行簡化？

生5：因為平行關系，我想將線段[F1M]平移到與線段[F2N]共線，這樣就不需要左焦點，問題變成常見的焦點弦問題.

師：利用對稱性，減少一個焦點，條件變成過右焦點的一條直線與橢圓形成的兩個點，問題就變成了典型的焦點弦問題，這樣使用根與系數關系就比較順暢，簡單易操作，運算成本更低. 此時，問題可以簡述為：過右焦點的直線與橢圓交于兩點，這兩點與橢圓右頂點連線的斜率乘積為定值. 為了進一步弄清問題的本質，試繼續探究這個定值與橢圓的方程有什么關系，這個定值又該如何表示.

師：這樣，我們就清楚了問題的來龍去脈. 橢圓中的定值與定點問題是個經典問題，我們能否對此問題進行逆向思考呢？

四、增加設問用信息

師：再回到原題，既然上述問題都可避開點[T，] 那么如何設問，才能切實地用上點[T.] 為了簡化，不妨將橢圓標準方程直接給出，在保留原題目第（2）小題的基礎上，在第（2）小題前再添加一道小題，將題中條件用足、用好.

涂榮豹教授提出“教會思考”，即教會學生提出問題，教會學生尋找方法，以及教會學生研究問題的“一般方法”. 在數學探究活動中學思考，有利于讓學生學會如何想得更清晰、更深入、更全面、更合理. 簡而言之，數學思維宜在數學思想活動中學會，數學素養宜在數學探究活動中形成. 數學探究活動并非一定要在每節課中都進行，我們可以針對學情靈活地選取合適的素材進行適時探究.

參考文獻：

[1]涂榮豹. 數學教學設計原理的構建：教學生學會思考[M]. 北京：科學出版社，2018.

[2]祁平. 基于探究的數學教學的哲學思索[J]. 數學通報，2014，53（8）：22-28.