溯源明理 平淡求真
——談2021 年新高考數學I 卷的試題特點及教學啟示

楊蒼洲

（1.泉州第五中學，福建 泉州 362000；2.福建教育學院數學教育研究所，福建 福州 350025）

一、2021 年新高考數學I 卷的試題特點

2021 年新高考數學I 卷的最大特點就是沒有“亮點”.所謂的“亮點”，是比喻有光彩而引人注目的人或事物.在命題活動中，為了博人眼球，命題人常常設計一些新、奇、繁、偏的試題，此類試題雖然“引人注目”，往往卻忽視了對數學本質的考查.2021 年新高考數學I 卷試題表述簡潔明了、清晰到位，背景熟悉親切、平易近人；內容豐富飽滿、思想深刻；解法開放多樣，倡導創新.試題基于高中數學各知識板塊的核心知識，重點考查考生的數學關鍵能力，突出理性思維在數學解題中的重要作用，有效檢測了考生的數學核心素養.

（一）試題重點考查基礎知識

數學概念是學習過程中最原始的知識積累，是數學解題的直接依據.理解概念，并把概念應用于解題，是對學習者的基本要求.本卷注重對高中數學基礎知識的全面考查，第5 題考查了橢圓的定義，第8 題考查了相互獨立事件的定義，第13 題考查了偶函數的定義，第21 題第（1）問考查了雙曲線的定義等，由此可以看出命題者充分關注了對基礎知識的考查，重在檢測考生對基本概念的掌握與應用水平.

題1：（2021 年新高考數學I 卷第13 題）知函數f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函數，則a=______.

本題意在檢測考生對基礎知識的掌握水平.主要考查函數奇偶性的定義，屬于基礎題，考生只需掌握奇偶性的定義即可順利解題.利用偶函數的定義，由f(-x)=f(x)，可得x3(a· 2x-2-x)=-x3(a· 2-x-2x)，整理得(a-1)(2x+2-x)=0，解得a=1.

題2：（2021 年新高考數學I 卷第8 題）有6 個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1 個球，甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則（ ）.

A.甲與丙相互獨立 B.甲與丁相互獨立

C.乙與丙相互獨立 D.丙與丁相互獨立

要判斷事件A,B是否獨立，需判斷P(A)P(B)=P(AB)是否成立，因此先計算事件A,B對應概率.由于P(甲)=，P(乙)=，P(丙)=，P(丁)=P(甲丙)=0≠P(甲)P(丙)，故甲與丙不相互獨立；P(甲丁)==P(甲)P(丁)，故甲與丁相互獨立；P(乙丙)=≠P(乙)P(丙)，故乙與丙不相互獨立；P(丙丁)=0≠P(丁)P(丙)，故丙與丁不相互獨立.故選：B.

本題考查了相互獨立事件的定義，貌似基礎、簡單，考后了解了幾個考生，發現正確率很低.這是由于考生在學習過程中不重視概念的學習，也是高三總復習“重術輕道”的結果.命題者把它安排在單選題壓軸題位置正，是對高中數學教學的警示和導向.

（二）試題重點考查基本技能

《普通高中數學課程標準（2017 年版）》提出了七項基本能力：抽象概括、推理論證、數據處理、空間想象、運算求解以及應用意識和創新意識.通過高中數學的學習，學生應具備應用基礎知識解決問題的能力.如，本卷第4 題的求解需要運用“換元”思想，第6題的求解需要運用“消元”思想，這些試題對考生的運算求解能力都有較高的要求.為了提高運算求解能力，就應先掌握換元法、消元法、主元法、配方法、待定系數法等一些常用、具體的運算技能.

題3：（2021 年新高考數學I 卷第4 題）下列區間中，函數f(x)=單調遞增的區間是（ ）.

“換元法”是研究函數y=Asin(ωx+φ)（A＞0,ω＞0）圖象性質的常用方法.解題時，把ωx+φ看作一個整體，令t=ωx+φ，此時只需要研究y=sint的性質即可得到y=Asin(ωx+φ)的相應性質.

題4：（2021 年新高考數學I 卷第6 題）若tanθ=-2，則=（ ）.

思路一，“齊次化”是求“含sinθ,cosθ式子的值”的常用方法.本題可以將待求的式子進行齊次化處理，然后再化弦為切，代入tanθ=-2，即可得到結果.

思路二，“消元”是解題的常見思路、基本技能.條件和結論的式子中含有sinθ,cosθ,tanθ，也含有θ，2θ，因此，我們考慮進行“消元”.首先對“化同角”，即把“2θ”化成“θ”，消去“2θ”，原式可化為此時待求的式子含有sinθ,cosθ，而已知的式子含有tanθ，因此考慮“切化弦”消去“tanθ”，由tanθ=-2 得，即sinθ=-2 cosθ，因此

本題如果利用tanθ=-2，求出sinθ,cosθ的值，還需要分象限進行討論，通過齊次化處理，或者通過消元處理都可以避開了這一討論.

（三）試題重點考查基本思想

化歸與轉化、數形結合、函數與方程、分類與整合等數學思想是高中數學最重要的，也是最基本的數學思想.［1］“數缺形時少直觀，形無數時難入微”，運用數形結合思想解題，可以使得第7 題的解題過程更加直觀、簡潔；而第15 題，為了推進解題的進展，需要對絕對值內式子的符號進行分類討論，而后整合所有可能出現的各種情況，這種分類與整合的思想，是一種重要的數學思想方法，也是一種重要的解題策略.

題5：（2021 年新高考數學I 卷第7 題）若過點(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線，則（ ）.

A.eb＜aB.ea＜bC.0 ＜a＜ebD.0 ＜b＜ea

思路一，作出函數y=ex的圖象，若過點(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線，則點(a,b)需在曲線y=ex下方，同時，點()a,b也需在x軸的上方.因此應滿足0 ＜b＜ea.故選：D.

上述思路主要是運用數形結合思想，化抽象為具體，從圖像中直觀感知得點(a,b)與曲線y=ex的位置關系，并根據點線的位置關系得到相應的不等關系.我們再來感受一下另一種常規的思路：

思路二，對函數y=ex求導得y′=ex，所以曲線y=ex在點P(t,et)處的切線方程為y-et=et(x-t)，即y=etx+(1-t)et.由題意可知，點(a,b)在直線y=etx+(1-t)et上，可 得b=aet+(1-t)et=(a+1-t)et.令f(t)=(a+1-e)et，則f′(t)=(a-t)et.當t＜a時，f′(t) ＞0，此時函數f(t)單調遞增；當t＞a時，f′(t) ＞0，此時函數f(t)單調遞減.所以，f(t)max=f(a)=ea.作出函數f(t)的圖象如下圖所示，由圖可知，當0 ＜b＜ea時，直線y=b與曲線y=f(t)的圖象有兩個交點.故選：D.

比較上述兩種解題思路，可以看出思路一比思路二更加直觀、快捷.思路一運用的是數形結合思想，數形結合是解決數學問題最常用且有效的方法之一，它在本題中的優勢體現得淋漓盡致.

題6：（2021 年新高考數學I 卷第15 題）函數f(x)=|2x-1 |-2 lnx的最小值為______.

本題中函數f(x)的定義域為(0,+∞)，因此我們需要討論、x＞1 這三種情況，并結合導數研究函數的單調性，即可求f(x)最小值.

由題設知 ：f(x)=|2x-1 |-2 lnx定義域為(0,+∞)，所以當時，f(x)=1-2x-2 lnx，此時f(x) 單調遞減；當＜x≤1 時，f(x)=2x-1-2 lnx，有f′(x)=，此時f(x)單調遞減；

當x＞1 時，f(x)=2x-1-2 lnx，有f′(x)=2-，此時f(x)單調遞增.故f(x)≥f(1)=1，f(x)的最小值為1.

求解含有絕對值的函數的有關問題，往往需要進行分類討論.分類討論的關鍵在于如何確定分類討論的分界點，含絕對的函數談論的分界點是由絕對值內數式的符號決定的.為此必須搞清楚討論的標準.

（四）試題重點考查基本活動經驗

解題過程中，思維起點往往不是從零開始的，而是建立在已有解題活動經驗的基礎上.解題入口的突破，解題思路的形成，解題計劃的執行都依賴于已有的解題經驗.因此，積累解題活動經驗是提高數學能力的有效方法，也是提高數學素養的重要途徑.

題7：（2021 年新高考數學I 卷第9 題）有一組樣本數據x1，x2，…，xn，由這組數據得到新樣本數據y1，y2，…，yn，其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c為非零常數，則（ ）.

A.兩組樣本數據的樣本平均數相同

B.兩組樣本數據的樣本中位數相同

C.兩組樣本數據的樣本標準差相同

D.兩組樣數據的樣本極差相同

在《普通高中教科書·數學》必修第二冊第九章《統計》（人民教育出版社A 版）的“第9.2.4 節《總體離散程度的估計》的練習第2 題”和“第9.2 節《用樣本估計總體》的習題9.2 第4 題”兩題都推導了下述結論：數據x1，x2，…，xn的平均數為E(x)，方差為D(x)；數據y1，y2，…，yn的平均數為E(y)，方差為D(y).若yi=axi+b(i=1,2,…,n)，則E(y)=aE(x)+b，D(y)=a2D(x).

上述結論簡潔、優美，這也是我們在數學解題活動中積累下的基本活動經驗，在后續的解題活動，理應在此活動經驗下進行.

本題中a=1,b=c，因此有E(y)=E(x)+c，D(y)=D(x)，由于c≠0，故平均數不相同，方差相同，故A 錯誤，C 正確.對于B，若第一組中位數為xi，則第二組的中位數為y1=xi+c，顯然不相同，錯誤；對于D，由極差的定義知：若第一組的極差為xmax-xmin，則第二組的極差為ymax-ymin=(xmax+c)-(xmin+c)=xmax-xmin，故極差相同，正確.故選：CD.

題8：（2021 年新高考數學I 卷第9 題）記△ABC是內角A,B,C的對邊分別為a，b，c.已知b2=ac，點D在邊AC上，BDsin ∠ABC=asinC.

（1）證明：BD=b；

（2）若AD=2DC，求cos ∠ABC.

第（1）步易證.第（2）步的求解，常用下述三種方法.

方法一，“算兩次”思想，由∠ADB=π-∠CDB，得cos ∠ADB=-cos ∠CDB，并在△ADB和△CDB中應用余弦定理，即可得到a,b,c的數量關系，結合b2=ac，可求得，cos ∠ABC的值；或在△ADB和△ACB中應用余弦定理兩次求解∠A，即可得到a,b,c的數量關系.

方法三，利用平行線進行轉化，可過D作DE∥BC，交AB于E，則△BCD中，BD=b，ED=，∠BEC=π-∠B，由余弦定理可得b2=后續同解法二；或可過A作AF∥BD，交BD于F，則△BAF中，BF=3b，AF=2a，BA=c，∠BAF=π-∠B，由余弦定理可得9b2=c2+4a2+4accosB，后續同解法二.

第（2）步中的圖形模型：由一個三角形分割成兩個三角形的圖形，我們把它稱之為“爪型三角形”.在解決“爪型三角形”的問題中，我們歸納出三種常見的思維起點：“算兩次”思想，向量法，利用平行線進行轉化.此三種方法是在“爪型三角形”的求解過程中積累的解題活動經驗，在后續的解題活動中，當遇上“爪型三角形”的相關問題時，我們思維就應該從“經驗”的碼頭揚帆啟航，乘風破浪.

二、幾點教學啟示

（一）注重數學定義、定理、概念、法則、公式等的形成過程和內涵

在新授課的教學活動中，應注重數學定義、定理、概念、法則、公式等的形成過程和內涵，而不能只注重新知識在解題過程中的應用.如：2021 年新高考數學I 卷第10 題是平面向量與三角函數結合的試題，從題干中p1,p2,p3三點的坐標形式，我們應聯想到三角函數的定義，由此判斷出點p1(cosα,sinα)，p2(cso(-β),sin(-β))，p3(cos(α+β),sin(α+β))，A(1,0) 在以O為圓心的單位圓上，且∠xOP1=α，∠xOP1=-β，∠P1OP3=β.在平面直角坐標系中，畫出單位圓及點p1,p2,p3,A，理解各答案支所表示的幾何意義，不需計算即可從圖中看出試題的答案.若只是簡單記住三角函數的定義，則難以順利解題，只有理解三角函數的定義的內涵與外延，體驗“三角函數”的定義過程，方能聯想遷移、合理應用，從而又快又準地解決問題.

（二）總結解題的通性通法，培養學生的發散性思維

習題課是培養學生知識、方法、技能的重要陣地.在習題、例題的講授過程中，應注意歸納“多題一法”，總結解題的通性通法；應多進行“一題多解”，培養學生的發散性思維.如，2021 年新高考數學I 卷第20 題考查立體幾何，第（1）問，要證“線線垂直”，應轉化為證明“線面垂直”；要證“線面垂直”，一般轉化為證明“線線垂直”或“線面垂直”.在平時的習題課中，教師要引導學生歸納出“線線垂直”“線面垂直”“面面垂直”之間互相轉化的方法規律，掌握“一法”求解“多題”.在第（2）問中，關鍵在于根據條件二面角的大小求解三棱錐的高，此類問題一般可以采用幾何法或空間向量法.而用幾何法求解二面角，又有幾種常見的思路：一是定義法，二是三垂線定理法，三是垂面法，四是投影法等.［2］習題課中，應適時進行一題多解，授于學生多種“漁”的手段，學生也要養成一題多思的思維習慣，在解決陌生問題時方能如魚得水、左右逢源.

（三）應關注前期學習過程存在的問題，并有針對性地查缺補漏

復習課的主要任務是完成課程的梳理，是強化重點、深化知識、活化技能的過程.復習課除了構建知識網絡化之外，還應關注前期學習過程存在的問題，并有針對性地查缺補漏.如2021 年新高考數學I 卷第17題考查遞推數列問題，對于數列的交叉遞推關系，我們一般利用已知的關系得到奇數項的遞推關系或偶數項的遞推關系，再結合已知數列的通項公式、求和公式等來求解問題.這類分奇偶的雙數列問題在平時的練習中較為少見.［3］在《數列》章節的復習課中，若能對數列通項的求法進行全面的歸納總結，并關注到此類“冷門”題型，基于此類問題，總結其解法，揭示此其本質，這對加深數列知識的認識是大有裨益的.