高考數學創新型試題類型探析

◇內江師范學院數學與信息科學學院 陳 朋 宋 浩 古 勇 徐小琴

創新型試題是考查學生應用意識和創新意識的重要題材，知識內容的基礎性、綜合性、應用性、創新性是高考命題新動向.創新意識是培養學生高階思維的途徑，對學生的創新思維的培養的主要途徑包括觀察、估算（直覺思維）；抽象、概括（抽象思維）；推理、證明（邏輯思維）.對數學知識的內化、融合、遷移、再造的能力是高考數學創新型試題考查的重點。對近年高考試題中的問題探究型、文化創新型、科技普及型、直覺思維型、動手操作型、立德樹人型、實際應用型、學習遷移型、課改導向型、核心素養型等創新型試題進行了歸納，以指導高三復習過程中注重對學生創新思維的訓練.

1 問題探究型

問題是數學的心臟，也是數學發展的動力.問題探究型試題考查形式多變，難度大，具有一定的技巧性，在解答時要通過分析、探索抓住有限的或隱含的條件，并運用類比、歸納、分類討論等數學思想對問題進行全面的考慮，能夠考查學生的發散思維能力和創新能力，這類問題主要有探究存在性問題、設計性問題、推廣性問題等類型.問題探究型試題是近年高考時試題的熱點與難點，主要考查學生分析問題、綜合運用知識的能力，同時也對學生猜想、假設、分析、證明的邏輯思維能力進行重點考查.

2 新定義型

“新定義”即為對概念、運算、法則、公式、定理加以定義，題目通常會給出一個陌生的“新定義”，學生要具有理解知識的概念、定理的能力和學習掌握的方法，才能對試題進行分析歸納，以此來找到解決問題的方法.學生在探尋規律和方法的時候，進而提高獲取新知識的能力.

新定義題型以學生現有的知識為基礎，將分類討論思想、數形結合思想、方程思想、函數思想等重要數學思想寓于其中，以不同的形式與角度來對學生進行考查.立足于基礎，但不拘于形式，是高考數學創新性的重要表現.

3 直覺思維型

直覺思維，指的是對問題的整體感知與頓悟，是未經過詳細思考或推算的思維過程，往往體現為直覺、感知、靈感.伊恩·斯圖加特說：“直覺是真正的數學家賴以生存的東西”，直覺思維是針對于研究對象整體上的把握，不專注于細節的推敲.正是由于思維的無意識性，才有更大幾率發現一些重大研究.直覺思維型試題突出對學生創新意識的考查，是對學生長期積累的數學能力的一種檢驗.直覺思維是快速解答高考數學創新型試題的利器[1].

例3（2017年全國Ⅰ卷-2）如圖，正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內切圓中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心對稱，在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是（ ）.

評析：本題是面積類的概率題，從圖形上看陰影部分的面積為圓的一半，可以假設半徑長度從而求出所求概率.另外還可運用直覺思維法進行求解，首先面積與圓有關，故可排除A、C兩個選項，其次從圖形直觀上陰影部分面積占正方形面積要小于，可以排除D選項，故選B.

4 動手操作型

動手操作型試題常常是以數形結合的思想解決，動手操作能有效地發揮學生的探究能力、觀察能力、空間想象能力，對于問題的簡化也具有良好的效果.動手操作是問題更加形象具體化，學生在解決時也會降低錯誤率.

5 立德樹人型

中國是一個有著悠久歷史的禮儀之邦，愛國是每個中華人民的責任和義務.近年來，高考題中常涉及到傳統文化和數學成就，明確地向考生傳達了民族情感意識和傳統文化元素.一方面是為了弘揚中國傳統文化，給學生傳播古代數學家的先進思想；另一方面，能有效地提高學生對數學的自信心和興趣，從而提高學生的綜合數學能力[2].

評析：本題選用了中國古代數學名著《數書九章》中的秦九韶算法問題，將此算法改編為流程框圖.秦九韶算法讓學生了解到了古代數學的先進思想，教會學生利用數學知識結合傳統文化，從多角度進行思考.該題是已知結論反推條件，從結論的形式便可看出本題的答案，這也顯示了命題的根本目的.

6 實際應用型

學以致用，是我們學習的根本目的之一.數學來源于生活，又可以解決生活中的很多實際問題.實際應用題主要考查的是學生綜合能力，這類經典題型既能考查數學抽象、數學建模、數學運算、數據分析等核心素養，又能考查學生的創新意識.高考命題重視對實際應用問題的考查，因此，歷年高考題中均有出現[3].

7 高等數學知識遷移型

授之以“漁”，新課改要求教學是讓學生學會學習，而不僅僅在于對知識點的掌握.素質教育對于學生自主學習能力和遷移能力有了更大的要求，以此強化學生的創新意識.此類試題通常以高等數學的知識為背景，對學生已學的數學思想進行考查，同時也是學習初等數學到高等數學很好的一種銜接方式.

8 課改導向型

新課程改革是為了在21世紀構建符合素質教育要求的教育課程體系.對課程目標、結構、內容、實施、評價、管理等方面進行了相應改善與加強.高考數學試卷常常通過實際生活中的一些典型問題，結合教材上相關的數學知識、數學思想和數學方法來進行設計試題的[4]。高考是具有選拔性的考試，而新課改下的高考更加注重學生的德智體美勞的全面考核.

9 核心素養型

教育部在2014年3月研制印發《關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》中提出“教育部將組織研究提出各學段學生發展核心素養體系，明確學生應具備的適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力”.新課程方案和課程標準在落實黨的十八大和十九大精神，加強中華優秀傳統文化和革命傳統教育，研制學業質量標準的同時首次提出重視并培養各學科核心素養.還應明確學生在學習該學科課程后需要形成的正確價值觀，以及必備品格和關鍵能力，這就需要教育者落實學科核心素養的培養，精選并重組教學活動，還要對考試評價提出建議.

高考數學創新試題類型多樣，還包括高等數學背景型、多想少算型、回歸教材型等，在高三復習過程中應加大對學生出基礎知識的鞏固及創新意識的培養，落實數學核心素養的生根.