“猜想——驗證“在數學創新模擬教學中的運用

趙占國

美國著名數學家哈爾莫斯指出：“學習數學的唯一方法是做數學。”研究表明：人們在學習時，如果僅靠聽和看最多能獲取30%的新知，如果動手做的話，可以達到90%以上。這里的“做數學”實際上是數學的創新模擬。數學的創新模擬要求我們在教學中必須根據學生的實際情況、教學內容和教學環境創設賦予啟發的現實背景，喚醒學生，使其在自然情境中進行自主探究性學習，在“模擬”過程中積累經驗，親身經歷前人創造知識、發展知識和形成知識的過程，模擬前人的創新路徑，親身經歷體驗發現創造知識的歷程，并通過自己的深刻思考，在探索過程中，獲得自己的感受和理解并內化為自己的知識建構。將掌握數學知識、數學思想和數學方法與親身經歷融會貫通，在數學知識的創造過程中獲得快樂，感悟成功的喜悅，使學生的個性得到發展。下面就怎樣通過觀察、模仿、聯想、猜想、驗證等活動將思考方法交互整合，讓學生在研究數學知識、應用數學知識、創造數學知識的過程中獲得全面、持續、和諧發展，并依據培養小學生數學核心素養的要求，結合自己的教學與實踐初探，談一談“猜想——驗證”在小學數學創新模擬教學中的運用。

一、利用新舊知識之間的關聯引發學生思考，主動經歷“猜想——驗證”，促進學生在模擬的過程中創新

對于新知識與舊知識密切相關的內容，應創設一個引起興趣的問題情境，充分引導學生調動其原有知識和經驗，利用知識之間的合理聯系，把握新舊知識的聯系點，形成一個引導學生進行“猜想驗證”過程的引擎，促使學生利用原有知識和經驗，對問題提出假設驗證，然后從不同角度進行創新模擬，從而產生利用舊知識“創造”新知識的“正遷移”方式。

如，在探究“一個數除以分數的計算方法”教學時，在回顧“分數除以整數等于分數乘以這個整數的倒數”的基礎上，讓學生探究：“修路隊小時修路20米，1小時修多少米？”

引導學生根據“工作總量÷工作時間=工作效率”，列出解決問題算式：20÷，讓學生觀察發現：除數是分數，該怎樣計算呢？

學生甲：“可以把分數化成小數來計算，20÷=20÷0.4=50（米）。”

學生乙：“我不同意！因為當除數（分數）不能化成有限小數時，用這種方法就行不通。”

學生丙：“我們已經知道分數除以整數（0除外），用分數乘以這個數的倒數來計算。所以，猜想一個數除以分數只要用這個數乘以分數的倒數就可以了。”

即：20÷=20×=50（米）。

教師略顯疑惑并問道：這種猜想對嗎？怎樣驗證？以此來啟發引導學生探究“一個數除以分數”的算理與算法。（指導學生根據題意畫出線段圖，并根據線段圖來推算出1小時能修多少米？）

有學生觀察后發現：從圖中可以看出，如果把小時修的米數看作1份，那么1小時修的米數應該是20米的倍。求1小時修多少米，就是求20米的倍是多少。

又有學生發現：

從小時修20米，可以得到小時修：20÷2=10（米），1小時是5個小時就是：20÷2×5=20××5=20×=50（米）。

在學生的相互啟發下，還有學生發現：

可以利用商不變的規律，將除數乘得到1，被除數也乘，從而得到20÷=（20×）÷（×）=50（米）。

三位同學都從不同的角度對猜想進行了驗證，于是歸納得到：一個數除以分數的計算方法（用一個數乘以除數的倒數）。

以上分析過程，充分調動學生的學習積極性，通過“猜想——驗證”的過程，激發他們學習的積極性和主動性，使學生經歷從多角度進行探索新知的體驗;學生獲得了通過利用自己原有知識信息獲取新知的成功感受，增強了學生積極探索、主動交流表達、主動運用、主動完善的能力，使主動探索成為學生的需求和期望，從而引導學生在“模擬”的過程中“創造”新知。

二、基于和順應學生的思考現實，巧定式思考促成學生猜想并主動進行驗證

從學生的思維現實出發，尊重學生的想法，引導學生合理解釋自己的想法，使“猜想—驗證”的過程自然發生，并在驗證猜想的過程中有新的發現，在模擬的基礎上獲得新知。

如，教學平行四邊形的面積計算，理解和掌握平行四邊形面積的推導分析過程是教學之重點，啟發引導學生找到“新舊”知識的轉化是難點。教學過程中，同時出示一個a=6 cm，b=4 cm的長方形和一個平行四邊形（a=6 cm，h=4 cm，b=5 cm），問：誰的面積大？一名學生“堅定”表示：長方形的面積=長×寬：6×4=24（cm2），我猜想平行四邊形的面積是兩條鄰邊相乘的積：6×5=30（cm2）。

然后詢問：你是怎么認為的？學生：根據長方形的面積=長×寬，猜測平行四邊形的面積也可能是相鄰邊的乘積。

老師不急于否認，對學生的積極思維給予肯定：同學們運用原有知識做出大膽的猜測，這種學習精神很值得鼓勵。那么，這種猜想是否正確呢？下面請大家一起來進行驗證。

首先問：要知道哪個圖形的面積大？該怎么辦呢？

有學生說：可以用數方格的方式來比較分析它們的大小。通過數發現：長方形共有小方格6×4=24（個）;平行四邊形中可直接數出有18個整格，不滿一格的通過拼一拼，一共可以拼出6個，這樣18+6=24（個）。

然后繼續問：對于這個平行四邊形，是否有更好的方法來計算小方塊的數量？然后，一個學生發現，通過沿高剪切，將其平移，然后拼接在一起，它們就可以形成一個長方形，并快速數出它的24個小方格。這時教師順勢而問：通過剛才數方格的操作，你發現了什么？使學生明確：長方形和平行四邊形都含有24個面積單位，面積都是24 cm2。發現平行四邊形面積計算的猜想是錯誤的，而且相鄰兩邊相乘的積大于實際面積。更重要的是，學生發現平行四邊形可以變換成長方形，變換后形狀變了，但面積沒變。并從數方格的過程中獲得計算平行四邊形的面積的發現。

本教學案例，從學生的實際思維出發，順應學生的思考現實，巧借學生的定式思維促進猜想，然后從多個角度、多種方式進行探索和驗證，通過驗證發現猜想錯誤的同時獲得正確的結論并打破學生的定式。使不同層次的學生有機會發現和創新，培養學生良好的思維品質。更有價值的是驗證過程中巧妙地滲透了轉化的數學思想。為學生后續的學習創造了條件。

三、根據對問題解決過程中發現的規律進行合理假設驗證，使思維更具深度和廣度，培養模擬創新能力

小學數學中許多有價值的數學規律都源于解決實際問題過程中的發現。因此，在解決問題教學的過程中既要注重算理和發現規律，又要合理估計結果，并能根據估計結果和條件作出猜想、推廣，使學生逐步具備能從不同視角將觀察、分析、假設、驗證等方法有機融通，在發現問題、提出問題和解決問題的過程中，培養學生思維的靈活性和創造性。

如，“乘法分配律”的教學，學生從觀察解決實際問題而得到的兩個等式中，發現“兩個數的和與一個數相乘，可以先用這兩個數分別與這個數相乘，再把所得的積相加，結果不變，即“（a+b）×c=a×c+b×c”的計算規律時，放手讓學生舉例對發現的規律進行驗證，在驗證的基礎上鼓勵學生大膽猜想：根據剛才的發現，你還能想到什么？于是便有學生提出：“當兩個數的差與一個數相乘時，即（a-b）×c，也具有這樣的規律。”這時候，舉例驗證便成為自覺，通過舉例驗證，發現猜想是正確的。此時成功的體驗使學生興趣盎然，多個數相加（或相減）與一個數相乘，即（a±b±c）×d也滿足這一規律，繼續猜想便成為學習的自然。通過這一系列猜想與驗證，使學生的思考更加深刻和全面，創新模擬能力得到培養。

總之，數學猜想是一種數學想象力，即人類探索數學規律和本質的思維策略。它是基于已有的事實和經驗，是一種通過非邏輯手段獲得的假設，屬于合理推理。若邏輯體系表現為：從問題的提出—反復思考—聯想、感悟—提出假設—驗證結論等關鍵過程是其基本思維模式。