基于數學史的高中數學概念教學策略探究

陳瓊琪

摘 要：數學概念是數學學習的基礎，是培養學生數學能力的發源地。數學史記錄了數學概念的演變過程，蘊含了數學概念內容、思想和方法的發展過程。將數學史融入概念教學中，可以幫助教師拓寬視野，把握學情，改進教學方法，進而激發學生數學學習興趣，提升學生數學學習能力。

關鍵詞：數學史;高中;概念教學

一、問題提出

（一）一道練習題引發的思考

【2016—2017學年浙江省金華十校聯考高二上學期期末考試】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在CDD1C1所在平面上，滿足∠PBD1=∠A1BD1，則動點P的軌跡是（? ?）

A. 圓? ? ? B. 橢圓? ? ?C. 雙曲線? ? ?D. 拋物線

本題正確答案是D，在一次高三周測中，班級30名學生，答對該題的僅有10人。本題考查的是用平面截圓錐的截口曲線問題，此類問題是立體幾何動態問題中的熱點也是難點，而教材上沒有對這類問題的要求，由此引發筆者的思考：如何分析該問題學生易于理解？能否將該內容與教材內容有效地融合？

（二）一堂公開課帶來的啟發

筆者在一次活動中，聽了一堂《橢圓》的公開課，授課教師突破傳統教學設計，采用發生教學法，借鑒橢圓知識發生和發展的歷史，以球在太陽光下的影子為例引出橢圓，并在教師的啟發和引導下讓學生完成旦德林雙球實驗（即用一個與兩個圓柱（圓錐）的內切球都相切的平面截圓柱（或圓錐）），讓學生自主地發現“橢圓上點到兩定點的距離之和為常數（大于兩定點間的距離）”這一性質。進而，該教師設計繼續用圓錐內的旦德林雙球實驗，研究雙曲線和拋物線。通過三堂課的學習，與傳統教學設計相比，學生經歷了截口曲線的產生與圓錐曲線性質發現的過程，因此對平面截圓錐的截口曲線問題理解更深入，對橢圓、雙曲線、拋物線的性質掌握更到位。

這堂公開課給筆者帶來了啟發：1.上述練習題學生不會做的原因，是對橢圓、雙曲線、拋物線的概念理解不到位;2.教師在傳統概念教學中，“輕概念的形成過程，重概念的應用過程”，導致學生對概念理解不透;3.結合數學史的概念教學，追溯概念發生發展的過程，采用發生教學法，讓學生經歷概念的形成過程，能夠更好地掌握概念。因此，筆者對基于數學史的概念教學策略展開了一些思考。

二、策略探究

（一）新視角·新起點·新方法——基于認知的數學概念教學策略

1.數學史為概念教學展現“新視角”

教師在概念教學中，可以充分查閱數學史知識，找到與概念相關的數學家的故事，或者在數學史中與所學概念相類似的問題，在教學過程中，用數學家的故事引入概念，或通過解決數學史中的問題得出概念，可以減少學生對數學家的刻板印象，增加數學課堂的趣味性，拉近學生與數學的距離，給予數學更人文的一面。因此，數學史為概念教學展現“新視角”。

如：在《概率》教學時，可引用伽利略的故事：伽利略17歲那年，考進了比薩大學醫學專業。有一次上課，比羅教授講胚胎學，他講道：“母親生男孩還是生女孩，是由父親的強弱決定的。父親身體強壯，母親就生男孩;父親身體衰弱，母親就生女孩。”比羅教授話音剛落，伽利略就舉手說道：“老師，我有疑問。我的鄰居，男的身體非常強壯，可他的妻子一連生了5個女兒。這與老師講得正好相反，這該怎么解釋？”看完故事，讓學生思考“這該怎么解釋”，從而引進概率的概念。

2.數學史為概念教學搭建“新起點”

經常會聽到數學老師抱怨：“這么簡單的問題我都講了無數遍了，還是不會做！”教師所說的“簡單”是以自己的認知水平為基準，而不是以學生的認知水平為出發點，因此造成了學生對知識的理解障礙。教師應當根據學生現有的認知結構的水平和特點，把掌握數學概念，以及所蘊含的數學思想、方法作為教學的最主要目標。教師在備課前，先查閱相關的數學史知識，把握數學家在研究概念時的認知水平，教師在做教學設計時，以數學家發現概念的問題為切入點引入課題，并結合數學家們遇到的問題設計符合學生認知的提問，引導學生逐步解決問題，得出概念，進而提升學生的思維能力。因此，研究概念的歷史來源可以幫助教師掌握學生的認知水平，即數學史為概念教學搭建“新起點”。

如：在《數系的擴充與復數的引入》一節中，書本上給出思考題“x2+1=0在實數集中無解。聯系從自然數系到實數系的擴充過程，你能設想一種方法，使這個方程有解嗎？”，但是在學生的認知中，初中教科書已經明確了這個方程沒有實根了，為什么會提出這樣的問題呢？雖然在教師的認知中，這個例子很簡潔很契合虛數的引入，但是這與學生的認知形成了知識結構上的矛盾，會讓學生產生“難道初中學習的內容都是錯的”這種錯覺。在歷史上，虛數的引入并不是一帆風順的，從9世紀開始，數學家們認為負數開平方是不可能的，一直到16世紀至17世紀，數學家們對卡丹問題及三次方程實根之間的矛盾感到困惑，才逐步展開深入的研究并最終將問題解決。因此，通過虛數的發展歷史教師可以預見到直接讓學生解決方程x2+1=0根的問題，學生在認知上是很難接受的。因此，教師的教學設計可以讓學生重新體驗從自然數集到整數集到有理數集到實數集的擴充過程，進而理解引入復數的必要性。

3.數學史為概念教學定位“新方法”

學生學習概念的過程是概念的“再發現”過程。學生的學習可以借鑒概念的“發現”過程，創設問題情境，設置教學環節，在教師的引導下經歷概念的“再發現”過程，也即用“演繹法”展開學習，讓學生經歷數學家獲得概念的思維活動過程，自主地生成概念。不僅能幫助學生更好地理解概念，還能培養學生的數學思維能力，抽象概念能力，從而提升學生的數學核心素養。因此，數學史為概念教學提供“新方法”。

如：在《對數與對數運算》第一課時的教學中，教師可以結合對數的發現發展的過程展開教學，讓學生經歷對數概念的形成過程。基于數學史的《對數與對數運算》第一課時教學設計思路如下：

在對數概念的引入環節中，創設以下的問題情境：

觀察下列表格，回答以下問題：

（1）上表中的數有什么特征？

（2）如何利用上表求下列各式的值：16×128;256×4096;1048576÷1024。

（3）求下列式子的值：1）897×1048578;2）299792.468×31536000。

通過問題（1）（2）可以發現，上述表中的數據可以幫助我們快速地求解大數乘、除問題，將乘除變成加減，降低運算難度;由問題（3）發現上述表不能解決所有的大數乘除運算，因為表中的數據間隔太大，大多數的數很難找到對應的精確的冪指數，因此我們要改進數表。

蘇格蘭數學家約翰.納皮爾發明了上述數表，出版了《奇妙的對數定律說明書》，從而有了對數.

通過上述結合數學史的問題情境設置，讓學生經歷對數概念發生發展的過程，可以讓學生理解對數中的“對”即“對應”“相對”的意思，對數就是求指數的運算，對數的發明是為了解決16、17世紀約翰·納皮爾在研究天文學問題中遇到的計算問題。

（二）新魅力·新動力——基于激勵的數學概念教學策略

1.數學史為概念學習綻放“新魅力”

由于近幾年浙江高考制度的改革，高考數學也不分文理，對于偏文的學生而言，他們本身的數學思維能力抽象能力都偏薄弱，試卷的整體難度相比較文理分科時的試卷難度又有所增加，導致偏文學生聽不懂、學不會，漸漸地，更覺得數學枯燥，數學難學等。因此，教師可以用數學史來豐富課堂，讓抽象的數學課堂“活”起來，給數學課堂增加文化色彩;數學教師能像歷史教師那樣上知天文下知地理，講數學概念能說出歷史由來，在數學課堂上能自如地添加數學家的故事，他們便會對數學老師產生崇拜感，從而產生學習數學的欲望。因此，結合數學史的數學課堂，可以激發學生的學習興趣，從而使數學學習綻放“新魅力”。

2.數學史為概念學習激發“新動力”

在概念教學中，可以結合數學史對學生進行“示錯”教學，即在概念教學中，給學生展示數學家在數學史進程中給出的錯誤結論，以及數學家勇于提出問題、鍥而不舍地解決問題的過程，使學生認識到數學家發現數學概念的過程是曲折的，數學家也會像他們一樣犯錯，而且讓學生認識到一個概念的產生不是一蹴而就的，可能會經歷幾個世紀，才有數學家將問題解決，從而增強學生數學學習的信心，培養學生勇于提問、堅持真理、追求創新的品質。因此，數學史可以為概念學習激發“新動力”。

如，在學習了教科書上棱柱的概念之后，給出被稱為“幾何之父”的歐幾里得的著作《幾何原本》中對棱柱的定義：“一個棱柱是一個立體圖形，它是由一些平面構成的，其中有兩個平面是相對的、相等的、相似的且平行的，其他各面都是平行四邊形。”顯然，歐幾里得對棱柱的定義與教科書上給的定義是不同的，教師可以讓學生探究，舉出例子來推翻歐幾里得的棱柱定義。當學生舉出例子之后，再告訴學生，歐幾里得的定義是在公元前3世紀給出的，而到1876年才有數學家給出了歐幾里得不同的定義，一直到1916年才舉出推翻歐幾里得的棱柱定義的反例。當學生經歷了整個過程之后，不僅能更深刻地理解棱柱的概念，還能獲取成就感，增強學習數學的信心。

三、反思與結語

在實際的教學過程中，要使數學史在概念教學中發揮積極作用還存在以下問題：一是教學進度的壓力，一堂課僅有40分鐘，如果花過多的時間在概念的引入上，概念的應用就沒有時間，完不成教學計劃;二是數學史資料的匱乏，教師所知道的例子往往僅限于課本，網上的資源不完整，很難有效地與課堂結合;三是教師對于數學史的理解存在誤區，說到數學史教師往往會和數學家的故事聯系起來，數學家的故事只是數學史的一部分，數學史中更本質的內容是概念形成過程中蘊含的數學思想和方法。

數學史是理解數學的一種途徑，結合數學史，可以為教師展開概念教學提供“新視角”、“新起點”、“新方向”，可以為學生學習概念創設“新魅力”、“新動力”。在知識方面，讓學生經歷概念“再發現”的過程，經歷概念發生發展的過程，可以幫助學生理解概念;在能力方面，教師有效地把握學生的認知水平，設置恰當的起點（即教學的切入點），安排符合學生認知結構的知識發展過程，使得學生在問題解決過程中思維能力得到提升;在情感方面，通過數學家的故事，數學的文化色彩，激發學生學習數學的興趣和信心。

參考文獻

[1]章建躍.數學教育隨想錄[M].浙江教育出版社，2017：151-152.

[2]汪曉勤.HPM：數學史與數學教育[M].科學教育出版社，2017：19-22，451-452.