挖掘習題內涵提升訓練價值

苗培林

在蘇教版教材六年級下學期總復習《圖形與幾何》單元中有這樣一道習題：

在備課時，筆者經過精心解讀習題，挖掘其內涵，對這道習題進行了四個層次的處理，最終提升了這道習題的思維訓練價值，對思想方法進行了有效滲透，現將這道習題的設計與思考加以整理與同行共享。

第一層次：刪除增加，寓練習于探索實踐之中。

分別出示第一組題目：

（1）如圖1，在一塊邊長6厘米的正方形紙上畫一個最大的圓。這個圓的面積是多少平方厘米？這個圓的面積占正方形面積的百分之幾？

（2）如圖1，在一塊邊長4厘米的正方形紙上畫一個最大的圓。這個圓的面積占正方形面積的百分之幾？

（3）如圖1，在一塊邊長10厘米的正方形紙上畫一個最大的圓。這個圓的面積占正方形面積的百分之幾？

學生計算并交流。

師：比較這一組題目，你發現了什么？

圖1

生1：圓的面積占正方形面積的78.5%。

生2：生1的話不完全正確，應加一個前提，在正方形里畫一個最大的圓，否則結論就不能成立。

生3：我來總結，在正方形里畫一個最大的圓，圓的面積占正方形面積的78.5%。

分別出示第二組題目：(只列式不計算)

（1）如圖2，已知正方形的面積是20平方厘米。求圓的面積。

（2）如圖3，已知圓的面積是28.26平方厘米。求正方形的面積。

（3）如圖4，已知正方形的面積是20平方厘米。求涂色部分的面積。

（4）如圖5，已知正方形的面積是20平方厘米。求涂色部分的面積。

（5）如圖6，已知正方形的面積是20平方厘米。求涂色部分的面積。

（6）如圖7，已知正方形的面積是20平方厘米。求涂色部分的面積。

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

學生列式并說理由。

刪除“圓的半徑各是多少厘米”，基于以下三點考慮：一是學生在五年級學習《圓》單元時對這個最基本的知識點已經熟練掌握；二是在六年級復習《圖形與幾何》時已經對這個概念進行了再復習；三是在剛才計算圓的面積時也用到了這個知識。

增加兩組習題，因為如果按照教材來實施的話，對學生來說思維跨度比較大，不能深刻理解。增加第一組習題，讓學生經歷探索，不完全歸納出“在正方形里畫一個最大的圓，圓的面積占正方形面積的78.5%”。隨后再增加一組變式練習，使學生及時對這一結論進行鞏固和內化。這樣處理就能寓練習于探索實踐中，使學生做到探索與復習、知識與技能的有機融合，順利達成知識建構。

第二層次：整體推進，聚練習于思維遞進之中。

分別出示第三組題目：(只列式不計算)

（1）如圖8，已知正方形的面積是20平方厘米。求涂色部分的面積。

（2）如圖9，已知正方形的面積是20平方厘米。求涂色部分的面積。

圖8

圖9

學生列式并說理由。

師：從正方形里畫1個最大的圓，到正方形里畫4、9個完全一樣的圓，那么接下來可能在正方形里畫幾個完全一樣的圓？

生1：正方形里可以畫16個完全一樣的圓。

生2：正方形里可以畫25個完全一樣的圓。

師：為什么呢？

生3：其實是有規律可尋的：1 是 12，4 是 22，9 是 32，所以接下來是 42、52、……

師：除了這個外，再看看做的過程，你還發現了什么？

生4：我還發現所有圓的面積之和也是這個正方形面積的78.5%。

生5：我也是這么認為的。因為在正方形里畫幾個完全一樣的圓，可以當作把正方形平均分成幾個小正方形，小圓的面積就占小正方形面積的78.5%，那么所有圓的面積之和占大正方形面積的78.5%。

有了前面的鋪墊，學生初步建成了“在正方形里畫一個最大的圓，圓的面積占正方形面積的78.5%”這個模型，其實這個模型的內涵遠遠不止于此。筆者出示了教材所呈現的一組探索練習，這組練習又比前面的習題整體推進了一步，讓學生以積極的心態，根據剛才探索的規律和積累的經驗，嘗試解決新問題，同化新知識，并建構新模型，思維得到了遞進，創新能力得以培養。

第三層次：回顧反思，蘊練習于思想方法之中。

師：同學們，我們剛才做的題目其實就是數學課本第91頁第11題。

學生仔細翻看課本上的這道練習題。

師：我們又是怎么做這道習題的？

（教師依次出示下面圖形，幫學生回顧剛才做這幾組題目的過程）

師：對你的復習，有什么啟發？

生1：做題目的時候，不能只看表面，要深入思考。

生2：要會舉一反三。

生3：要把題目做“厚”。

復習的目的是鞏固所學的知識，形成技能，這只是淺層次的，更重要的是讓學生在教師的引領下學會自我復習。“授人以魚不如授人以漁”，教人知識，不如教人學會得到知識的方法。筆者讓學生先看教材上這道習題，再一起回顧課堂上做這幾組習題的過程，通過鮮明的對比讓學生強烈地感受到原來這道習題還可以這樣處理。然后面對教師的提問“對你的復習，有什么啟發？”學生恍然大悟，覺得自己以后在復習、做練習的過程中也可以像老師這樣，實現復習的自我拓展、自我發現、自我構建和自我反思，將復習知識技能轉化成思想方法指導。如果只進行單純的知識教學，學到的知識會隨著時間的推移而遺忘，而方法的掌握、思想的形成，才能使學生受益終生。

第四層次：拓展提升，融練習于知識整合之中。

師：如果讓你接著剛才的題目繼續往下想，你還會想到什么？

學生獨立思考。如果想不出來，教師可出示下面一兩道題目啟發學生思考。

（1）如圖 10，已知正方形的面積是20平方厘米。求圓的面積。

（2）如圖 11，已知長方形的面積是20平方厘米。求涂色部分的面積。

（3）如圖 12，一個底面是正方形的長方體，高為10厘米，底面正方形邊長為5厘米。如果把它削成最大的圓柱。求圓柱的體積。

圖10

圖11

圖12

通過前面三個層次的練習，看似結束，其實不然，這只是剛剛開始，為了使學生的思維向深度和寬度發展，整合知識，筆者最后拋出一個問題“如果讓你接著剛才的題目繼續往下想，你還會想到什么？”這一啟發就可能一下子把學生的思路打開，他們可能會由“在正方形里畫一個最大的圓”聯想到“在圓里畫一個最大的正方形”，由正方形聯想到長方形、三角形等平面圖形，由平面圖形聯想到立體圖形等等。這些聯想，看似偏離了教材原本的要求，但正是這種有意的偏離，才使得這一習題內在的思維價值充分彰顯，學生的數學思維能力得到了很好的提升。

習題的設計，既要考慮鞏固知識、形成技能的短期效應，還要在尊重數學知識本質的前提下，從完善學生的認知能力出發，從培養學生的思維能力出發，有意識地對習題內涵進行挖掘，把習題變“厚”，“借題發揮”，促進習題的功能最大化。