線性代數課程特點及概念淺析

司君如

摘要：對于非數學系的學生來說，大學數學課程中，線性代數是最為抽象的一門課，從初等數學到線性代數的思維跨度比到微積分和概率統計的思維跨度要大得多。很多本科生會覺得這門課很難理解，內容很抽象。本文從線性代數的三大基本概念出發，談一談在教學中如何由淺入深的引導學生理解這門課的核心思想。

關鍵詞：線性方程組;矩陣;向量

《線性代數》課程是理工和經管專業的本科生的必修課，一般放在大學一年級開設，在大學里它不需要先修課程。線性代數在自然科學和技術領域有著廣泛的應用，如計算機學、密碼學、線性規劃等都以線性代數為理論和算法的基礎。十九大報告指出，“推動互聯網、大數據、人工智能和實體經濟深度融合”，如果想從事數據分析或深度學習（人工智能的子領域）等新興行業，學好線性代數是先決條件之一。

縱觀國內教材，涉及的內容一般包括線性方程組、行列式、矩陣、向量、相似對角化和二次型，有些教材會涉及到線性空間和線性變換。因為內容抽象和課時有限等原因，往往很難在授課中講解線性空間和線性變換。一般我們可以把線性代數中的內容分成三個層次：1.線性方程組、行列式、矩陣、向量;2.特征值和特征向量、二次型;3.線性空間、線性變換。在難度上，這三個層次的內容是層層加深的。

從實際授課和學生學情來看，學生更擅長進行線性代數的數值計算，而對線性代數的理解往往不盡如意。因為就計算來說，《線性代數》只是規定了數字的算法或規則，這是連中學生也能勝任的事情。如果僅停留在計算層面，雖然應付考試沒有問題，但是從長遠來看，概念比計算更重要，很多考試得高分的同學仍然覺得并不能理解線性代數。在授課中，需要盡量從原理層和認知層去抽繭剝絲，向學生揭示一些底層的更本質的東西，而不是僅僅把定義告訴他們。

學生對線性代數的認知也可以分成三個層次。第一層次，線性代數就是解線性方程組，而向量、矩陣和行列式都為之服務;第二層次，線性代數的重點是向量，而向量是應用廣泛的一個數學工具，如深度學習背后的核心數據結構是基于向量的;第三層次，線性代數是關于變換的，核心是線性空間以及它上面的線性變換。在不同的認知層次下，學生對概念的理解會不一樣，隨著認知層次的提升，對概念的理解也會更深入，反之亦然。

在實際授課中，如何盡量去提升學生的認知層次是一個很重要的問題。本文打算以線性代數的三大概念——線性方程組、矩陣和向量為例，談一談在教學過程中以提升學生的理解力為目標，如何向學生盡可能的展示線性代數深刻的理念和獨特的思維方式，而不止于計算。

線性空間是研究空間里的向量（或點），線性變換是研究向量到向量的躍遷，線性變換是對線性空間里的向量進行作用，看看效果如何。我們從中學生都熟知的線性方程組出發，分成兩種路徑，最終這兩個路徑交織在一起。

本文以線性代數中的幾個基本概念為例，探討了教學過程中如何講授概念和概念之間的關系，并將這種關系盡量深刻的傳遞給學生，讓學生感受到線性代數作為現代數學的一個基礎工具和語言，對支撐其它學科起到了不可忽略的作用。

參考文獻：

[1]陳維新，線性代數簡明教程（第二版），科學出版社，2008.

[2]同濟大學數學系，工程數學：線性代數（第六版），高等教育出版社，2014.

[3]David C. Lay，線性代數及其應用（第三版），機械工業出版社，2005.

[4]Gilbert Strang， Introduction to Linear Algebra （4th Ed.）， Wellesley Cambridge Press，2009.

杭州電子科技大學教育教學改革研究資助項目，項目名稱：卓越理工科《高等代數》教學創新研究與實踐，項目編號：YBJG202148。