以退為進 把握本質

【摘 要】 借助以退為進的思想對試題的解法、思路進行分析，把復雜問題退到簡單問題，退到學生最容易看清楚的地方，經歷感受、體驗的探究過程，讓學生看清問題的本質，從而順利解決問題.

【關鍵詞】 以退為進;把握本質

1 提出問題

設數列{an}的通項公式為an=2n-13n，問：在數列{an}中，是否存在三項，使得它們構成等差數列？若存在，求出這三項;若不存在，請說明理由.

這是一道典型的數列“整數解”問題，作為本校模擬考試壓軸題的最后一問，得分率很低，全班只有兩位同學用特殊值驗證出一組解.在試卷評講前，筆者進行了廣泛調研，對于“數列{an}中是否存在三項”，大部分學生都有基本思路，即設存在三項ap，aq，ar構成等差數列.學生的困惑主要表現在：三項之間的大小關系如何確定？還是討論三種情況？即列出2ap=aq+ar或2aq=ap+ar或2ar=ap+aq后無法確定具體的研究目標，有幾位學生為研究問題的方便，設p>q>r，但沒有意識去求數列的單調性，導致得不到ap，aq，ar的大小關系，也只能憑直覺列出等式2（2q-1）3q=2p-13p+2r-13r而束手無策.為什么學生想不到運用數列的單調性處理所列出的等式呢？

2 教學分析

若讓學生求數列{an}的單調性，則大多數學生能完成，但在具體問題中，學生卻想不到運用單調性.究其原因是未能深刻理解問題的本質.學生列出等式2ap=aq+ar后，不能認識到這是不定方程的求解，整數p，q，r不能直接解出.其實，可借助數列的單調性“限值”將等式轉化為不等式，然后“逼出”整數p，q，r的值.

怎樣讓學生接受這樣的處理方法呢？直接評講，學生雖然能聽懂，但再次遇到類似問題，也許仍然束手無策.只有讓學生多體驗感受、多探究思考，學生才能吃透方法的本質，方能靈活運用.站在學生的角度看，這道壓軸題確實不簡單，可以采用“以退為進”的教學手段，從簡單問題人手.學生愿意思考，愿意跟著教師逐步深入，從而自然而然地解決問題.在探究過程中，學生也能體驗到思考的樂趣，更容易認識問題的本質.

3 教學過程

針對以上教學分析，筆者就這道數列題，立足學生已有的知識經驗，從簡單問題入手，通過問題設計，將思維活動引向縱深，找到問題的本質，力圖達到精講一題，通曉一類的效果.

3.1 以退為進

問題1：同學們，這次考試的數列壓軸題有一定難度，但它所涉及到的解題策略值得我們認真研究.為此，先請大家思考一道同類的簡單題.題1 設數列{an}的通項公式為an=2n-13n，求滿足an=527的所有正整數n.

先設置一個簡單的方程，引導學生初步探究，然后逐步深入，讓學生有一個適應的過程，這體現了循序漸進的原則，學生對所用到的方法理解也更深刻.對于題1，學生易想到用特殊值法處理，由an=2n-13n，得a1=13，a2=39，a3=527，發現n=3是滿足條件的一個解.還有沒有其他解呢？學生自然會繼續往下求，能夠發現數列的走勢，也能斷定沒有其他解.問題2：很多學生依次求出數列的前幾項，發現an（n≥2）隨著n的增加而減小，基本確定n=3是唯一解，那么能從嚴密推理的角度證明嗎？

問題2不難，學生容易想到求數列的單調性.由an=2n-13n，得an+1-an=2n+13n+1-2n-13n=4（1-n）3n+1，當n=1時，a1=a2;當n≥2時，an+13時，an<527，故方程只有唯一解n=3.

3.2 循序漸進問題3：我們運用數列的單調性解決了題1，接下來，我們再研究一道與這次考題相近的題目，請大家思考題2，找一找解題思路.題2 設數列{an}的通項公式為an=2n-13n，試問：是否存在正整數p>q，使得a1，ap，aq成等差數列？如果存在，求出p，q的值;否則，請說明理由.

循序漸進，讓學生先思考類似的簡單問題，學生由題1知道了數列單調性的重要性，他們也許自己能夠找到解題思路.首先，容易由a1，ap，aq成等差數列，得到2ap=a1+aq，即4p-23p=13+2q-13q.然后讓學生觀察該式，思考突破口，應該有學生想到an=2n-13n（n≥2）單調遞減，當an大于或等于某一個值時，n都只有有限個解.因為2q-13q>0，所以4p-23p>13，即2p-13p>16.當p=4時，不等式不成立，由單調性可知p≥4時不等式無解;又p=1不符合題意，而當p=2時，有2q-13q=13，得q=1或2，也不符合題意;當p=3時，1027=13+2q-13q即127=2q-13q，解得q=5.綜上，存在p=3，q=5使得a1，ap，aq成等差數列.

3.3 自然求解問題4：方程4p-23p=13+2q-13q有兩個未知數，我們稱這樣的方程為不定方程，不定方程通常不能直接求解.對于這個不定方程，我們可以借助數列的單調性，將其轉化為不等式，從而逼出未知數的整數解.那么，我們能不能據此解決原考題呢？

問題4總結了題2的解法，指出不定方程的整數解的常規處理方法，繼而要求學生解決原考題，這不僅揭示了問題的本質，還讓學生的思維不斷層，符合學生的認知水平.

學生容易得到：假設存在三項ap，aq，ar滿足題意，不妨設p2q-13q>2r-13r，但難以繼續處理，需要教師引導.

問題5：我們已經得到數列an=2n-13n（n≥2）單調遞減，請同學們從直覺出發，探究這個數列為什么單調遞減，遞減的速度怎么樣？

一般來講，數學問題中少有類似問題5這樣的問題，這是一種非理性的直覺性問題，它要求學生運用所學知識感知預測結論，雖然沒有邏輯推理的嚴密性，但若所預測的結論正確，則能為解決問題提供思考方向.這與新課程理念提出的6個核心素養之一的“直觀想象”一致.

教師需要引導學生理解“分子2n-1與分母3n都是遞增數列，但分母增長速度比分子快得多，隨著n的增大，an接近于0的速度很快”，然后要求學生繼續思考.如果學生基礎不好，可能還要教師引導，實際上，到了某一項后，由于an“下降”得很快，任意一項總比其后的一項的2倍大.于是，有如下處理：當p≥3時，ap-2ap+1=2p-13p-4p+23p+1=2p-53p+1>0，又由于ar>0，所以p=1或2.到此，考題也就變成題2.

3.4 深化研究

問題6：我們通過數列的單調性，以及數列增減的“速度”解決了這次考試的壓軸題，現將考題適當引申，請同學們思考下列題3，看看能不能找到解題思路？

題3 是否存在正整數k和p，使得ak=9ap？如果存在，求出k和p的值;否則，請說明理由.

由前面的探究，學生已經積累了一些經驗，要關注數列的單調性，可以由等式轉化為不等式，進而確定不等式解的個數有限.學生都能得到：由ak=9ap，得2k-13k=9×2p-13p，由于an（n≥2）是遞減數列且an>0，所以ak>ap，即k

數列增減“速度”的直觀思考，學生運用的較少，要著重引導學生思考.數列an（n≥2）單調遞減，且減的“速度”較快，要力爭引導學生得到結論：對于任意正整數k，如果p比k大一定的“距離”，可能會得到ak>9ap總成立.由此，學生會試求ak-9ak+1，ak-9ak+2，ak-9ak+3，ak-9ak+4等值的正負，很快會發現ak-9ak+1<0，ak-9ak+2<0，ak-9ak+5>0.又當p=k+3時，解得k=2，p=5;當p=k+4時，解得k=1，p=5.

4 教學反思

對于這道壓軸題，筆者備課時進行了調查了解、問題研究、教學設計.課堂教學過程中，學生能積極思考，探究熱情較高，教學效果較好.下面，再與讀者交流幾點想法.

（1）講評質效.一般情況下，題目有難度，常規評講教學效果并不理想，難題講不到位，對班級學生拔高不利.若教師能通過精巧的教學設計，引導學生深入思考，啟發學生認識問題的本質、掌握思想方法，則可以提高學生解決問題的能力，達到講評的目的.

（2）以退為進.循序漸進的教學原則，由于其起點低，能夠帶領大多數學生思考，讓學生都有所收獲;又由于其問題的連貫性，能夠激發學生的探究興趣，有利于把問題引向深入，是“拔尖”教學的好手段.若說“以退為進”的教學手段能“補差，推中，拔尖”，有些夸大，但確實能兼顧每個學生.

（3）提高素養.提高學生數學素養的前提是教師的素養要高.教師不僅要有先進的教學理念，還要有較強的數學專業素養.首先，教師要能認識問題的本質，把問題想清講透，否則照搬答案，學生怎能接受？其次，教師要有較強的思想性，教師不會想問題，只是機械變式，只能提高學生的基本功，能力難以提高;只有教師會想，才能設計出合理有價值的教法，把學生的解題思維引向深入.

作者簡介 梁永年（1978—），男，江蘇濱海人，中學高級講師，研究方向：高中數學教育與教學.鹽城市高中數學教學能手，2020年10月獲鹽城市基礎教育成果一等獎，2021年1月獲江蘇省教科研先進個人.