初中數學“認識封閉”突破策略研究

劉立萍

[摘? 要] “認識封閉”是課堂教學和應試考查中時常出現的現象，筆者在一次講評課中通過一道典型的變式易錯題就看到了認識封閉現象的體現. 在這次講評課之后，筆者就課堂中體現的認識封閉現象進行了深刻思考：認識封閉現象發生的原因是什么？該如何去面對和處理？

[關鍵詞] 認識封閉;現象成因;思考面對

變式易錯題顯示的“認識封閉”

現象

例1 如圖1，已知銳角三角形ABC和銳角三角形DEF，給出下列四組條件：

①AB=DE，BC=EF，AC=DF;

②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF;

③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F;

④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E.

其中，能使△ABC≌△DEF成立的條件共有（? ? ）

A. 一組? B. 2組? C. 3組? D. 4組

這是一道典型的變式易錯題，該題的原題來自某地區中考試題第7題，該題進行了簡單的變式——原題沒有“銳角三角形”的說明，是命題者設置的陷阱還是命題疏忽，現在已無處了解. 此題變式后可以有效地考查學生對全等三角形判定方法的理解和掌握的情況. 當學生做到此題時，不少學生選擇了錯誤答案C，只有少數學生選擇了正確答案D. 此題給出的四組條件中，前三組條件分別是“SSS”“SAS”“ASA”能判定兩個三角形全等的條件，而第四組條件對學生來說（甚至部分教師和一些教育資料），則是不能判定兩個三角形全等的條件“SSA”. 其實，在圖1中分別以邊BC和EF（或邊AB和DE）為底作兩個銳角三角形的高，可以通過第四組條件證明△ABC≌△DEF.

當教師公布正確答案是D時，選擇答案C的學生一臉茫然：老師不是講過“SSA”不能證明兩個三角形全等嗎？怎么現在又可以了？接下來，教師通過作高說明了為什么“SSA”可以證明兩個三角形全等. 那么，學生為什么會將“不一定能”理解為“不能”呢？這種認識封閉現象是如何產生的？這是否與教師教學有關系？

幾種典型的認識封閉現象和相

應的突破處理

1. 過度強化正反例，缺乏相互連接的認識

前文講到，在判定全等三角形的方法中，不少學生會經常將“SSA”認為是不能判定兩個三角形全等的條件，這種觀念的產生跟教師教學和習題考查有重大關系. 首先，教師在教學中過度強調能判定三角形全等的幾個方法——“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”等，和不一定能判定三角形全等的方法——“SSA”，這種直觀感知和形象導入，使得“SSA”與其他幾種判定三角形全等的方法產生了正反對立的關系. 這種關系一旦輸入了學生的頭腦中，就將“能”與“不能”的對立關系轉化為了“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”與“SSA”的對立關系. 另外，加上教師為了讓學生區分“SSA”和其他幾種判定方法的不同，會過度設定滿足條件“SSA”的三角形不全等的例題或習題，造成特殊情況下滿足條件“SSA”的三角形也可能是全等的認識缺乏，使得學生產生了認識封閉. 這樣，過度強化正反例，缺乏特殊情況下相互連接的認識，是典型的認識封閉現象之一.

對這種現象的發生進行深刻思考，其主要原因是師生的心理暗示和思維定式：因為“SSA”的不確定性，所以不會用“SSA”來證明兩個三角形全等. 在課堂教學中，最容易、最常見發生的心理暗示和思維定式是“這樣會，那樣不會”“這樣行，那樣不行”，正是課堂教學這樣思維意識的導入，造成了一種思維習慣——注重確定性的認識，缺乏不確定性的認識. 這種思維習慣，可以說是心理暗示和思維定式的另一種輸出形式——忽視了不確定性仍然是客觀事物的本質. 因此，要避免這種現象的發生，最簡單和快捷的手段就是通過沖突設計讓學生產生質疑，通過質疑引發思考，將不確定性這個事物本質輸入學生頭腦，這將是避免這個認識封閉現象發生的起始點和結合點.

2. 知識重點偏移形成的認識封閉

對大部分數學教師而言，長期的教學經驗使得其對知識重點的掌握可以說是駕輕就熟的，但也因為如此，使得其對知識重點的運用產生了“燈下黑”的現象. 本文所提及的知識重點偏移主要就體現在知識的重點運用——題型設計之上，這恰恰是大部分教師甚至命題者容易忽視的認識封閉. 以下面這道中考題進行說明.

例2 方程組2x-y=3，x+2y=4的解是（? ? ）

A. x=1y=2 B. x=2y=1

C. x=1y=1 D. x=2y=3

這是一道求解二元一次方程組的中考題，按照新課標的要求，教師選用此題的用意是借用此題考查學生對二元一次方程組的解法（導入消元法、加減消元法）的掌握情況. 但是學生在解答本題時，其實并不需要掌握二元一次方程組的解法也是可以得到正確答案的：將四個答案逐一代入方程組即可得出正確答案. 很明顯，這樣的解題方式并不能通過試題考查反映出學生掌握二元一次方程組解法的真實水平. 這樣的案例在數學教學中是屢屢可見的. 因為題型設計而導致知識重點偏移，無意中就產生了認識封閉現象，可以說，這個認識封閉現象是前后各典型現象中隱藏最深、最容易被忽略掉的一個.

那么該如何避免這種認識封閉現象的再度發生呢？筆者認為，教師在題型設計時，應該遵守以下三大原則：（1）了解各題型的特點并明確考查的知識重點，相互融合后進行題型設計. 在初中試題中，題型一般指單項選擇題、填空題和應用題. 單項選擇題具有提示性，主要用于量化問題、辨析問題、思辨問題和數形互化問題等;填空題的形態一般短小精悍，答案簡單、明確，主要用于推理計算、概念判斷等問題;應用題是綜合性和復雜性最強的，主要用于考查數學思想和方法，其解答過程能夠體現不同學生的思維層次. 通過各題型的特點的了解和掌握，教師在明確了考查的知識重點之后就可以選擇適當的題型. 比如二元一次方程組需要考查的重點是其解法，這就更加適合填空題和應用題. （2）以學生的角度進行題型設計. 即站在學生的角度設計題型，符合學生的認知規律，讓學生保持獨立思考的習慣，盡量避免讓學生產生僥幸心理，要保持剛性需求（基本知識和基本技能）的比例，但不能缺乏彈性要求（發散思維）. （3）試題考查后的反思. 反思結果由師生共同總結完成：教師方面，以同行的評價為主，主要針對題型和知識點的融合度，題型對知識點表現程度的作用，以避免個體認識封閉. 學生方面：可以要求學生寫一份習題報告，主要針對解題方法（不要求解題過程）和解題感受，不建議寫得太難. 學生作為教育對象，其反饋是打開認識封閉的一扇窗.

3. 思維單一造成認識封閉

在解決問題時，人們總是喜歡簡潔、輕松的辦法. 在數學教學中，師生也總是喜歡用這樣的方法來解決問題，這就是所謂的“經典的方法”，長此以往，就會造成思維的單一化，以至于在解決問題時，總是想著找“經典的方法”而忘記了問題的本質，結果就是基礎不牢固，思維無法突破限制，特別是針對開放性問題，其突出的非常規性、發散性等特征，更需要學生牢固掌握基礎知識，否則就易形成思維單一的認識封閉.

例3 在一張紙上，挖出一個直徑為2厘米的圓，現要求將一塊直徑為3厘米的硬幣穿過去，你覺得可能穿過去嗎？如果可能，應該怎么做？

這是一道典型的開放性例題，如果按照常規的、單一的思維去思考問題，那么答案就是“不可能”，因為紙上圓的直徑小于硬幣的直徑，大圓不可能從小圓中穿過. 但如果學生能體驗到圓的對稱性，將圓對折后盡量拉直半圓弧，使得半圓弧的長度接近π，由于π>3，因此可以將直徑為3厘米的硬幣穿過去.

從這個例題可以看出，學生的發散思維或多維度思維是必修建立在基礎知識的掌握上的，對學生“四基”的培養不是“經典方法”所能支撐前行的，這在教學中應該引起我們教師的重視. 在筆者看來，思維單一還有另一個隱藏屬性——思維定式，在學生學習和發展過程中其弊大于利，是形成學生認識封閉現象的常見原因之一. 因此，讓學生從多角度思考、解決問題，是避免認識封閉現象發生的實踐手段. 比如，加強變式教學，避開單一、定式的思維;培養學生自主總結思想和方法的習慣，多講授一題多解的思路，以強化學生的發散思維;注重訓練學生的逆向思維，讓學生體驗到多維度思維并不是只指正向思維的發散，還包含了逆向思維的發散，從原本的思維訓練落實發散思維.

結語

無論是在傳統教學中，還是在現代教學中，認識封閉現象不可枚舉，不僅發生在學生身上，不少教師自身也多有體現. 筆者所列舉的三種現象可以說是微不足道的，需要不同階段、不同年齡、不同教育經驗的同行們共同剖析，發現問題并解決問題同樣是我們教育者的目標之一. 謹以此文拋磚引玉，期待同行們就認識封閉現象探討實踐經驗.