巧用“畫圖”解題,讓初中數學課堂更精彩

◎張小娟 (江蘇省揚州市邗江區楊廟鎮中心中學，江蘇 揚州 225125)

引 言

初中數學包括很多的圖形內容.“數與代數”中有函數圖、數軸圖、統計圖、概率圖等，“空間和圖形”就更離不開圖形了.學生在解決數學問題時，不但要把問題中的圖讀懂，同時還要會畫圖和尺規作圖.在數學中，畫圖解題是一種有效的方法，是把數學的基礎知識、技能、邏輯思維和方法結合起來的一種解題方式.教學中，教師應該應用有效的教學方法，注重學生畫圖解題能力的培養，進而不斷地提高學生對數學課堂的喜愛程度.

一、培養學生審題習慣

在教學過程中，教師應該培養學生認真審題的好習慣.審題是解數學題的基礎也是關鍵，通過審題學生可以找到解題的思路和方法.因此，在解題的過程中，教師應該引導學生找出問題中的已知條件以及需要解決的問題，這樣學生在做題時才可以充分地把握題意，有效提高解題效率.

二、數學問題中的畫圖分類

(一)輔助圖和結果圖

輔助圖形在解題中起到輔助的作用，它可以讓問題清晰直觀地顯現出來，可以幫助答題者更快地理解問題、分析問題以及解決問題.在做選擇題、填空題的時候畫的圖形都是輔助圖形.

結果圖是在答題時作為答案的一部分保留下來的圖形.結果圖通常用在幾何題及函數題中，使用圖形來解答問題，需要保留一些必要的文字說明.

(二)準確圖和示意圖

所畫圖形根據準確程度不同，可以分為示意圖和準確圖.用刻度尺、三角板和量角器等畫出的和題中所給的信息相符的圖形，是準確圖.示意圖是簡單明了、突出重點、忽略次要細節的圖，一般情況下畫示意圖不用畫圖工具.

畫準確圖費時但準確，畫示意圖省時但不夠準確.

(三)一般圖和特例圖

一般圖指一般情況下所畫的代表圖形.在解題時通常要畫一般圖，它可以用來解決計算與推理證明問題.特例圖指在特殊的情形下畫的圖形.特例圖可用于問題的探究猜測，并且可以得出結論.

三、畫圖解題能力的培養

(一)形成意識——知道畫

解決數學題時有兩種情況需要畫圖：一種是分析文字，畫圖作為解題基礎；另一種就是根據文字要求去畫圖.

例1關于x的不等式2x-a<6有三個自然數解，求a的取值范圍.

本題借助數軸可以直觀解答，體現了數形結合思想在解題中的作用.教師在教學中，要培養學生數形結合的解題思維.

(二)理解概念——正確畫

有些題目涉及較多概念，只有正確理解概念，才能正確畫圖.

例2直升機在海拔500米的高空飛翔，測量出甲、乙兩船的俯角分別為45°和30°，甲、乙兩船分別在正西、正東方向，直升機與甲、乙兩船在同一垂面內，甲船與乙船之間的距離是多少？

根據題意，正確理解題目中的俯角、同一垂面等概念，才能畫出符合題意的圖形.理解概念畫圖，是將文字轉換成圖像.因此，運用幾何方法解題就是對文字和圖形進行雙向轉換,可以輔助學生更好地解題.

(三)鞏固技能——熟練畫

根據教材要求，明確指出學生需要掌握的一些基本畫圖技巧.教學過程中，讓學生熟練掌握常用的畫圖技巧，可以使學生在做畫圖題時更輕松一些.

例3已知線段b.

1.使用不帶刻度的直尺與圓規，做出一個直角三角形ABC，AB與BC是△ABC的兩條直角邊，讓AB=b，BC=12b(保留做題痕跡，不寫作法)；

2.在1中的直角三角形ABC中，如果AB=4 cm，請計算出AC邊上的高.

根據題目要求，按照作圖的三個基本要素畫出一個精確圖，學生在完整作圖的基礎上要熟練掌握作圖的技巧和方法.

在畫圖任務中，也存在一些特殊情況，不能直接使用畫圖技巧，這對于學生而言會有些困難.

例4如右圖，MN是一條直線，點A在直線MN上，點B在直線MN外，如果在MN上存在一個點P，要使△ABP為等腰三角形.請問，這樣的點P有多少個？

以某條線段為一邊做等腰三角形，該類題型有固定的畫圖步驟：(1)把AB當作底邊時，畫出AB的中垂線，中垂線與直線MN的交點為所求點.(2)把AB當作腰時，分別以點A、B為圓心，AB長為半徑，畫出一個圓，圓與直線MN的交點為所求點.

(四)圖感準確——快速畫

圖感是對圖形的感知和認知達到的熟練程度，良好的圖感能夠幫助學生更快更準確地畫出示意圖.

例5在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，點P是△ABC內的一點，并且點P到A,B,C的距離都相等，試判斷△PBC的形狀.

從課堂學生畫圖的表現來看，大多數學生是可以畫出示意圖的，但是示意圖的準確性不高.學生畫出的示意圖準確性越高，解出題目的時間就越短.導致示意圖不標準的原因在于∠A的度數不標準，PA,PB及PC之間的長度關系不準確.對線段的長度和角度把握不準確，畫出的示意圖就會不標準，這就影響到學生的解題思路，降低解題效率，甚至導致解答錯誤.

從簡單的圖形位置和大小形狀開始，讓學生多多練習，提升學生觀察圖形的能力，以此來培養學生的圖感，提高解題效率.

(五)圍繞目標——合理畫

畫圖的主要目的就是提供更好的解題思路，不同類型的圖能夠提供不同的解題思路.

例6已知△ABC，∠B與∠C的外角平分線相交于D點，∠A的度數為40°,求∠D.

解該題目時可以畫一般圖，然后按照三角形外角與內角之間的關系，通過推理運算，求出∠D的度數.也可以畫特例圖，比如∠B為90°，那么每個角的度數都能夠很容易知道.還可以畫準確圖，畫好之后再進行測量，能夠知道∠D的度數.但是，這樣比較浪費時間，還不一定能夠準確知道角的度數.因為該題目為填空題，通過特例圖能夠快速求出∠D的度數.若它是一道解答題，則需要畫出一般圖.所以，老師要讓學生學生按照不同的題目類型畫不同的圖，還要讓學生懂得忽略無關緊要的因素，抓住重要條件來進行畫圖.

例7拋物線y=x2+2x-1上有點(-3.5，y1)，(1.23，y2)，(π，y3)，比較y1,y2,y3的大小.

解決此類問題,畫示意圖比較好，只要確定拋物線的開口方向和對稱軸所處的大體位置，就可以很快地解出該題目.拋物線頂點的坐標和位置以及拋物線的形狀的準確性可以不考慮.教師既要讓學生養成圍繞解題目標合理畫圖的好習慣，又要讓學生通過不斷訓練形成會忽略無關緊要因素的技能.

(六)考慮周全——完整畫

需要進行畫圖的題目，主要有兩種：(1)對學生畫圖的能力進行鍛煉并考查的題目；(2)圖形復雜多樣，解題思路不唯一的題目.所以，教師需要讓學生在畫圖過程中考慮一種題目多個圖形的可能.

例8兩個圓相交，其公共弦長為24米，兩個圓的半徑分別是13米與15米，求兩個圓心之間的距離(即圓心距).

解該題時要具體考慮兩個圓心和公共弦所處位置關系，學生在做該類題目時往往會遺漏兩個圓心在公共弦同一側的情況.該題目的特點是同一條件對應不同的圖形，在初中數學教學中，可把該類問題歸納成專題，通過專題訓練促進學生形成良好的畫圖解題習慣.

(七)畫圖能夠促進分類思想的形成，保證思維訓練的完整性

分類思想指的是我們研究的問題包含很多種情況，需要對所有可能出現的情況進行分別探討，并得出不同的結論.通過畫圖可避免出現重復、遺漏等問題，保證思維訓練的完整性.下圖是由許多邊長為1厘米的菱形構成的網格，菱形的一個角的度數為60°，P點為一個格點，以點P為直角頂點畫出直角三角形，請計算出直角三角形的斜邊長.

該題目以學生熟知的圖形為基礎，讓學生通過動手操作，找出以點P為直角頂點的所有情況.畫出圖形可以更簡便有效地解答該題目.

四、總結

畫圖可以開發學生的智力，提高學生的分析思考能力.因此，在初中數學課堂中教師要培養學生通過畫圖來思考問題的能力，促進學生數學成績的提升.