基于SOLO分類理論的數學運算分析與思考

張陽

摘? 要：數學運算素養是指在明晰運算對象的基礎上依據運算法則解決數學問題的素養. 根據SOLO分類理論運算等級，2020年全國新高考Ⅰ卷中的所有試題均可以按照四種層次進行分析，不同層次的數學運算源于學生對問題的表征差異，而學生的學科素養水平直接影響其表征能力. 在教學中，教師需要從課程標準演進中解讀數學運算，在數學學科核心素養中理解數學運算，依據系統論原則培養學生的數學運算素養.

關鍵詞：新高考;數學運算;表征;系統;流程圖

數學運算是指在明晰運算對象的基礎上依據運算法則解決數學問題的素養. 數學運算包括算理與算法兩個部分：算理指數學運算規則，如四則運算、代數式運算法則、方程與不等式的恒等變換、三角恒等變換、矩陣運算等;算法指數學運算的方案與程序，是在算理自覺運用的前提下，與所學內容高度融合，形成某個特定問題的解題思維方法，是學生創新意識與綜合能力的體現.

數學運算考查的內容主要集中在掌握運算法則、設計運算程序兩個部分. 前者強調算理，后者體現算法.

一、基于SOLO分類理論的數學運算分析

以2020年全國新高考Ⅰ卷為例，對基于SOLO分類理論的數學運算進行分析. SOLO分類理論是以等級劃分的形式來描述學生思維能力目標，從而評價學生學習質量的一種“質性評價”方法. 按照這一分類理論將數學運算進行層次劃分，如表1所示.

2020年全國新高考Ⅰ卷共22道題，除了第20題立體幾何題第（1）小題可以用邏輯推理進行證明外（考查線面垂直關系的證明，也可以通過建立空間直角坐標系，利用向量計算的方法進行證明），其余各題都需要進行數學運算.

可以看出，數學運算是高考數學的考查重點，作為數學學科核心素養之一，與其他數學核心素養相互聯結，共同為解題服務.

1. 概念引發單一表征，考查數學運算規則（單點結構U）

問題中的概念理解沒有難度，其表征形式單一，解題路徑唯一，僅考查數學運算中學生的算理能力. 在解題時，學生沒有歧義，方法選擇及運算均沒有困難.

【評析】問題表征對象單一，目標明確，考查學生復數的運算法則，易于操作，難度低.

2. 概念引發多元表征，形成不同運算路徑（多點結構M）

低難度的數學題考查學生對數學基本概念、基礎知識、基本方法等數學知識的掌握情況. 此類問題的特點是概念本身引發的多元表征，學生通過表征數學問題（表征世界），映射所掌握的內在知識（被表征世界），形成解題路徑，不同的解題路徑對應著不同的運算路徑，從而解決問題.

【評析】數學問題的表征形式相對固定，它將作為外部世界的現實問題，加工成圖象、圖表、表格、符號、動作、語言等初步存儲到學生的大腦，此時學生的大腦對表征結果進行了抽象化處理，主要包括數量、關系等. 表征結果與學生認知體系的對應產生了不同的解題路徑. 該題方案1，表征結果與學生認知體系中的立體幾何產生了對應，側重于邏輯推理的數學運算;方案2則是解析幾何與之產生對應，側重于方程的數學運算. 因此，該題更多的是考查學生對運算方案的選擇.

4. 數學學科素養水平，映射運算方案優化程度（抽象擴展結構E）

對于較為復雜的背景材料，學生要整合多個數學學科素養，對問題進行推理與演繹，通過分析條件和條件間的聯系，尋找不同的解題方案，進行試驗，在試驗中往往會出現阻礙與不暢的現象，需要學生不斷地調試、優化，最終確定最優方案. 本質是程序設計優化的過程.

【評析】該題的兩種方案都有依據，屬于表征后的合理聯想，但是在數學運算中算法（即運算的程序）優化是解決問題的重要因素，所以數學運算不單是計算能力，也是思維水平的體現，它的高效快捷依賴于邏輯推理、直觀想象、數學建模、數學抽象、數據分析的綜合應用，是學科素養的整合結果. 學生的數學學科素養水平高低，映射運算方案優化程度不同.

二、關于數學運算的教學思考

數學是研究數學關系和空間形式的一門科學. 數學教育承載著立德樹人根本任務及發展素質教育的功能. 培養學生用數學眼光觀察世界，用數學思維分析世界，用數學語言描述世界，教師對數學運算的理解直接影響教學的效果與目標的達成.

1. 從我國課程標準演進中解讀數學運算

中學數學課程標準前后經歷過四次系統變化，見表2.

從表2可以看出數學運算一直是課程標準的重要組成部分，但是數學運算的內涵卻發生了一定的變化，在1952年與1963年的課程標準中用計算能力來理解數學運算，即強調了數學運算中的算理部分，要求學生精通算理、準確計算;2003年的課程標準中用運算求解能力對應數學運算，其背景是隨著計算機的普及，煩瑣的計算可以由計算機部分替代，教材內容隨之發生變化. 例如，開根、對數表等內容均從教材中去除. 但是此時仍強調運算求解，對算理的要求大于對算法的要求. 2017年的課程標準則明確將數學運算作為數學學科核心素養之一，其背景是人工智能與大數據時代的到來，對運算方案提出了更高的要求，要求學生能設計算法程序，優化算法過程.

在課程標準的演進中，不難看出，數學運算從數學運算的重計算（算理）發展為重方案（算法）、重程序.

2. 在數學學科核心素養中理解數學運算

數學運算是數學學科核心素養的重要組成部分，它的合理使用離不開其他五大核心素養的支撐，六大核心素養之間是相互滲透的，如數據分析與數學運算. 數學學科核心素養在解決問題中的作用，如圖7所示，數學運算與其他核心素養之間的關系，如圖8所示.

數學運算在六大核心素養中往往起到聯結作用，因為它們彼此間的影響強弱不同，但總體上相互關聯，所以在課堂教學中培養數學運算素養需要全面培養學生的數學學科核心素養.

3. 依據系統論原則培養學生的數學運算素養

系統論認為，系統是由相互作用和相互依賴的若干組成部分，結合成具有特定功能的有機整體. 一切事物、現象和過程均可看作有機整體，成為系統. 在系統中，數學運算可以看作課堂教學的目標系統之一，也可以看作問題解決系統中的一環. 依據此理論，常見的解題流程圖有循環結構（如圖9）和順序結構（如圖10）.

循環結構的特點是重復表征、建模、推理、運算等過程，每一次都是在預設順利進行的情況下推進，當受阻時即重復解題過程. 而順序結構則是對實際問題進行多元表征，由表征結果進行多種方案預設，再優選方案，進行運算推理，得到數學問題的解答，再回歸實際問題結論. 兩種結構在解決問題時優劣與問題的難度有關. 基于SOLO理論對數學問題進行分類，其中單點結構（U）與多點結構（M）選用循環結構較適用，而對于關聯結構（R）與抽象擴展結構（E）則順序結構效率更高. 在數學教學中，應讓學生有意識地體驗兩種解題流程，感悟核心素養在數學解題全流程中的應用，特別是順序結構中的表征活動與方案設計，應該作為教學的重點內容.

參考文獻：

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