借助圖形直觀 培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力

陳玉華

（福建省福州市茶園山中心小學(xué)，福建福州 350002）

引 言

幾何直觀能力是指學(xué)生觀察幾何圖形的形象關(guān)系，在直接感知、整體把握的基礎(chǔ)上，研究數(shù)學(xué)空間形式和數(shù)量關(guān)系的能力[1]。本文以人教版二年級(jí)上冊(cè)“求比一個(gè)數(shù)多（少）幾的數(shù)是多少”教學(xué)為例，談一談在第一學(xué)段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)如何借助圖形直觀的觀察、操作等具體的感知活動(dòng)，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)、尋找解決問題的思路，培養(yǎng)他們借助圖形解決實(shí)際問題的能力。

一、指導(dǎo)有序操作，獲得過程體驗(yàn)

學(xué)生不了解“幾何直觀結(jié)果”得出的過程，就無法擺脫抽象圖形的束縛。在人教版二年級(jí)上冊(cè)“求比一個(gè)數(shù)多(少)幾的數(shù)是多少”一課的教學(xué)中，教師可出示一幅“學(xué)校衛(wèi)生評(píng)比活動(dòng)粘貼小紅旗”的情境圖，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圖中的數(shù)學(xué)信息提出問題，進(jìn)而運(yùn)用具象性的直條圖，幫助學(xué)生搭建起從文字到線段圖的思維橋梁。

在教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手“擺一擺”并思考：一班得到了12 面衛(wèi)生評(píng)比小紅旗，二班比一班多得3 面衛(wèi)生評(píng)比小紅旗，你會(huì)怎樣擺二班的小紅旗，讓大家一目了然地看出二班得了多少面小紅旗呢？學(xué)生通過借助學(xué)具，動(dòng)手?jǐn)[一擺，思考并感悟到，要想一目了然地看出二班的小紅旗數(shù)量，應(yīng)做到上下一一對(duì)應(yīng)。

二、指導(dǎo)動(dòng)態(tài)觀察，形成結(jié)構(gòu)表象

眾所周知，許多數(shù)學(xué)結(jié)果是“看”出來的，“看”的能力其實(shí)就是一種直覺判斷能力，它是思維高度簡(jiǎn)化的過程，這種思維高度簡(jiǎn)化的過程又建立在觀察和思考的基礎(chǔ)上，是一種思維的靈感和頓悟。由此可見，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)不斷提高學(xué)生的幾何直觀能力。因此，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在動(dòng)手操作的同時(shí)，進(jìn)行有效觀察和思考。

教師出示圖1 讓學(xué)生猜一猜三班得了多少面衛(wèi)生評(píng)比小紅旗，并說明原因。根據(jù)圖片上下對(duì)齊，學(xué)生猜想：因?yàn)橐话嗟昧?2 面小紅旗，兩個(gè)班得到的小紅旗數(shù)量同樣多，都是12 面。教師質(zhì)疑：三班的小紅旗數(shù)量是不是真的有這么多呢？教師從右邊揭開三班的長方形紙條的一部分，得到圖2。學(xué)生通過觀察，很快發(fā)現(xiàn)三班的小紅旗數(shù)量小于12 面。在此基礎(chǔ)上，教師組織學(xué)生進(jìn)行第二次猜想：想一想，三班的小紅旗數(shù)量是多少面，并說明理由。學(xué)生認(rèn)為：三班比一班的小紅旗數(shù)量少1，三班的小紅旗數(shù)量最多是11 面。這時(shí)，教師繼續(xù)從右邊揭開第二行的長方形紙條的一部分，得到圖3，追問：現(xiàn)在你們認(rèn)為三班的小旗數(shù)量可能是多少面？三班的小紅旗數(shù)量和一班的相比有什么關(guān)系呢？你能用直條圖表示出來嗎？學(xué)生嘗試在自己的本子上畫圖，第一行畫一班得到的小紅旗，第二行畫三班得到的小紅旗，除一一對(duì)應(yīng)外，還畫成了深顏色，覆蓋在小紅旗上的直框圖線條用的是淺顏色，小紅旗的數(shù)量一目了然：可能比一班的小旗數(shù)量少3 面，也可能少4 面等。此時(shí)，教師適時(shí)肯定學(xué)生的猜想。

圖1

圖2

圖3

接著，教師呈現(xiàn)課件：淘氣有36 個(gè)花片，笑笑的花片比淘氣的少12 個(gè)，笑笑有多少個(gè)花片？教師問：你們準(zhǔn)備怎么表示笑笑的花片和淘氣的花片之間的關(guān)系？學(xué)生嘗試直接畫直條圖表示笑笑和淘氣的花片之間的關(guān)系，并闡釋理由。一是覺得淘氣有36 個(gè)花片，數(shù)量很大，學(xué)具袋中黃色和紅色的花片都只有10 個(gè)，數(shù)量不夠擺。二是覺得擺花片的方法太麻煩，而用直條圖代替擺花片，可以想象這些直條圖下面就是剛才不同數(shù)量的花片，方便清楚。經(jīng)過積極討論，學(xué)生得到圖4。教師調(diào)整題目信息，將求花片的數(shù)量改為求水果的數(shù)量，讓學(xué)生思考兩道題目有什么區(qū)別。學(xué)生認(rèn)為：雖然事物不一樣，但無論求花片的數(shù)量還是求水果的數(shù)量，都是求“比36 少12 的數(shù)是多少”，所以可以用一樣的圖形來表示。

圖4

在這一環(huán)節(jié)的教學(xué)中，學(xué)生通過猜想、說理、驗(yàn)證，經(jīng)歷從具體圖片到圖形（直條圖）的抽象過程。學(xué)生經(jīng)歷了動(dòng)態(tài)的擺放過程后，真正理解并掌握了其中的數(shù)量關(guān)系與規(guī)律。教師不斷強(qiáng)化學(xué)生對(duì)“求比一個(gè)數(shù)多（少）幾的數(shù)是多少”的簡(jiǎn)單實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系的理解，使畫直條圖成為學(xué)生解決實(shí)際問題的一種簡(jiǎn)單策略。學(xué)生明白了紙條的實(shí)際長度與36 個(gè)花片排成的長度是一樣的，表示36 個(gè)花片的紙條長度可以是任意長度的，產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)圖示——第一條紙條可以分成與第二條一樣長的一部分及多出來的一部分。這樣得到的結(jié)構(gòu)圖示具有普遍意義，涵蓋了更為豐富的情境，學(xué)生不僅明確表達(dá)出“求比一個(gè)數(shù)多（少）幾的數(shù)是多少”問題的數(shù)量關(guān)系，還加深了對(duì)直條圖本質(zhì)的認(rèn)知，深刻體驗(yàn)到直條圖化抽象為直觀的作用。

三、指導(dǎo)建立模型，建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

幾何直觀因其形象性，常常被學(xué)生作為某類事物或現(xiàn)象的直觀替代物，而忽略其本身的模型價(jià)值。因此，幾何直觀教學(xué)不能僅注重其直觀的一面，還應(yīng)注意直觀背后蘊(yùn)藏的抽象意義，將作為直觀實(shí)例的圖形抽象為具有普適意義的模型，將直觀圖形看作相關(guān)模型的圖形表征。

直條圖是文字表述向圖形表述的轉(zhuǎn)換，能有效地體現(xiàn)幾何直觀，化抽象的語言表征為具象的圖形表征，化煩瑣的敘述為簡(jiǎn)潔的表達(dá)，從而體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)約力量。教師出示題目：小灰兔拔了25 個(gè)蘿卜，______，小白兔拔了多少個(gè)蘿卜？教師依次出示以下2 個(gè)條件：（1）小白兔拔的蘿卜比小灰兔拔的蘿卜要多得多；（2）小白兔拔的蘿卜比小灰兔拔的蘿卜要少得多。想一想，小白兔拔的蘿卜個(gè)數(shù)可能是12、27、25、48 中的哪個(gè)數(shù)。教師讓學(xué)生用單位長度“”來表示小灰兔拔的蘿卜的個(gè)數(shù)，說一說小白兔拔的蘿卜的個(gè)數(shù)用直條圖該如何表示。小組內(nèi)，一位學(xué)生用雙手之間的距離來表示黑板上的單位長度，另一位學(xué)生用雙手間的距離大致表示蘿卜數(shù)分別是48、12 的時(shí)候直條圖的長度。學(xué)生明確當(dāng)小白兔拔的蘿卜數(shù)是48 時(shí)，直條圖的長度要比單位長度長得多；當(dāng)蘿卜數(shù)為12 時(shí)，直條圖的長度要比單位長度短得多。

這個(gè)教學(xué)片段呈現(xiàn)了教師幫助學(xué)生經(jīng)歷直條圖制作的動(dòng)態(tài)過程，使直觀、可視化的圖形變成無形的“空間畫線”“思維想象”。學(xué)生通過改變雙手間距離的長短，明確地意識(shí)到“比完第一條線段的長短后，第二條線段的端點(diǎn)不是隨意比的，而必須與第一條線段在同一點(diǎn)上”。這樣不僅強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)“多”還是“少”，以及“多了多少”“少了多少”的感悟，使其經(jīng)歷了直條圖長度從定性到定量、從粗略到相對(duì)精確的表示過程，還幫助學(xué)生建立了比多、比少的表象。這種借助直觀圖示的方式，更有利于學(xué)生構(gòu)建模型。學(xué)生不僅經(jīng)歷了直條圖的形成過程，還構(gòu)建起直條圖的數(shù)學(xué)模型。

結(jié) 語

綜上所述，學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)歷了“具體的生活實(shí)際問題—抽象的實(shí)際數(shù)學(xué)問題—建立符號(hào)化數(shù)學(xué)模型”的過程。借助圖形直觀，學(xué)生經(jīng)歷了圖形表征、分析比較、逐步抽象、概括的過程，加深了對(duì)知識(shí)本質(zhì)的把握，從而積累了借助圖形直觀進(jìn)行思考的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展了幾何直觀能力。