基于Matlab的曲柄搖桿機構(gòu)參數(shù)化設(shè)計

李世文 王力強 潘鑫 譚積明 翰林 李國和

摘要：本文通過一個設(shè)計案例，論述如何利用Matlab 進行機構(gòu)的參數(shù)化設(shè)計，并應(yīng)用于實際作品中。理論聯(lián)系實踐，首先進行機構(gòu)整體設(shè)計，用數(shù)學(xué)公式推理出各參數(shù)的關(guān)系，再進行數(shù)學(xué)建模，綜合考慮各參數(shù)對運動的影響，進行合理優(yōu)化，完成參數(shù)化設(shè)計。

關(guān)鍵詞：曲柄搖桿;參數(shù)化設(shè)計;數(shù)學(xué)建模;實踐

中圖分類號：U463? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1674-957X（2021）05-0204-03

0? 引言

Matlab是美國MathWorks公司出品的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件，用于數(shù)據(jù)分析、無線通信、深度學(xué)習(xí)、圖像處理與計算機視覺、信號處理、量化金融與風險管理、機器人、控制系統(tǒng)等領(lǐng)域，應(yīng)用十分廣泛。對于產(chǎn)品設(shè)計，通常需要結(jié)合實踐經(jīng)驗進行總體設(shè)計，選擇合理的機構(gòu)、傳動形式、運動部件等，對于零部件具體尺寸、傳動比等則需要經(jīng)過準確的計算。對于同系列同類型的設(shè)計通常采用一個方案，對其中部分零件做優(yōu)化設(shè)計，從而滿足不同場合，不同條件下的應(yīng)用。比如大家熟悉的曲柄搖桿機構(gòu)，通過改變其中一個桿長或幾個桿長同時改變，其輸出軌跡會有很大差異。而這些桿長微小的變化不能全靠經(jīng)驗，需要進行準確的計算，并進行軌跡驗證，這就需要利用一款分析計算軟件結(jié)合設(shè)計實踐經(jīng)驗，進行合理的優(yōu)化設(shè)計。本文以一個實際案例介紹其具體應(yīng)用。

1? 總體設(shè)計

總體設(shè)計就是結(jié)合實際需要實現(xiàn)相應(yīng)功能，設(shè)計及選擇合理的機械結(jié)構(gòu)，組合成一個完整的運動機構(gòu)。本案例中需要設(shè)計一款純機械的三輪可越障的小車，要求小車有轉(zhuǎn)向功能，對比幾種常用機構(gòu)，選擇曲柄搖桿機構(gòu)作為轉(zhuǎn)向機構(gòu)，如圖1所示。

小車前輪為轉(zhuǎn)向輪，后輪為驅(qū)動輪，假設(shè)小車為一個質(zhì)點，其在固定驅(qū)動力作用下做周期運動，如圖2所示。

從圖2可以發(fā)現(xiàn)，其軌跡近似為正弦曲線，小車能夠通過方向控制機構(gòu)-曲柄搖桿機構(gòu)控制前輪周期性轉(zhuǎn)向，從而繞過圖中方格交點位置的障礙物。障礙物之間的間距是變化的，從700-1300mm。根據(jù)小車整體結(jié)構(gòu)的需要，根據(jù)經(jīng)驗總體設(shè)計一部三輪小車，其簡圖如圖3所示。

圖3中各零件尺寸需根據(jù)小車運動情況及繞過障礙物的間距的變化而變化，需要進行優(yōu)化。首先明確可調(diào)整部件及其運動關(guān)系，再用公式表達，用數(shù)據(jù)表達運動構(gòu)件之間的關(guān)系，就可以進行優(yōu)化了。從小車簡圖中可以發(fā)現(xiàn)，核心的機構(gòu)就是一個曲柄搖桿機構(gòu)，小車底盤與立柱組成支架，為固定件，曲柄長度與連桿長度可以調(diào)節(jié)，它們決定了搖桿也就是前輪的擺角。前輪為轉(zhuǎn)向輪，控制整個小車的運動軌跡，所以需要對這個曲柄搖桿機構(gòu)進行建模，通過計算進行優(yōu)化。

2? 軌跡分析及數(shù)學(xué)建模

根據(jù)設(shè)計方案，假設(shè)小車為一個質(zhì)點，則根據(jù)平面內(nèi)質(zhì)點運動規(guī)律。假設(shè)xOy平面內(nèi)的質(zhì)點P在t=0時刻的位置為;在任意時刻t速度矢量已知，為。如何確定質(zhì)點運動軌跡呢？小車近似看作自行車，若自行車前進方向不變，則前后輪都沿直線運動，二者軌跡（即車輪與地面接觸點的軌跡）在同一直線上;若自行車前進時前輪左右擺動，則前后輪軌跡不同。自行車前輪與后輪大小若相同，兩輪子軸的距離為定值L，即前后輪與地面接觸點之間的距離大小相同。后輪為主動輪，前輪可左右擺動，t時刻與后輪的夾角為？茲（t），左轉(zhuǎn)角度為正，右轉(zhuǎn)角度為負。在xOy平面內(nèi)，后輪在t時刻的位置用X（t）表示，前輪在t時刻的位置表示。自行車后輪旋轉(zhuǎn)線速度為定值，設(shè)為1，這里需要考慮幾種情況：

①在t時刻，前后輪的位置有何關(guān)系？寫出方程。

②在t時刻，用？琢（t）表示后輪運動方向與X軸正向的夾角，前輪運動方向與X軸的夾角如何表示？前后輪的速度矢量的關(guān)系是什么？前輪旋轉(zhuǎn)線速度多大？

③將前后輪的位置函數(shù)X（t），Y（t），與方向角？琢（t），？茲（t）等建立微分關(guān)系。

④假設(shè)t=0時，后輪的位置為X（0）=[0，0]T，后輪方向角？琢（0）=0;前輪方向角與時間的函數(shù)已知為？茲（t）=sint，t？叟0，L=1，研究前后車輪與平地接觸點的軌跡，給定初始位置和每一時刻車頭（前輪）相對車身的角度。

這里需要注意，車輪方向與軌跡切線方向相同，設(shè)后輪軌跡曲線X（s），參數(shù)為該曲線的弧長參數(shù)，故切線方向為X（s），已單位化，也是后輪的方向;按理說對時間求導(dǎo)才能用點，我這里為圖個方便前輪軌跡Y（s），它的切線方向，這里要單位化，因為參數(shù)只是與后輪軌跡弧長有關(guān)。這樣得到一個幾何位置關(guān)系：

其中L表示前后輪之間的距離，這是由自行車決定的，

令表示后輪與前輪的方向，則有姿勢關(guān)系：（1）

其中，？茲（s）表示后輪在s 時，前輪的偏轉(zhuǎn)角，左轉(zhuǎn)為正，右轉(zhuǎn)為負。

根據(jù)式（1）、式（2）兩方程就能決定車輪的運動軌跡。用角度表示方向，？茁（s）表示后輪的角度，？茲（s）表示前輪相對偏轉(zhuǎn)角，則前輪角度？茁+？茲，

基本微分方程：

（2）

后輪速度（3）

前輪速度，為單位向量（4）

其中，對（2）再求導(dǎo)，得即

求得此可得解幾個微分方程組成的方程組得到如下關(guān)系式：R：控制輪半徑，l：連桿長，r：曲柄長，R1：后輪半徑，W1=S/R1后輪轉(zhuǎn)角，W=W1 /（2.52·R1），控制輪轉(zhuǎn)動角度

3? 參數(shù)化設(shè)計

根據(jù)求得的參數(shù)表達式，編寫程序，用Matlab進行仿真優(yōu)化，程序如下。

function f=fun（s，X） % X=[x1，x2，y1，y2 beta]

global L? %L;%車前后輪距離

beta=X（5）;

V1=[cos（beta）;sin（beta）];%后輪方向

V2=[cos（beta+theta（s））;sin（beta+theta（s））];%前輪方向

T1=V2/cos（theta（s））;? ?%推導(dǎo)出來的

if abs（beta）<1e-1

T2=1/（L*cos（beta））*（T1（2）-V1（2））;

else

T2=1/（-L*sin（beta））*（T1（1）-V1（1））;

end

f=[V1; T1;T2];

function [Z，X]=funrtoz（RR）

global R L

zhuangju=900;%需要的樁距，調(diào)整

R=RR;

L=162;%前后輪中心線切點距離

X=[0;0];% X=[x1，x2，y1，y2 beta]

beta=0;

V1=[cos（beta）;sin（beta）];%后輪方向

Y=X+L*V1;

chuzhi=[X;Y;beta];

sspan=0：0.2：3000;

[s，X]=ode45（@fun，sspan，chuzhi）;

[Mp，t]=max（X（：，2））;

Z=X（t，1）-zhuangju;

function y=theta（s）? %車頭拐角

global R? % R 控制輪半徑

R1=139.69/2;%后輪半徑

r=64.76;%搖桿

%R=24;%控制輪半徑，待定

alpha=s/6/R1;

y=asin（R/r*cos（alpha））;%正號向左拐

global L

%L=162;%前后輪中心線切點距離

X=[0;0];% X=[x1，x2，y1，y2 beta]

beta=0;

V1=[cos（beta）;sin（beta）];%后輪方向

Y=X+L*V1;

chuzhi=[X;Y;beta];

sspan=0：0.2：3000;

[s，X]=ode45（@fun，sspan，chuzhi）;

plot（X（：，1），X（：，2），'b'，X（：，3），X（：，4），'r'）;

%z 控制輪半徑

global R L

L=162;%前后輪中心線切點距離

[RR，fz]=fzero（@funrtoz，30）;

[fz，X]=funrtoz（RR）;

[Mp，t]=max（X（：，2））;

DS=t*0.2'振幅：'

Mp/2'控制輪半徑：'

R=RR

將程序?qū)胲浖校\行并仿真，如圖4所示。

通過運行程序，可以繪制出小車運動軌跡圖形，結(jié)合實際運動情況，綜合考慮振幅的大小選擇300-400mm，振幅過大，可以有效躲避中間的障礙物，但能量相同的情況下，繞過的障礙物就會減少。同理，振幅減小，繞過障礙物會增加，但會更容易撞到障礙物，所以也要結(jié)合實際經(jīng)驗合理優(yōu)化。仿真運動軌跡如圖5所示。

障礙物間距范圍從700-1300mm，范圍很廣，如果全部按照一個參數(shù)選擇，個別部件尺寸會很極端，調(diào)整困難，參考普通車床變數(shù)箱工作原理，把一段范圍的樁距劃分為一組，使用相同的傳動比，曲柄變?yōu)榭烧{(diào)節(jié)的幾檔，這樣就可以解決這個問題了。因機構(gòu)中有齒輪傳動，所以傳動比為兩個整數(shù)的比，振幅在一定范圍內(nèi)，這樣就得到了這組數(shù)據(jù)。如表1所示小車參數(shù)表。

根據(jù)數(shù)據(jù)表中參數(shù)進行加工制作，裝配調(diào)試，完成小車的設(shè)計制作，如圖6所示。小車中三檔對應(yīng)的三組傳動比，可以繞過不同間距的障礙樁，這個小車經(jīng)過不斷優(yōu)化，參見了3屆全國大學(xué)生工程訓(xùn)練比賽，獲得三個全一等獎，2019年經(jīng)過優(yōu)化已經(jīng)可以繞過60余個障礙樁，獲得國賽特等獎第一名，可見優(yōu)化設(shè)計的重要性。

4? 總結(jié)

本文通過一個設(shè)計案例，論述如何利用Matlab進行機構(gòu)的參數(shù)化設(shè)計，并應(yīng)用于實際設(shè)計中。首先通過前期設(shè)計，明確基本設(shè)計方案，根據(jù)方案中各運動部件之間的運動關(guān)系，進行數(shù)學(xué)建模，編寫程序。Matlab編寫的程序可以方便的對機構(gòu)中變量進行修改，通過仿真繪圖直觀地觀察運動情況。再結(jié)合機構(gòu)運動情況，確定各結(jié)構(gòu)部件實際尺寸對整體結(jié)構(gòu)運動的影響，最優(yōu)化選擇。理論設(shè)計結(jié)合實際應(yīng)用，即不會讓設(shè)計停留在電腦上的設(shè)計圖，也不會花很多時間與經(jīng)費反復(fù)的去試做實物驗證。靈活合理的使用一個軟件工具，可以讓設(shè)計變得事半功倍，這種方法在參數(shù)化設(shè)計中有非常高的應(yīng)用和推廣價值。

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