轉化與化歸：發展數學思維能力的引擎

梁徐燕

摘 ?要：轉化與化歸是一種非常重要的數學思想，需要學生通過觀察、分析、類比、聯想等思維過程，選擇運用恰當的數學方法對原問題進行變換，將其轉化為熟悉的新問題進行論證和解答。這在高中數學教學及解題中具有普遍應用，對于發展學生的數學思維能力作用顯著。

關鍵字：高中數學;轉化;化歸

化歸是轉化與歸結的總稱，體現的是由繁化簡，由復雜化簡單的數學思想與策略。因此，本文以培養學生的數學轉化與化歸思想為基本出發點，并主要圍繞構造法、類比法、補集法這幾個具體方法展開論證，使學生在解題中體驗建構模型、猜測推理與反向解題的轉化與化歸的思維活動過程，以此來引導學生有序思考，深化學生的數學思維。

一、構造法，建構模型

構造法是高中數學解題中一種常用的數學方法，其中就蘊含著轉化與化歸的數學思想。簡單來說建構數學模型需要學生對問題進行深刻反思與推理，從中抽象出自己存儲于頭腦中的數學模型，化未知為已知，化抽象為具體，使問題變得直觀、形象，為實現高效簡便解題創造良好條件。

例如，對于最值類問題而言，當涉及“一個變量取什么值時另一個變量取得最大值或最小值”的問題時，教師要引導學生建立起求解最值型應用題的思維模型，引導學生積極思考，將其轉化為函數問題進行求解。以三角函數類問題來說：求函數y=（+sinx）/（1+cosx）的最小值，一方面可以利用三角恒等變化將其轉化為最簡的正弦型函數的形式，根據正弦函數的基本性質得出值域的范圍，確定最小值，這是同學們的常規做法。但這道題還有一個巧妙解法，就是善于應用函數的幾何意義，將其構造為y=[sinx-（-）]/[cosx-（-1）]，這就轉化成了圓x2+y2=1上的任一點B與定點A（-1，-）的連線斜率，問題就變得更加直觀。顯而易見當連線AB是圓的切線時，斜率最小，這時候ymin=tan30°=/3，大大節省了解題時間。

也就是說，要想在數學解題的過程中應用好構造法這一思維模型，離不開學生完善的數學知識結構與良好的模型存儲積累。只有在厘清知識內在聯系、把握知識結構的前提下，學生才能對問題進行概括性的、簡化性的描述與刻畫，抽象出問題的本質特征，利用數學模型解決問題。

二、類比法，猜測推理

轉化與化歸思想需遵循的一個基本原則就是熟悉化原則，要求學生能夠對陌生的問題進行，運用熟知的知識、經驗來解決未知問題。在這個過程中就需要學生應用到類比法，借助認真細微的觀察、猜測、類比與推理來實施有效的轉化與化歸，保證邏輯上的正確與完整性，實現問題的等價轉化。

例如，在教學數列的相關知識時，學生是先學完等差數列再去學習等比數列，那么在學習等比數列的很多結論時，教師就可以引導學生應用類比法進行推理和總結。以通項公式來講，我們是列出幾組等差數列，讓學生觀察數字間的特性，總結等差數列通項公式的公式。那么在學習等比數列通項公式的時候，教師可以讓學生以小組為單位，類比等差數列的推理方法，獨立完成和得出等比數列的通項公式。有了等差數列的學習經驗，學生很容易借助類比法，抓住首項與公比這兩個要素，總結出了等比數列通項公式，教學非常成功。

類比法尋找的是兩種事物在某些特征上的相似性，我們可以用“由此及彼”來形容它，在先比后推的過程中，學生會經歷觀察、猜測、推理與反思等一系列的思維活動過程，并最終對問題進行轉化，找到解決問題的切入點，求得原問題的解。

三、補集法，反向解題

補集是一個數學名詞，指全集中不屬于某一子集的所有元素組成的集合。這和轉化與化歸思想中的正難則反原則是相吻合的。當從問題正向出發找不到解題切入點的時候，教師不妨引導學生反其向而行之，轉向問題的反面，通過全集減去對立事件來得到所求的事件，以此來利用逆向思維實現簡便解題，提升解題效率。

例如，補集法在高中數學概率與統計相關的題型中的應用較為普遍。以一道概率題為例：甲乙兩名射擊運動員分別對一個目標射擊1次，甲射中的概率為0.8，乙射中的概率為0.9，求：（1）2人中恰有1人射中目標的概率;

（2）2人中至少有1人射中目標的概率。

那么在解答這道題的時候，我們設“甲射擊1次擊中目標”為事件A，“乙射擊1次擊中目標”為事件B，事件A與B是相互獨立的。那么第（1）問中2人中恰有1人射中的概率為 P（AB）+P（AB）=0.8×（1-0.9）+（1-0.8）×0.9，運算求得結果，難度不大。但在解答第（2）問的時候，如果我們繼續從正向思考問題，則包含的情況包括2人都中、2人中有1人不中的多個情況，較為復雜。這時候我們就可以利用互斥遠離，借助補集法，至少有1人射中的概率等于1減去2人都沒有擊中的概率，即 P=1-P（A·B）=1-（1-0.8）（1-0.9）=0.98，使問題得到了簡便解答。

由此可見，通過在解題訓練的過程中引導學生應用構造法、類比法與補集法這些具體的解題模型，可以更好地幫助學生掌握數學知識結構與思維方式。因此，除了文中提到的這幾個方法以外，教師還要在具體的教學實踐中不斷探索與總結轉化與化歸思想方法的更多應用模式與教學策略，引導學生真正學會通過矛盾轉化解決問題，發展學生的數學思維。

總而言之，轉化與化歸思想方法在數學教學中的重要性不言而喻，但我們的目的不僅是幫助學生掌握高效解題的思維模型，更重要的是要促進學生的解題能力、學習能力及創造能力的提升，在此基礎之上對思維的廣度和深度進行綜合訓練，以發展學生的思維潛能，提升學生的思維品質，真正指向學生的高中數學核心素養的培養與塑造。

參考文獻：

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