概率論與數理統計課程教學中思政元素的挖掘與實踐

李晨　陳麗萍

[摘 要]在“大思政”背景下，課題組探索概率論與數理統計課程思政教育，從介紹國內概率論學者，樹立文化自信與結合知識點全方位深度挖掘思政元素兩個方面找準“切入點”，科學合理地設計相關教學案例，將思政元素自然和諧地融入專業課的課堂教學中，以期達到“潤物細無聲”的育人效果。

[關鍵詞]思政元素;概率論與數理統計;課程思政;案例

[中圖分類號] G641 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2021）09-0104-03

2016年12月，習近平在全國高校思想政治工作會議上強調，“要堅持把立德樹人作為中心環節，把思想政治工作貫穿教育教學全過程，實現全程育人、全方位育人，努力開創我國高等教育事業發展新局面。要用好課堂教學這個主渠道，思想政治理論課要堅持在改進中加強，提升思想政治教育的親和力和針對性，其他各門課都要守好一段渠、種好責任田，使各類課程與思想政治理論課程同向同行，形成協同效應”。為更好地落實這一重大教育理念，國內各大高校積極開展課程思政的探索與實踐工作。課程思政不完全等同于思政課程，不是簡單地用德育代替專業教育，而是要全面深入地挖掘、提煉專業課程中蘊含的思想政治文化元素，通過教師巧妙的規劃與設計，運用新媒體、新技術，科學合理地將其融入專業課的課堂教學中，做到既教書又育人。

概率論與數理統計是研究現實世界中隨機現象及其統計規律性的應用數學學科，是高校經管類和理工類各專業的一門重要基礎必修課，其應用廣泛，與現實生活緊密聯系。20世紀以來，它已廣泛應用于工業、國防、金融、國民經濟及工程技術等各個領域[1]。在“大思政”背景下，探索概率論與數理統計課程思政的實施途徑，首要就是充分挖掘、提煉學科所涵蓋的思政教育元素，找準“切入點”，科學合理地設計相關教學案例，將思政元素自然和諧地融入專業課的課堂教學中，最終達到“潤物細無聲”的育人效果。下面，本文從兩個方面談談概率論與數理統計課程中思政元素的挖掘、開發設計與融入實踐。

一、介紹國內概率論學者，樹立文化自信，培養科學精神

雖然國內外概率統計領域人才濟濟，專家學者甚多，但是為了培養學生的道路自信、文化自信，教師還是應著重介紹國內概率統計方向的優秀專家學者，讓學生感受到中國數學家們的思想，學習他們嚴謹、孜孜不倦、獻身科學的精神[2]。

每年的9月10日是教師節，這是1985年1月第6屆全國人大常委會第9次會議通過的決議。這樣一個和我們的生活緊密相連的重要節日，其提倡者就是我國著名的概率論學者王梓坤院士。王梓坤院士是一位杰出的數學家和教育家，也是我國概率論研究的先驅者和主要學術帶頭人。他熱愛教育事業，畢生從事教育事業，尤其關注如何培養青年成才的問題，并把成才之道歸納成十個字：理想、勤奮、毅力、方法、機遇。王梓坤院士自身成才的經歷，在青年成才方面的觀點和學習數學、研究數學的思想方法等都是很好的思政元素，將其合理地融入課堂，既能樹立文化自信，又能培養學生的科學精神，對青年學生是大有裨益的。

二、結合知識點，全方位深度挖掘思政元素，實踐專業課程思政教育

與其他數學課程相比，概率論與數理統計課程更貼近實際生活，在課程思政方面更具有優勢。在教學過程中，恰當地引入實際案例，既可以加深學生對知識內容的理解，還可以引導學生發現案例中蘊含的獨特內涵，突顯案例的隱性育人價值。

（一）立足課程，培養科學精神，樹立正確的世界觀

概率論與數理統計課程在鍛煉和提升學生嚴謹的邏輯思維能力、科學的推理能力等方面的效果是非常顯著的，教師在教學過程中要立足課程本質，在研討式教學中培養學生的科學精神。

講授概率論與數理統計課程，應當先介紹這一學科的發展歷程，讓學生了解這一學科發展史以及發展進程中的一個個難題是如何被解決的。一方面，這能讓學生對課程的基本內容、背景、應用及其之間的聯系有所了解，對整個學科有一個宏觀的系統認識，這些被“線”貫穿起來的知識，也更容易被深入理解且不易忘記;另一方面，它能培養學生的科學觀，培養學生用哲學的認識論和方法論來看待世界。課程簡史能讓學生認識到：知識是不斷變化發展的，要學會用運動變化的觀點來研究事物;要學會用批判的觀點來看待身邊的事物，擅于發現問題、提出問題，創新意識很重要;科學研究也需要勤奮與毅力。

在授課過程中，教師不僅要注重教學的嚴謹性、科學性，提升并培養學生“提出問題—分析問題—解決問題”的能力，還要把解決問題的方法歸納并提升到哲學認識論與方法論的層面上來。

比如，在介紹概率的定義時，頻率與概率的辯證關系就是一個思政元素，它體現了偶然性與必然性的對立統一。恩格斯指出：“在表面偶然性起作用的地方，這種偶然性始終是受內部隱蔽的規律支配的，而我們的問題只是在于發現這些規律。” 事件的頻率具有偶然性，而事件的概率是客觀存在的，具有必然性。試驗次數較少時，頻率與概率有較大的偏差，這是對立性;試驗次數很大時，頻率呈現出穩定性，它在事件的概率附近微小擺動，這是統一性。教師可進一步引伸到吸煙與肺癌的關系，間接提醒學生吸煙有害健康，引導學生養成良好的生活習慣。又如n重伯努利試驗、中心極限定理，都蘊含了思政元素——從量變到質變的哲學觀。

（二）設計案例，在探討式案例教學中“潤物細無聲”地進行課程思政教育

蘇聯教育家蘇霍姆林斯基曾說過：“人的內心里有一種根深蒂固的需要——總想感到自己是發現者、研究者、探尋者。”[3]在教學過程中，以學生為主體，引導并鼓勵學生在情感、認知、思維或行為上參與互動，這樣能有效激發學生的主體作用。在概率論與數理統計的教學過程中，教師應盡量結合實際問題或現實生活，合理地設計生動的問題情境或課程思政情境，利用設問的形式開展探討式教學，比如分組研討等形式，逐步引導學生思考并主動參與到問題的研討中來，在這種互動解決問題的過程中潛移默化地進行思政教育。

舉個例子。在日常生活中，有許多涉及隱私的敏感問題，比如校園貸，很多學生深陷其中，無法自拔。2017年9月，教育部發文明確取締校園貸款業務，任何網絡貸款機構，都不允許向在校大學生發放貸款，然而校園貸卻屢禁不止。如何對在校大學生參與校園網絡貸款的比例進行摸底調查，以建立校園不良網絡借貸應對處置機制？事實上，這種涉及隱私的敏感問題的調查，困難重重，大家都會盡量對其避免正面回答或者拒絕回答。那么如何巧妙地設計調查問卷，得到真實的調查結果呢？要掌握這樣的方法和技能，得先學習概率論中的一個知識點——全概率公式。這樣，就用設問的形式引入了知識點，讓學生帶著問題來學。講解完這個知識點，再回過頭來解決最初提出的問題，帶著學生一起來模擬對某學校在校學生參與校園貸比例進行摸底調查。

例：已知某校有1萬名學生，現需要調查該校參與校園貸學生的實際比例，以建立合理的應對處置機制。

問卷調查設計過程如下：在一個無人的房間里有一個紙箱，箱里裝有20個球，其中10個紅球10個白球;被測試者事先被告知，從這個箱子中隨機抽取一個球，看過顏色后放回。如果學生取的是白球，就回答“你的生日是在7月1日前嗎？”這個問題;如果學生取的是紅球，就答“你參與網絡借貸了嗎？”這個問題。學生將結果勾在一張只有“是”與“否”的答卷上，每一位學生都參與了這次測試。

最后，回收1萬份答卷，其中4000份答卷回答“是”，那么該校參與校園貸學生的實際比例是多少呢？

解答過程如下：把回答“是”記為事件A，它分為兩種情況，一種是學生取到了紅球，把它記為事件[B1];一種是學生取到了白球，記為事件[B2]。參與校園貸的比例就是[P（A|B1）]，即在[B1]發生的條件下事件A的條件概率。由全概率公式，有：

在這個公式中，事件A的概率是0.4;紙箱中的紅球與白球個數是相同的，所以取到紅球的概率與取到白球的概率是相等的，均為0.5;還有一個隱藏的信息，即取到白球的情況下回答“是”的概率約為0.5，把相應的數據帶入，我們就可以得到[P（A|B1）=0.3]，即該校參與校園貸的學生的實際比例約為30%。

當然，可能有學生認為這種問卷調查方式夸張了些，比較耽誤時間。那就引導學生思考：你能不能提出更方便的操作方式？比如分班級抽簽的形式。還可以繼續引導學生思考“你的生日是在7月1日前嗎？”這個問題，你能想到其他問題來替換它嗎？用“你的手機號碼最后一位數字是奇數嗎？”可以替換嗎？然后進一步引導學生討論：生活中還可能會涉及哪些敏感問題需要調查的呢？

這種對敏感問題的調查方式是可以用到實際工作和生活中的，相信學生也會積極參與進來。通過這個例子，也能潛移默化地讓學生們認識到校園貸的危害，意識到要理性消費、合理消費，遠離校園貸。

（三）借助專業知識點來解釋哲理，辨析俗語，潛移默化地進行課程思政教育

人類認識社會和自然中的很多真知灼見，都可以從數學中得到解釋，特別是正確的世界觀、方法論在概率論與數理統計中大多都能找到理論支撐。比如，中國有一句俗語：“三個臭皮匠，頂一個諸葛亮。” 諸葛亮是“足智多謀”的形象代表，而這句俗語作為人多辦法多、人多智慧多的一種贊譽也是富有哲理的[4]。那么，學生們能不能通過概率的計算對這一哲理給出合理的解釋呢？下面我們運用概率的知識，對這個問題做出解答。

我們用[Ai]表示事件“第i個皮匠獨立解決了該問題”，i=1，2，3，不妨設每個皮匠單獨解決該問題的概率分別為：

計算結果告訴我們，三個智力尋常的“皮匠”居然能解出百分之九十以上的問題，聰明的諸葛亮也不過如此！這就是俗語“三個臭皮匠，頂一個諸葛亮”的概率解釋。在講解事件的獨立性時，可以通過這個例題，讓學生潛移默化地認識到團結的重要性、集體的重要性。集體是力量的源泉，眾人是智慧的搖籃，孤雁難飛，孤掌難鳴，在現實生活中，我們應該群策群力攻難關，團結合作創佳績。

中華民族有著深厚的文化底蘊，既有廣泛流傳的歇后語，又有能登大雅之堂的俗語和成語。但也應該認識到，并不是所有的俗語或成語都是至理名言，有的是經不起科學的推敲的，需要仔細辨別。比如，“福無雙至”與“禍不單行”，經常被人們用來表達對福、禍的感慨。這兩個常用的俗語是否正確呢？接下來我們用古典概型的知識來進行辨析[4]。

“禍”是隨機現象，不妨把“禍”看成是一個個的小球，把“人”看成是一個個的箱子，如果小球落入某個箱子里，這個箱子代表的“人”就遭遇到“禍”。我們假定每個小球落入任何一個箱子的可能性相同。為了讓學生有一個更直觀地了解，我們先用簡單的數據來計算一次。把4個小球隨機地放入40個箱子，每個箱子至多有一個球的概率有多大？4個球放入40個箱子，共有[404] 種可能的結果，而恰有4個箱子中各有一球的結果數等于從40個箱子中取4個的排列數，于是，每個箱子至多有一個球的概率為：

因此，至少有一個箱子中有兩個球（禍不單行）的概率約為0.14，也就是說，如果共有4個“禍”事，可能讓40個人碰到，而且每個“禍”事每個人攤上的機會相等，那么，40個人中至少有一人碰上“禍不單行”的可能性約為0.14。

接下來，為深入探究，我們把特殊的數據一般化。假定“禍”事有n個，可能遭遇“禍”事的人有10n個。仍然使用上面的球箱模型，把n個小球放入10n個箱子中，假定每個小球落入任一個箱子的可能性相同。類似地得到，至少有一個箱子中有兩個球，也就是“禍不單行”的概率為：

對于不同的n，我們將“禍不單行”的概率計算出來，如表1所示。

從表1可以看出， “禍不單行”出現的概率隨著n的增大而增大。假設在某段時間某個范圍內發生了50起禍事，該范圍內可能遭遇禍事的人有500個，那么，至少有一人遭遇“禍不單行”的概率高達92%。可見，在范圍較大的人群中，個別人遭遇“禍不單行”，不足為奇。

借助概率論中的古典概型，分析得到，“禍不單行”這個俗語是有道理的。接下來，繼續引導學生類似地來探討“福無雙至”。把“福”想象成球，把人想象成箱子，同理可得，在范圍較大的人群中，個別人遇到“福雙至”也是不足為奇的。因此，“福無雙至”的說法是不科學的。

生活中，有的俗語是至理名言，但有的卻是不科學的，我們要學會理性地辨別，科學地看待。借助于這個俗語例題的辨析，還可以進一步延伸，讓學生談談自己的見解。古人云“書中自有黃金屋，書中自有顏如玉”，但是“盡信書，不如無書”這個道理學生們也應該要知道。“實踐是檢驗真理的唯一標準”，在學習新知的過程中，保持獨立思考、勇于懷疑的精神，尤其難能可貴，這也是圣賢人物的治學風范。網絡時代，各種各樣的觀點鋪天蓋地，教師應引導學生們理性辨別，不要人云亦云。

三、結束語

立德樹人是高校立身之本，課堂教學是育人的主渠道。如何在課堂教學過程中實現立德樹人這一根本目標，是每一位教師都要認真思考的問題。在“大思政”背景下，探索概率論與數理統計課程思政的實施途徑，守好這段渠、種好這份田，使其與思想政治理論課同向同行，形成協同效應，更需要對概率統計課程知識點和思政元素進行深入挖掘，把握好“尺度”和“社會實踐的切入點”，在保持專業課原有特色和獨立性的基礎上適當融入“思政”元素，循序漸進，因勢而導，保障科學的“思政”，達到“潤物細無聲”的育人效果[5]。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 范國兵，陳麗萍，李蘭平.概率論與數理統計[M].長沙：湖南大學出版社，2018.

[2] 崔小云.文化自信融入思想政治教育的踐行路徑探析[J].長春師范大學學報（人文社會科學版），2019（5）：7-9.

[3] 張艷，陳美蓉，王亞軍，等.課程思政理念下概率論與數理統計教學改革的探索與實踐[J].高教論壇，2019（12）：80-81.

[4] 魏振軍.探訪隨機世界[M].北京：中國統計出版社，2010.

[5] 吳紅艷，吳美華.理工科課程實踐“課程思政”的道路探索：以概率論與數理統計為例[J].教育現代化，2019（66）：105-107.

[責任編輯：鐘 嵐]