深度學習在數學教學中的生成與進階

【摘 要】 《中國高考評價體系說明》要求數學考查轉向，實現學生在數學教學中的深度學習.學生的深度學習生成與進階可以從四個方面實施，即明確教學三種邏輯，尋找學生最近發展區;合理設計體驗情境，設計數學具身活動;把握學生數學需求，高效進行知識交互;助力學生知識建構，主動回歸現實應用.深度學習的實施還需要教師確立學生體驗為核心的教學理念，優化教學環節.

【關鍵詞】 復數;深度學習;HPM;具身

2019年教育部頒布了《中國高考評價體系說明》，搭建“一核四層四翼”評價結構，其中“四翼”提出了考查要求，即“基礎性、應用性、綜合性、創新性”.2020年高考數學山東卷以及適應性考試的試題都清晰地體現了考查要求的轉向，由考知識轉向考應用，由考解題轉向考方案，由考問題轉向考創新，這種轉向要求數學課堂教學能夠實現學生的深度學習.

深度學習是指基于人類探究、創新和有目的行為，旨在激發學生與教師的活力與激情，讓學生更合乎人類的本性，讓學生更直接、深度地投入、參與到學習中，進而實實在在地改變生活，改變世界[1].主要體現在三方面，一是運用知識解決現實問題;二是反思生活與改變世界;三是促進核心素養的生成.

1 深度學習在復數教學中的生成與進階

數學教學作為一個系統，包含靜態要素：教師、學生、教學內容與教學環境.四個靜態要素相互關聯、相互影響，以學生深度學習為導向的數學教學需要四個要素協調運作，教師需要發揮積極作用，為教學系統提供驅動力，將數學教學中的靜態要素串聯為動態系統，促進深度學習的生成與進階，圖1為生成深度學習的四要素關系圖.

1.1 明確教學三種邏輯，尋找學生最近發展區

最近發展區是指學生現有發展水平和潛在發展水平之間的距離，教師的教學設計首先要依據所教學生的學情，尋找學生的最近發展區，確立教學目標，即在教師的幫助下學生可以夠得著的潛在發展水平.教師可以從知識邏輯、教學邏輯、認知邏輯三種邏輯角度，分析并尋找學生的最近發展區.

案例1 復數的概念（2019年人教A版）教學分析

學生現有水平：能夠解決判別式大于或等于0的實系數一元二次方程根的問題，理所當然地認為判別式小于0時的實系數一元二次方程無實數根;曾經歷過一次數系擴充，即方程的根從有理數到無理數的過程，在沒有無理數概念時，學生能夠解方程x2-4=0，但是不能求解方程x2-2=0的根.

學生的最近發展區：學生學習了對數的概念，如2x=3中x的對數表達，通過引入新的數學符號對概念進行定義.

三種邏輯：①知識邏輯，數系的擴充已經完成了自然數、整數、有理數、實數四個過程，每一過程都是在上一數系基礎上，重新定義新的數，同時后者的運算規則兼容前者的運算規則;②教學邏輯，即類比推理的方法可以得出復數概念的新定義與運算法則;③認知邏輯，面對方程x2+2=0，可以選擇方程無解，也可以思考無解的原因是我們關于數的認識局限性，如在整數域內解方程x2-2=0，也是無解的，但是如果在實數域內解方程x2-2=0，則是有解的，所以是否有解與所處于的數域有關，自然得出復數的定義，這是一種基于自身體驗產生的需求問題，是一種具身認知.

點評 ①教師的教學不僅僅是將知識告訴學生，還應在學生已有認知基礎上構建新認知，所以教學首先要清楚學生關于所要學習知識的最近發展區，讓新知識的構建有錨點，案例一中針對學生已經學過的數系擴充進行了分析，同時對一些數學概念進行了回顧，準確尋找到學生知識體系中的生長點.②三種邏輯中，知識邏輯基于數學大概念，教學邏輯基于歸納推理的嚴格邏輯證明，認知邏輯中學生的體驗是教學的核心，三種邏輯的正確理解與應用是教學高效的保證.

1.2 合理設計體驗情境，設計數學具身活動

情境體驗是學生從“他心”到“我心”轉化的環節，在體驗前教師所展示的問題或學生所處的情境，對于學生而言，是與自身無關的身外情境，在經歷過具身活動（物理具身、思維具身、想象具身與情感具身）后，學生成為情境的主角，問題的解決成為其自身的需求.

具身活動指身體、思想、情感與想象協調參與的活動，不能狹隘地理解為必須身體參與的教學活動才是具身活動.教學中的具身活動需要根據教學內容與學情進行情境設計，學習內容直接來源于現實生活，可以設計從現象到學科知識的全過程體驗;學習內容來源于其它數學模塊知識的，可以從HPM（數學史）的角度進行體驗，這種體驗是“像數學家一樣學習數學”，是從數學舊知生成數學新知的體驗.

案例2 復數的概念（2019年人教A版）情境活動

學生活動1：問題1：已知方程組x+y=10，

xy=40，分別求x，y的值.

生1：代入消元，可得一元二次方程x2-10x+40=0，其中判別式Δ=-60<0，所以方程無解，即原方程組無解.

師：歷史上曾經有人給出了方程的解，早在五百多年前意大利數學家卡爾丹研究的問題“把分成兩部分，使其乘積為”這一問題，卡爾丹給出兩個“數”5+-15和5--15，認為這兩個數就是題中方程組的解.

生2：根式下面是負數沒有意義的.

師：很長一段時間大家都這么認為，但是如果將這兩個數當作有意義，通過檢驗，它們是滿足原方程組的.所以這種寫法有其合理的一面，即原有范圍內的數不能解決這一問題.回想數的幾次擴充，我們用什么樣的視角理解這兩個看似沒有意義的數.學生活動2：

問題2：在整數范圍內求解方程x2-2=0;在有理數范圍內求解方程2x=3.

生3：求出的解都不滿足要求，第一個方程求出是x=±2，第二個方程的根是log23，前者不是整數，后者不是有理數.

師：那么如何改編問題，就可以順利地求出解？

生4：將題中的數域進行擴張就可以了.

學生活動3：

問題3：請同學們參考問題2中的數域擴張，對問題1也進行一次數域擴張.（同學討論、自學）

點評 復數來源于解方程時的困境，它并非是身體物理參與發生的.①上述活動基于HPM，即數學史角度重現復數概念的發生發展，讓學生在解題中既感受到復數出現的合理性，又感受到復數定義的迫切性;②在教學邏輯上，采用類比的方法，在歷史上，每一次數域的擴充都伴隨著新概念的出現，讓學生重走數學家的探索之旅.

1.3 把握學生數學需求，高效進行知識交互

傳統教學由教師端單向供給知識，深度課堂中教學首先由學生端對知識產生強烈需求，教師再進行知識靶向供給.前者是一種大水漫灌式的教學，與學生需求無關，是教師完成教學任務，對知識的自我構建;后者是精準地滴灌，學生需求是教師教學的方向，是基于學生對知識的自我構建.在知識交互中，教師與學生分別處于知識的上下游，當教師進行知識傳遞時，學生只有處于積極開放的狀態才能更好地對知識進行內化，所以深度學習的各環節呈前后邏輯關系.

案例3 復數的概念（2019年人教A版）知識交互

問題4：如圖2，觀察歷史上曾經發生過的數域擴張，說明數域擴張的特點.

生5：數域擴張的特點有兩個，一是擴張均來源于解方程的需要，二是都加入了新數.

師：總結的非常到位，我們來看一下歷史上的復數是如何定義的.由數學家歐拉引入字母i來表示方程x2+1=0的解，規定i2=-1，其中i叫做虛數單位.

視頻介紹：①復數的產生：“虛數”是17世紀數學家笛卡爾創設，當時認為它不是真實存在的數字，后來發現虛數可對應平面上的縱軸，與對應平面上橫軸的實數同樣真實，虛數軸和實數軸構成的平面稱復平面，復平面上每一點對應著一個復數.歐拉與復數，1746年歐拉在給哥德巴赫的一封信中提到虛數.1748年，歐拉發表了對復數的發展具有重要作用的歐拉公式：eix=cosx+isinx，并用這個結果處理大量問題.②高斯與復數：1831年高斯發表有關復數幾何表示的相關論文，1831年高斯在論文《雙二次剩余理論》以及 1831年的《哥廷根學報》論文中，對復數進行清晰的幾何表示.高斯認為虛數是客觀存在的[2].

師：復數的定義、復數的分類、復數相等（略）

點評 復數在其發生發展過程中備受爭議，許多學者均認為它虛無縹緲，沒有實際價值.在教學過程中，有些學生也存在這種認識，如何克服這種心理，是教學的重點.所以本節課依據數學史觀（HPM）處理，幫助學生迅速完成數系擴充的合理性建構，教學過程讓學生像數學家一樣研究擴充過程.

1.4 助力學生知識建構，主動回歸現實應用

傳統數學教學往往強調數學知識的邏輯性及抽象性，忽視數學知識的實際應用，這既容易造成學生對數學學習產生畏難心理，又容易形成數學只停留在學習場景中的局面，因此高中數學教學迫切需要讓數學走進現實生活.

案例4 復數的概念（2019年人教A版）回歸體驗

師：復數在量子力學、系統分析、信號分析中有著廣泛地應用，但是在初等數學以及日常生活中很少涉及，在教學中應對學生指出，它現在還處于認識狀態，我們生活中的手機信號處理都需要復數知識，它在物理學中有著廣泛應用，當前需要從基礎學起.問題6：當m為何實數時，復數z=m2+m-2+（m2-1）i分別是_______.

（1）實數; （2）虛數;（3）純虛數;（4） 0.

問題7：解方程 x3-1=0.

生：略.

點評 復數知識的特殊性，使得我們找不到符合學生已有認知的現實世界實例，教師需要指出復數的發展方向，讓學生明白學習知識的必要性，此時數學是抽象的、脫離現實生活的.在體驗中設計兩個問題，分別回顧復數的基礎知識與解方程的應用，其中問題7是復數的具身體驗.

2 深度學習在數學教學中的思考

數學是一門高度抽象的學科，其發生發展需要依據嚴謹的邏輯推理，數學也是許多學科的基礎，所以數學的教與學需要教師厘清教學內容的知識邏輯，遵循學生的認知邏輯，明晰教學邏輯，促進學生的深度學習.

2.1 改進教學理念，培養學科素養

數學學科素養的形成需要深度學習.由于深度學習需要學生明晰學習內容的生活價值，即清楚為什么學習，理解學習內容的發展方向，即學習后能解決什么問題，因此深度學習可以激發學生學習興趣，強化學生學習內因.同時深度學習中的教師處于顧問的角色，僅在學生解決問題遇到障礙時，才提供幫助，這種幫助可以是知識的交互活動，也可以學生體驗的指導，無論哪一種形式，教師都與學生處于平等狀態，學生的學習是一種成功的自我建構過程，在建構過程中自然地實現了數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析的學科素養培養.

傳統教學過分注重靜態知識的傳遞，忽視數學學科素養的形成，主要有三個方面原因，一是高中數學內容處于從直觀向抽象過渡階段，高考內容繁雜且變化多樣，許多學生對數學有著畏懼心理;二是學生對為何學習這些內容并不清楚，很多時候感覺是教師強加于學生的知識，學生對數學缺乏興趣，導致許多學生厭學;三是教學質量評價行政化，行政主管部門對教師的考核主要以考試成績為主，為此教師不僅要在有限的時間內完成課本上內容的教學任務，還要補充大量的課外知識，甚至需要超前教學.三重原因導致數學學科教學打著素質教育的旗幟，走的卻是應試教育.以深度學習為目標的數學教學可以促進學生高階思維的養成，有助于破解傳統教學中的困境.

2.2 優化教學環節，實現深度學習

課堂教學中的學生常以兩種狀態呈現，一是聽眾的狀態;二是基于自身需求的狀態.傳統教學（甲）中學生處于前一種，深度學習的教學（乙）中學生處于后一種.

教師教學順序如圖3：

圖3中，教師甲處于主導地位，教學流程中，教師先將知識傳遞給學生，并對所傳遞知識進行總結，再讓學生利用知識解決問題.教學系統中的教師與學生各自處于高低不同位置，是一種不平等的教學形式;學生的學習動力并非來源于自身需求，更多地是教師的灌輸產生的動力，學生對于知識仍處于自我認知狀態.

教師乙先讓學生體驗問題、發現問題，主動提出自己遇到的困難，教師針對學生的解題需求組織教學，具有很強針對性.學生對現象問題的體驗形成教學的原動力，學生對知識的困惑與釋疑形成教學的表層主線，學生對知識的感悟與生成形成教學的深層線索，最終實現新知與舊知的融合，有效解決真正問題，提出自己的解決問題方案，形成自己的解題特征，即為深度學習.

深度學習下的教學環節需要以學生的具身感知為中心，教師在學生力圖擴充自己的內部視域時出現，在學生體驗知識與生成知識時及時退出，不越位不缺位.3 結語

深度學習強調學習要在知識理解的基礎上發生，通過對知識的再背景化、再情境化，還原知識的真實面貌，讓學習者與知識的原初與本質相遇;強調學習者認知、情感、態度、行為的高投入性和學習過程的沉浸性;強調學習者能夠在眾多知識與思想間建立關聯，把握學科的核心思想、意義與本質[3].教師、學生作為教學系統的兩個核心要素，都需要全新的思想理解深度學習，讓自己成為深度學習的動力源，培養學生的高階思維.

參考文獻

[1] 張良，楊艷輝.核心素養的發展需要怎樣的學習方式[J].比較教育研究，2019（10）：29-36.

[2] 孫慶華，包芳勛.復數的歷史發展及在中國早期的傳播[J].西北大學學報（自然科學版），2006（03）：502-506.

[3] 張曉娟，呂立杰.SPOC平臺下指向深度學習的深度教學模式建構[J].中國電化教育，2018（04）：96-101.

作者簡介 張陽（1976—），男，江蘇蘇州人，中學數學高級教師.研究方向：數學現象教學與具身課堂.蘇州市學科帶頭人.