基于幾何直觀的“線段垂直平分線性質的應用”教學實踐

周子敏

摘 要：通過探索垂直平分線性質的應用案例，從學會對比，尋找聯系和實踐操作這幾個角度發展學生的幾何直觀。

關鍵詞：中學數學;幾何直觀;學會對比;尋找聯系;實踐操作;

捷克教育家夸美紐斯在《大教學論》中寫道：“一切知識都是從感官開始”。在中學數學教學中，我們發現，由于青少年缺乏直接經驗，加之數學知識大都是遠離實際生活的，很多學生在課堂上的直觀感知，僅僅停留在正確地、如實地反映客觀事物，不能很好由感性思維發展到理性思維，從而難以構建數學直觀模型，在解決問題中遇到困難。

結合中學數學課程的特點，教師應從以下三個方面培養學生的幾何直觀。首先應考慮全面性。要求學生對于數學的圖形和符號表達性質觀察仔細、全面，注意到已知和求解有關的細節。其次應注重準確性。能辨別不同對象之間的差別，對觀察到的差別能進行自我分析和判斷。第三應體現創造性。能在別人也看到的現象中發現隱含的規律或者聯系，并得到相應的結論。教師在教學中，要根據教學知識目標的要求，結合教學內容的實際，按照以下三個步驟，培養幾何直觀。

一、學會標注，形象展示，注重對比

教學片斷1

如圖，AD⊥BC，BD=DC，點C在AE的垂直平分線上，

AB，AC，CE的長度有什么關系？AB+BD與DE有什么關系？

直接應用性質。對于線段BC，出現了線段的垂直平分線AD，可以直接得到AB=AC;對于線段AB，沒有出現線段垂直平分線，教師引導學生找到線段垂直平分上的點C，找到相等的線段AC=AE。把AB，AC，AE在ppt上用紅色的線段表示出來，使它們從題目所給的多條線段中突出出來，增加對比度，從而增強學生的幾何直觀。

二、強調目標，不斷尋找條件與結論之間的聯系

教學片斷2

如圖，AD⊥BC，BD=DC，點C在AE的垂直平分線上，

若AE=6，△ABC的周長是13，求△ABE的周長。

學生解法如下：

解：∵△ABC的周長是13

∴AB+AC+BC=13

∵AC=CE

∴AB+CE+BC=13即AB+BE=13

∴△ABE的周長為AB+BE+AE=13+6=19

圖形上標注的紅色線段還保留著，但學生卻不能直接“看出”結論了。此時教師引導學生將△ABC的周長與所求△ABE的周長表達式寫下來進行對比。學生發現△ABE的周長展開式中的AE已知，AB可以由前面的解答可以轉換成CE，只有有了明確的目標，才能很好地進行等量代換，從而簡潔的完成解答。

在課堂上更多的是那些眼看著圖，還是無從下手的學生。究其原因，并沒有將圖形與數學表達式結合起來，沒有建立兩者之間的聯系。這時候，需要教師耐心加以引導，從條件和結論兩方面出發，對照兩個三角形的周長表達式，讓學生從“圖形直觀”轉化為“幾何表達式的直觀”，幫助他們找到突破難點的辦法。解題完成之后，應再加以總結，形成學生的經驗總結，從而達到預期的效果。

三、重視畫圖，從實際操作中發展學生的幾何直觀

教學片斷3

如圖，直線l是線段AB的中垂線，P點在直線l的右側，則點P到A、B的距離有何關系？請寫出你的結論，并說明理由。

題目中出現了線段的垂直平分線，但并不直觀。在此題的處理上，教師指導學生把不明確的數量關系，用畫圖的方法直觀地表達出來，使學生的問題分析能力和解決能力得到提高。具體教學中采用了“問題串”的引導方式，使學生的幾何直觀與教師語言相結合，起到了較好的效果，具體實錄如下：

問題1：什么是“P到A、B的距離”？

生：線段PA與線段PB（ppt顯示連接線段PA與線段PB）。

問題2：現在的點P在線段的垂直平分線上嗎？

生：不在。

問題3：那垂直平分線的性質是不是就不能用了？

生：……

問題4：那我們可不可以在垂直平分線上找一點，用其性質呢？

生：可以。

問題5：找哪個點呢？

生：可以用線段PA與垂直平分線的交點（ppt用個笑臉顯示這個點，記為C）。

問題6：現在可以得到什么結論？

生：CA=CB

問題7：那么此時線段PA就轉化為？

生：PC+CB

問題8：它與PB有什么關系？

生：大于

問題9：為什么？

生：三角形兩邊之和大于第三邊。

問題10：請大家思考一下，剛才的分析怎么表達？

通過教師語言有針對性的引導，使得學生看圖的直觀感知更加有目的性，并且在這個過程中，讓學生體會到“找到線段垂直平分線上合適的點”，才能更好的使用線段的垂直平分線的性質，從而發展了學生的幾何直觀。

解題過程如下：

解： PA>PB

∵P點在l的右邊，連接PA，PB

則PA一定與l交于一點C

連接BC，∵CA=CB

∴PA=PC+CA=PC+CB>PB

即 PA>PB.

在日常教學中，常見的教學的直觀形式有：實物直觀、模象直觀和言語直觀等，它們能給學生提供“一手”的感性材料，用不同的感官刺激起到相互補充的作用。教師在教學中要耐心引導，選擇典型的教學例題，創建良好的探討情境，精心設計問題，借助現代信息技術，培養學生科學的觀察方法，引導學生有效的觀察和思考，結合問題使學生獲得幾何直觀和邏輯思維的感性認識，感知圖形和數學表達式的形態與變化，充分發揮學生的主體作用，在教學活動中積累“自己的經驗”，使學生的幾何直觀能力得到提高。

參考文獻

[1]《義務教育教學課程標準（2011年版）》人民教育出版社，2016

[2]方厚良、羅燦.談數學核心素養之直觀想象與培養.中學數學（高中版），2016（10）：39-40

[3]陸敏芳.初中數學：課堂教學為核心素養奠基—以“直觀想象”素養要素培養為例.數學教學通訊.2020（1月中旬）：34-36.