在數(shù)列中應(yīng)用函數(shù)思想解題策略探究

胡魁勇

摘要：函數(shù)思想是學(xué)生在中學(xué)階段接觸到的最重要的數(shù)學(xué)思想之一。數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，充分利用函數(shù)思想解決數(shù)列有關(guān)問題，可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)列的認(rèn)識(shí)，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，而現(xiàn)行教材較少涉及函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用。基于此，本文探討了在數(shù)列中應(yīng)用函數(shù)思想解題的策略。

關(guān)鍵詞：函數(shù)思想? 數(shù)列? 解題策略

近幾年，在高考試卷中，利用函數(shù)思想解決數(shù)學(xué)問題屬于高頻考點(diǎn)。通過建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，可以充分運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)和圖像分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而解決問題。數(shù)列在初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中都占有重要地位，在古代數(shù)學(xué)中更是處于中心地位。設(shè)計(jì)利用函數(shù)思想解決數(shù)列問題，有助于提高學(xué)生靈活、綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)方法的理解。特別是部分特殊數(shù)列和較為復(fù)雜的遞推數(shù)列，如果學(xué)生用常規(guī)方法，則難以解決，而使用函數(shù)思想往往可化難為易、化繁為簡，找到解題捷徑。下面，筆者通過一些示例談?wù)勅绾螒?yīng)用函數(shù)思想解決數(shù)列問題。

一、函數(shù)解析式的應(yīng)用

數(shù)列是關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)，所以學(xué)生可以運(yùn)用求函數(shù)解析式的方法——待定系數(shù)法、求數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式。

例1.（待定系數(shù)法）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若S12=84，S20=460，求S28。

解：由題意可知，該等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)

∵設(shè)Sn=An2+Bn（A≠0）

∴? ? ?84=144A+12B

460=400A+20B

A=2

B=-17

∴Sn=2n2-17n

∴S28=1092

此題應(yīng)用了二次函數(shù)解析式解題，二次函數(shù)是學(xué)生在初中就接觸到的函數(shù)，較為簡單。這道例題充分體現(xiàn)了函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓展了學(xué)生思路。

二、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

例2.已知數(shù)列{an}，通項(xiàng)公式為an=（n+1）（? ? ? ）n? （n∈N），試問該數(shù)列有沒有最大的項(xiàng)，若有，求出其項(xiàng)數(shù);若沒有，請(qǐng)說明理由。

解：該數(shù)列有最大的項(xiàng)，理由如下：

an+1-an=（n+2）（? ? ? ）n+1-（n+1）（? ? ? ）n = （? ? ? ）n

當(dāng)n<9時(shí)，an+1>an，數(shù)列{an}單調(diào)遞增

當(dāng)n>9時(shí)，an+1

當(dāng)n=9時(shí)，an+1=an，即a10=a9

數(shù)列{an}有最大值，其項(xiàng)數(shù)為9或10。

此數(shù)列既不是等差數(shù)列，又不是等比數(shù)列，用求出各項(xiàng)再研究其規(guī)律的方法不易完成。如果學(xué)生從函數(shù)思想出發(fā)，從研究函數(shù)單調(diào)性入手，并利用指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值恒大于0，就簡單得多。雖然解此題時(shí)需要掌握指數(shù)函數(shù)，但這個(gè)方法能拓寬數(shù)列最值的求解思路。

三、函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用

例3.非零等差數(shù)列{an}中，前m項(xiàng)和Sm=Sn（m≠n），求Sm+Sn。

解：設(shè)Sn=An2+Bn（A≠0）

y=An2+Bn（A≠0）的圖像是一條過原點(diǎn)的拋物線

∵Sm=Sn（m≠n）

∴該拋物線的對(duì)稱軸為x=

拋物線與x軸的交點(diǎn)其一為（0，0）

∴另一交點(diǎn)為（m+n，0）

∴Sm+Sn=0

此題由Sn=An2+Bn（A≠0）很自然就聯(lián)想到了二次函數(shù)，從二次函數(shù)圖像對(duì)稱性入手，易于學(xué)生理解和掌握。

總而言之，在數(shù)列教學(xué)中，教師除了要注重理解和掌握學(xué)生數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)外，還要適當(dāng)滲透函數(shù)思想在數(shù)列相關(guān)問題中的應(yīng)用，深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解，達(dá)到提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)。

參考文獻(xiàn)：

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（作者單位：重慶市開州區(qū)中和中學(xué)）