轉(zhuǎn)化與化歸：發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力的引擎

梁徐燕

摘 ?要：轉(zhuǎn)化與化歸是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，需要學(xué)生通過(guò)觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過(guò)程，選擇運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法對(duì)原問(wèn)題進(jìn)行變換，將其轉(zhuǎn)化為熟悉的新問(wèn)題進(jìn)行論證和解答。這在高中數(shù)學(xué)教學(xué)及解題中具有普遍應(yīng)用，對(duì)于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力作用顯著。

關(guān)鍵字：高中數(shù)學(xué);轉(zhuǎn)化;化歸

化歸是轉(zhuǎn)化與歸結(jié)的總稱，體現(xiàn)的是由繁化簡(jiǎn)，由復(fù)雜化簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)思想與策略。因此，本文以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化與化歸思想為基本出發(fā)點(diǎn)，并主要圍繞構(gòu)造法、類比法、補(bǔ)集法這幾個(gè)具體方法展開(kāi)論證，使學(xué)生在解題中體驗(yàn)建構(gòu)模型、猜測(cè)推理與反向解題的轉(zhuǎn)化與化歸的思維活動(dòng)過(guò)程，以此來(lái)引導(dǎo)學(xué)生有序思考，深化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

一、構(gòu)造法，建構(gòu)模型

構(gòu)造法是高中數(shù)學(xué)解題中一種常用的數(shù)學(xué)方法，其中就蘊(yùn)含著轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型需要學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行深刻反思與推理，從中抽象出自己存儲(chǔ)于頭腦中的數(shù)學(xué)模型，化未知為已知，化抽象為具體，使問(wèn)題變得直觀、形象，為實(shí)現(xiàn)高效簡(jiǎn)便解題創(chuàng)造良好條件。

例如，對(duì)于最值類問(wèn)題而言，當(dāng)涉及“一個(gè)變量取什么值時(shí)另一個(gè)變量取得最大值或最小值”的問(wèn)題時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生建立起求解最值型應(yīng)用題的思維模型，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題進(jìn)行求解。以三角函數(shù)類問(wèn)題來(lái)說(shuō)：求函數(shù)y=（+sinx）/（1+cosx）的最小值，一方面可以利用三角恒等變化將其轉(zhuǎn)化為最簡(jiǎn)的正弦型函數(shù)的形式，根據(jù)正弦函數(shù)的基本性質(zhì)得出值域的范圍，確定最小值，這是同學(xué)們的常規(guī)做法。但這道題還有一個(gè)巧妙解法，就是善于應(yīng)用函數(shù)的幾何意義，將其構(gòu)造為y=[sinx-（-）]/[cosx-（-1）]，這就轉(zhuǎn)化成了圓x2+y2=1上的任一點(diǎn)B與定點(diǎn)A（-1，-）的連線斜率，問(wèn)題就變得更加直觀。顯而易見(jiàn)當(dāng)連線AB是圓的切線時(shí)，斜率最小，這時(shí)候ymin=tan30°=/3，大大節(jié)省了解題時(shí)間。

也就是說(shuō)，要想在數(shù)學(xué)解題的過(guò)程中應(yīng)用好構(gòu)造法這一思維模型，離不開(kāi)學(xué)生完善的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)與良好的模型存儲(chǔ)積累。只有在厘清知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系、把握知識(shí)結(jié)構(gòu)的前提下，學(xué)生才能對(duì)問(wèn)題進(jìn)行概括性的、簡(jiǎn)化性的描述與刻畫(huà)，抽象出問(wèn)題的本質(zhì)特征，利用數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題。

二、類比法，猜測(cè)推理

轉(zhuǎn)化與化歸思想需遵循的一個(gè)基本原則就是熟悉化原則，要求學(xué)生能夠?qū)δ吧膯?wèn)題進(jìn)行，運(yùn)用熟知的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)來(lái)解決未知問(wèn)題。在這個(gè)過(guò)程中就需要學(xué)生應(yīng)用到類比法，借助認(rèn)真細(xì)微的觀察、猜測(cè)、類比與推理來(lái)實(shí)施有效的轉(zhuǎn)化與化歸，保證邏輯上的正確與完整性，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化。

例如，在教學(xué)數(shù)列的相關(guān)知識(shí)時(shí)，學(xué)生是先學(xué)完等差數(shù)列再去學(xué)習(xí)等比數(shù)列，那么在學(xué)習(xí)等比數(shù)列的很多結(jié)論時(shí)，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用類比法進(jìn)行推理和總結(jié)。以通項(xiàng)公式來(lái)講，我們是列出幾組等差數(shù)列，讓學(xué)生觀察數(shù)字間的特性，總結(jié)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的公式。那么在學(xué)習(xí)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的時(shí)候，教師可以讓學(xué)生以小組為單位，類比等差數(shù)列的推理方法，獨(dú)立完成和得出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。有了等差數(shù)列的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生很容易借助類比法，抓住首項(xiàng)與公比這兩個(gè)要素，總結(jié)出了等比數(shù)列通項(xiàng)公式，教學(xué)非常成功。

類比法尋找的是兩種事物在某些特征上的相似性，我們可以用“由此及彼”來(lái)形容它，在先比后推的過(guò)程中，學(xué)生會(huì)經(jīng)歷觀察、猜測(cè)、推理與反思等一系列的思維活動(dòng)過(guò)程，并最終對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，找到解決問(wèn)題的切入點(diǎn)，求得原問(wèn)題的解。

三、補(bǔ)集法，反向解題

補(bǔ)集是一個(gè)數(shù)學(xué)名詞，指全集中不屬于某一子集的所有元素組成的集合。這和轉(zhuǎn)化與化歸思想中的正難則反原則是相吻合的。當(dāng)從問(wèn)題正向出發(fā)找不到解題切入點(diǎn)的時(shí)候，教師不妨引導(dǎo)學(xué)生反其向而行之，轉(zhuǎn)向問(wèn)題的反面，通過(guò)全集減去對(duì)立事件來(lái)得到所求的事件，以此來(lái)利用逆向思維實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)便解題，提升解題效率。

例如，補(bǔ)集法在高中數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)相關(guān)的題型中的應(yīng)用較為普遍。以一道概率題為例：甲乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員分別對(duì)一個(gè)目標(biāo)射擊1次，甲射中的概率為0.8，乙射中的概率為0.9，求：（1）2人中恰有1人射中目標(biāo)的概率;

（2）2人中至少有1人射中目標(biāo)的概率。

那么在解答這道題的時(shí)候，我們?cè)O(shè)“甲射擊1次擊中目標(biāo)”為事件A，“乙射擊1次擊中目標(biāo)”為事件B，事件A與B是相互獨(dú)立的。那么第（1）問(wèn)中2人中恰有1人射中的概率為 P（AB）+P（AB）=0.8×（1-0.9）+（1-0.8）×0.9，運(yùn)算求得結(jié)果，難度不大。但在解答第（2）問(wèn)的時(shí)候，如果我們繼續(xù)從正向思考問(wèn)題，則包含的情況包括2人都中、2人中有1人不中的多個(gè)情況，較為復(fù)雜。這時(shí)候我們就可以利用互斥遠(yuǎn)離，借助補(bǔ)集法，至少有1人射中的概率等于1減去2人都沒(méi)有擊中的概率，即 P=1-P（A·B）=1-（1-0.8）（1-0.9）=0.98，使問(wèn)題得到了簡(jiǎn)便解答。

由此可見(jiàn)，通過(guò)在解題訓(xùn)練的過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用構(gòu)造法、類比法與補(bǔ)集法這些具體的解題模型，可以更好地幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)與思維方式。因此，除了文中提到的這幾個(gè)方法以外，教師還要在具體的教學(xué)實(shí)踐中不斷探索與總結(jié)轉(zhuǎn)化與化歸思想方法的更多應(yīng)用模式與教學(xué)策略，引導(dǎo)學(xué)生真正學(xué)會(huì)通過(guò)矛盾轉(zhuǎn)化解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

總而言之，轉(zhuǎn)化與化歸思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性不言而喻，但我們的目的不僅是幫助學(xué)生掌握高效解題的思維模型，更重要的是要促進(jìn)學(xué)生的解題能力、學(xué)習(xí)能力及創(chuàng)造能力的提升，在此基礎(chǔ)之上對(duì)思維的廣度和深度進(jìn)行綜合訓(xùn)練，以發(fā)展學(xué)生的思維潛能，提升學(xué)生的思維品質(zhì)，真正指向?qū)W生的高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與塑造。

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