整體架構視角下初中方程章起始課的實踐探索

沈虹

【內容摘要】初中方程這一單元的整體建構教學，其設置核心是幫助學生自主建構方程相關知識的框架，更為上位的整體規劃學生核心素養的發展，為一元一次方程的后續學習和其他方程的繼續研究提供方向、方法和動力。

【關鍵詞】整體架構 ?章起始課 ?方程

近年來，核心素養的研究與培養成為國際教育界的熱點問題。我國也明確提出了對學生發展核心素養體系的要求，學界再次聚焦單元整體建構教學，希望通過單元的整體設計落實核心素養的養成①。下面，筆者將結合自己在某次比賽中執教的“一元一次方程”章起始課，分享初中方程教學的整體架構思路和類比遞進式的教學方法。

章起始課是從數學知識的生長脈絡出發，根據教學規律，為整章知識構建了宏偉的藍圖，使學生了解一章內容或幾個單元內容的相關背景、應用價值，初步認識知識脈絡體系及其與其他知識的聯系②。本次方程章起始課的教學采用先行組織，類比思考，整體建構的思路展開，現將教學主要環節及相關分析呈現如下。

一、教材分析

蘇科版教材七年級上冊第4章“一元一次方程”，主要研究一元一次方程的概念、方程的解、解方程及其應用，它是課本第三章代數式的后面一個章節內容，可以理解為是對代數式的拓展與升華，也為后續研究不等式及其應用打下基礎，更為研究其他方程提供研究方向和方法。

二、學情分析

七年級學生的思維正從具象發展到抽象，而本節章起始課作為初中數學方程的第一節課，筆者認為很有必要通過設置一定的情境，讓學生主動感悟列方程的必要性和優越性。學生在學習本節之前已有如下知識經驗積累：（1）會通過設未知數列出簡單的方程（2）會通過等式的基本性質解簡單的一元一次方程（3）代數式的學習經歷概念、分類、代數式的值。

基于以上學情，筆者確定了本節課的研究路徑;類比已有的認知經驗，自主生成本節知識的大致框架。

三、教學目標

（1）初步認識、體會方程與現實世界的密切聯系;

（2）感悟方程的起源，了解一元一次方程的概念;

（3）建立初中方程體系的知識框架。

四、教學過程

（一）先行組織，學習回顧，感悟研究方程的一般方法

本次方程章起始課的導入考慮從第三章代數式出發，通過結合學生對代數式的分類，從而自覺喚醒學生的前經驗，尤其是回顧的情境中不僅包含整式、分式，更有方程、不等式的滲透，再通過結合生活中的等量關系與不等關系的大量事實，讓學生感受到生活中處處有方程，從而自然過渡到本屆新授課方程的研究。而方程研究的一般方法與代數式類似，甚至后續不等式的研究也是如此。

（二）為什么學，充分感悟方程研究的必要性

對于首次接觸方程和用方程解決問題的初中生來說，研究方程的難點在于對方程必要性的感悟和復雜情境中等量關系的尋找。本節課作為方程章起始課，讓學生感悟列方程的必要性是首要前提。而蘇教版數學書中關于“丟番圖的墓志銘”可以作為課堂探究的有效素材，該事例的引用不僅可以讓學生初步感受方程解題的優越性，還能在課堂中滲透數學史的教授。課堂中結合學生的反饋，可以了解到對于與數學重要公式相關或有杰出成就的數學家，大家還是較為熟悉，而對于國外的名人大咖還是了解較少，因此引導到大家并不熟悉的丟番圖，并介紹其墓志銘，自然過渡到丟番圖生平年齡問題的解決上。學生起初在本題的解決過程中還是躍躍欲試，其中用算術方法的同學約占全體一半，而能用算術方法解出本題的屈指可數;另外一部分則嘗試用方程的方法解題，其中能列出正確方程的也為數不多。最終，本題的兩種解法都由學生代表闡述，其中算術方法由于其逆向思維的運用要求較高，這也是部分同學沒有得到結果的原因之一;而方程思想的直接、簡潔是大部分同學都能接受的。因此本題所要達到的目的就在于此，充分凸顯方程解決問題時的便捷與有效，充分刻畫方程是表達數量之間相等關系的“天平”，從而逐步開始建立方程模型思想。

（三）什么是方程，初步構建探究方程內容的框架

想讓學生重新認識、重新接受方程解題，其實對于部分習慣算數方法解題學生來說是一個很重要的轉折點，小學數學的教學過程中，方程只是作為一種解題工具，大部分學生對于方程還是感到陌生和不便的。因此，對于方程的起源，筆者從“方”與“程”的來源探究，借此引入部分數學史內容，讓學生深層感知方程起源，并積發學習方程的興趣。中國古代在描述未知數表示的一組式子（即方程組）時，通過用算籌（古代一種計數工具）擺出各組系數，形成類似方陣的形狀，此為“方”的含義。我國古代數學家劉徽注釋《九章算術》說，“程，課程也。二物者二程，三物者三程，皆如物數程之，并列為行，故謂之方程。”數學史的滲透是學生數學素養的積累過程，再通過結合相關現實情境，列出一系列方程，其中包含一元一次方程、一元二次方程、一元三次方程、二元一次方程、三元一次方程、二元二次方程，通過小組合作探究以上不同方程的分類，利用不重復不遺漏的分類原則，及小組合作，匯總學生的不同分類標準，大致分為兩類，一類是按照未知數（元）的個數分類，可以分為一元、二元、三元……更多元等，另外一類是按照未知數的次數來分類，可以分為一次、二次、三次……更高次等，在該過程中，學生仿照未知數個數，提到未知數次數，而在此時，筆者通過引導3x+4y=20與xy=12的分類區別，幫助學生總結出這里的次數應該是“未知數所在項的次數”，這些話語的引導只需要借助第三章代數式的相關多項式各項系數的內容回顧，學生的前經驗就很容易被喚醒，并聯系到此次方程的概念教學中。掌握這部分內容，對初中整個方程體系的概念及概念的應用都可以運用類比思想學習。

（四）如何來學，有序展開一元一次方程內容的學習

初中階段的方程學習體現研究方法的一致性，這也是方程章起始課存在的價值所在。以上內容，由學生自主歸納總結出一元一次方程的特點，給出一元一次方程的概念，滲透從一般到特殊的思想方法，也是研究復雜問題往往從最簡單的類型著手的思維方式，再通過類比得出黑板上其他方程的命名，感悟從特殊到一般的數學思想。而丟番圖最后的年齡之謎則涉及方程的解和解方程，并最終通過方程建模解決實際問題中的各個難題。一元一次方程的研究思路“概念—方程的解—解方程—應用”與初中后續的二元一次方程和一元二次方程類似，在此加強學生對方程類比學習的意識，甚至在日后的不等式學習中也可以借鑒相關方法和思想。

（五）課堂小結，鞏固研究探究方程的活動經驗

這個環節代替了小結與思考，通過總結“實際問題—建立模型—求解驗證—解決問題”的探究思路，從而完成本節課的學習，也是一次初中生與數學建模思想近距離接觸的機會。本節課作為方程的章起始課，方法的教授明顯更重于內容的灌輸，對于活動經驗進行及時的總結，才能真正達到“授之以魚不如授之以漁”的效果。學生通過本節課的學習，已基本能掌握方程學習的一般思路，并通過類比代數式的學習，對整式方程、分式方程甚至不等式也有一定的了解，為后續方程的學習奠定扎實的基礎。

五、教學分析

（一）科學定位，內容重整，發揮整體建構功能

放眼長遠看全局，章起始課的教學對全節教學有提綱挈領的作用，能讓學生感受數學知識的整體性和系統性，讓學生明白本節內容的由來和學習的必要性，從而增強學生學習的主動性和自覺性。筆者在對蘇教版數學七上方程一單元的教學內容進行完全的解讀后，聯系之前所學的代數式、聯想后面要學的不等式，將部分代數式的研究方法正遷移到方程的研究中來，強化初中方程研究的一般思路的相似性，對教學內容進行整合、重組，學生能通過本節章起始課對本單元形成一個框架性認識，形成整個方程學習的認知地圖，養成了學生的全局思維能力，明確本單元后續階段學習的方向和研究方法。

（二）低位切入，引領學生數學思維自然生長

在章起始課的教學前，最重要的準備工作就是進行整體分析。根據學生實際，確定教學流程。只有全面了解學生的思維規律，把握學生的認知特點，才能真正地理解學生。對于初中方程的學習，學生既具備小學時學習方程的大致印象，又具備初中第三章關于代數式學習的相關經驗，因此筆者通過展示不同代數式，讓學生分類，通過學生前經驗的喚醒，低位切入本節課的教授內容，大大提高了學生的參與度和積極性。

（三）精準設問，遞進式教學促進素養提升

章起始課沒有文本教材可以依據，沒有傳統的教學目標可以參考，內容要涉及一章的核心知識和數學思想。除了給學生展示單元內容及其內在邏輯聯系外，還要體現本單元內容或相關內容的學習方法，從而引導學生學習該單元知識的基本方法。因此，章起始課的重要價值在于引導學生想要達到“欲窮千里目”的效果，此處需要“先上一層樓”，而在這里重要的登樓階梯就是課堂中一個個精準的設問。例如：問題1“你認為在這里只需要未知數的次數為1就是一次方程嗎？”這一問引導學生思考一元一次方程概念的表述需要更嚴謹，問題2“根據一元一次方程的研究思路，請你大膽猜測二元一次方程和一元二次方程的研究思路會是怎樣？”這一問則體現方程章起始課在初中方程教學中的引領作用。

六、結論與思考

通過本節方程章起始課的教學實踐證明，單元整體建構教學有利于學生先從宏觀上構建認知的整體方向，讓學生從整體上把握研究方向，研究路徑，進而習得學習方法。充分發揮正遷移作用，引領學生利用舊知得到新知。由于學生有了積極的情感，就可以實現減負增效的良性循環。而課堂中筆者恰當地運用多模態教學，通過相關視頻、圖片的展示，把抽象內容可視化，靜態內容動態化。雖然數學的內容很難通過一節課或一個知識點就將其本質表述清楚，但數學知識之間并不是孤立存在的，章起始課只需要讓學生經歷概念的形成過程，充分體會數學知識內部的邏輯聯系，對數學的理解深刻了，應用時才能得心應手，也就真正能達到從“數學知識”到“數學思想”再到“數學素養”的逐步提升，充分發揮數學學科的育人價值。

【注釋】

① 章飛、顧繼玲. 單元教學的核心思想與基本路徑[J]. 數學通報，2019，58（10）：23-28.

② 周遠方、方延偉、葉俊杰. “章引言”是起始課教學指路的明燈[J]. 數學通報，2015，54（5）：29-34.

（作者單位：江蘇省常州市東青實驗學校）