數學多元表征：重塑課堂新樣態

姚丹

在數學教學中，教師面臨的一方面是活潑好動、以直觀思維為主的小學生，另一方面是充滿嚴謹性和抽象性的數學學科。如何在這兩者之間搭建橋梁？數學多元表征恰恰是一種很好的方式，學生通過多元表征能將已有的學習經驗融入新的學習過程中，不僅可以讓學生經歷數學知識的再創造，還可以讓思維方式以表征的形式顯現出來，實現思維的可視化。

一、 溯源：數學多元表征學習的現實基礎

數學多元表征學習就是將數學概念、定理、性質的學習內容與學生已知的文字、符號、圖像、模型等建立聯系的過程。蘇教版小學數學教材將內容分為“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”和“綜合與實踐”四大板塊，教材中每個板塊都蘊含大量的表征元素。

新課程標準明確指出，數學是研究數量關系和空間形式的學科。表征的合理使用就是鼓勵兒童用已知去探究未知，用簡單去化解復雜。但表征的使用并非單一的，需要學習者從多角度去描述，盡可能逼近學習對象的真實屬性，因此多元表征的應用便是應然之選。

根據依賴的對象不同，兒童思維可以分為直觀動作思維、具體形象思維和抽象邏輯思維。以“分數的初步認識”一課為例，學生可以用自己喜歡的方式表示分數，有的學生用小棒擺，有的學生畫圖表示，有的學生則用語言來表述。教師要重視并利用這種差異，讓不同的學生得到不同的發展。

二、 建構： 數學多元表征的學習機制

認知心理學認為表征是指用一種形式將另一種事物、想法或知識重新表現出來的過程。數學多元表征的含義是指某個學習對象的多種不同表現形式，將該概念引入兒童的數學學習過程中，就可以將其闡述為用兒童的視角去理解數學知識，然后用語言描述學習對象，最終構建知識體系。小學階段常用的多元表征有實物表征、圖形表征、語言文字表征和符號表征等。

小學生接觸的學習材料往往具備引發學生直觀感知的特點，而感知到的內容的多少在很大程度上受學習材料表征結構的影響。學習材料呈現的圖形表征較多，有助于學生的直觀理解;學習材料的文字表征或符號表征較多，學生獲取信息的難度就會增加。

當學習材料的表象初步進入學生的頭腦后，會喚醒學生記憶中存儲的有關知識或方法，學生就能在已知與未知之間建立聯系。例如，在教學“解決問題的策略——列舉”一課時，面對“王大叔用22根1米長的柵欄圍一塊長方形花圃，怎樣圍面積最大？”這個問題，學生選取的表征方式不盡相同。極個別學生選取了實物表征，用小棒去圍;有的學生選取了圖形表征，在方格紙中畫;有的學生選取了符號表征，直接列出計算面積的算式。每種表征形式都反映出學生對情境中的已知信息進行了加工，將一個生活中的問題轉化成了一個數學問題，并嘗試建立模型。

三、 尋繹：數學多元表征學習的意蘊

多數的數學概念、性質、規律等都具有一定的抽象性，單一表征很難全面、完整、精準地使學生把握學習對象的要義。有的表征便于直觀理解，有的表征便于邏輯推理，有的表征便于計算記憶，如果將不同類型的表征組合起來，便可以較為系統地建立知識結構，引導學生抽絲剝繭、循序漸進地發掘知識的內涵，做到“知其然，更知其所以然”。

多元表征間的關系并非彼此孤立，而是相互聯系、相互轉換的。在小學階段，教師經常采用實物表征、教具模型表征幫助學生理解，逐步建立學習對象的符號表征、語言文字表征，當學生對知識進行吸收后，又會以圖形表征等形式進行存儲。例如，常見的思維導圖就是以圖形表征的形式建構關于某單元、某章節或某板塊的知識結構，不同的表征形式代表了不同的思維方式，學生在選擇表征方式時，如果能建立起不同表征之間的聯系，則能鍛煉思維的靈活性和創造性。

深度學習的核心是思維的深入，在教學中，常常出現學生“蜻蜓點水式”的思考方式，他們只注重知識的表象，表現出來的就是他們只使用某種熟悉的表征形式而不使用其他不熟悉的表征形式進行學習。數學教學應該培養學生面對不同問題時能采取不同的方式去解決的能力，將學生的思維引向深處。

（作者單位：江蘇省南京市將軍山小學）