培養解題思維 解決數學難題

蘇興震

[摘? 要] 解題教學在任何一門學科教學中都是關鍵一環，既可以檢測學生對知識的掌握與運用情況，還能夠為后續教學指明改進的方向，幫助他們進一步鞏固知識. 在初中數學教學中，隨著知識難度與深度的提升，相應地學生遇到的難題也是越來越多. 面對這一現狀，教師需著重培養他們的解題思維，使其主動探究解題思路，不斷提升自身的解題技巧與思維水平.

[關鍵詞] 解題思維;數學難題;批判思維;逆向思維

為了培養學生的數學解題思維，更好地解決數學難題，文章從以下五個方面進行闡述.

借助一題多解優勢，培養學生靈活思維

現階段，初中數學試題的設計思路越來越注重對學生靈活性思維的考查，題目較為新穎，難度也較大，可以通過多種不同的方法來解題. 學生只有透徹掌握知識，才能靈活運用知識來解題. 初中數學教師可以借助一題多解的優勢展開解題訓練，鼓勵學生盡量想出更多的解題方法，使其體會到數學知識的靈活性，通過培養他們的靈活思維順利解決數學難題.

例1? 如圖1，在△ABC中，點D位于邊AC上，且CD的長度是AD的2倍，E為BD的中點，將AE延長同BC交于點F，求BF ∶ FC的值. 本道題具有多種解答方法，教師可要求學生探討出多種不同的解題方法，如：（1）使用三角形中平行線段成比例的特性解題，過點D作DN∥AF，N為BC上的一點，如圖2所示，由于點E是BD的中點，依據三角形中位線定理判斷出點F是BN的中點，結合平行線的特性得出CN ∶ NF=CD ∶ DA=2 ∶ 1，則CN=2FN=2FB，推出BF ∶ FC=1 ∶ 3;（2）利用相似三角形的特性解題，過點A作BC的平行線，同BD的延長線相交于點M，如圖3，得到兩組相似三角形，即△ADM∽△CDB，△AME∽△FBE，則AM ∶ BC=AD ∶ DC=DM ∶ BD=1 ∶ 2，AM ∶ BF=ME ∶ BE=2 ∶ 1，2AM=CB，據此推出BF ∶ CB=1 ∶ 4，BF ∶ FC=1 ∶ 3.

針對上述案例，在求解三角形題目中線段長度的比值時，通常從平行線和相似三角形兩個方面切入，通過一題多解培養學生的靈活性解題思維，促使他們不再懼怕數學難題.

精心設計一題多變，培養學生批判思維

一題多變是指轉變題目形式，利用一道常規試題衍生出更多同類型的題目，本質內容沒有發生變化. 在初中數學解題訓練中，面對一些難度較大的題目，學生往往會因思維能力不強、缺乏敏捷度等因素，運用機械不變的解題步驟，這樣很難求出正確答案. 教師可精心設計一題多變類題目，使學生深入思考與分析，找到問題的本質，培養他們的批判性思維.

例2? 已知一次函數y=（3-a）x-2a+18，求a的取值范圍. 分析：雖然本題中一次項系數和常數均是一個帶a的未知式，但是難度一般，學生可根據一次函數的定義判斷出x前面的系數不能是0，也就是3-a≠0，a≠3. 之后，教師可以設計變式訓練，適當提升題目的難度系數，如：假如該一次函數的圖像經過原點，那么a的值是什么？學生通過分析知道，此時需滿足x=0時y=0的條件，代入原函數表達式能夠求出a=9. 或者進行以下變換：假如函數圖像在y軸上的交點位于x軸的下方，試求出a的取值范圍. 目的是考查學生對函數圖像的想象能力及對函數定義的理解情況，本質上是-2a+18<0，求得a>9. 隨后教師還可以繼續變換：當x增大時，y在減小，a的取值范圍是什么？由此繼續培養他們的思維.

如此，通過一題多變逐步提升訓練難度，有助于學生掌握函數本質，使其對函數系數、斜率與圖像等由淺及深地進行理解，推動他們批判性解題思維的發展，使思維變得更為靈敏.

善于運用一題多思，培養學生縝密思維

數學解題一般對學生的邏輯思維能力與推理能力要求較高，在初中數學解題教學中同樣如此，特別是難度較大的題目，學生僅靠現有的解題思維很難應對. 初中數學教師在解題教學中可使用同步解題或者對比解題等方式，引領學生在解題中多加思考，使其深入發掘題目中的隱性條件，歸納做題規律，由此提高解題速度與準確度，培養他們的縝密性思維.

例3? （1）過點A（0，1）作出二次函數y=x2圖像的切線，求出切線的函數方程;（2）已知拋物線y=x2和y=kx+1的圖像是相切的，求k的值;（3）已知直線l和拋物線y=x2有一個公共點，而且點A（0，1）是位于直線l上的一點，求直線l的函數表達式. 解析：這幾道題均是對二次函數圖像——拋物線的切線相關知識的考查，教師可以引領學生先思考前兩道題目，這兩道題難度一般，通過分析與對比找出共同點，再分析第三道題，使其能夠從不同視角思考與探究，幫助他們形成邏輯性的解題思維. 之后，教師組織學生共同對題目的解題思路進行分析，使其通過自主探究發現自己在解題過程中容易出現的失誤與不足，提高他們分析與解決問題的能力，同時初步掌握解答拋物線切線類難題的規律.

在上述案例中，教師提醒學生在解題過程中要多思考、勤于思考，不僅思考單道題目的解題方法與步驟，還要思考題目之間的內在聯系，促使他們在解題中思維變得越來越縝密.

擺脫常規解題模式，培養學生逆向思維

在初中數學解題教學中，不少難題運用常規解題方法很難處理，即使能夠解答，過程也較為煩瑣，極易出現錯誤. 此時，初中數學教師應該鼓勵學生擺脫常規解題模式的束縛與局限性，使其從問題的結論或反方向展開思考，即運用逆向思維重新分析題目，讓學生突破固有的思維定式，最終培養與提升他們的逆向思維能力，讓他們能夠準確、高效地解答難題.

例4? 試證明無論k取什么值，關于x的方程x2+（k+2）x+2k-1=0有兩個不相等的實數根均成立. 分析：這樣的題目對于初中生來說難度較大，如果直接推導求解更是難以處理，教師可以啟迪他們思考，嘗試運用逆向思維思考與分析，使其結合反證法從題干的反方向切入，回歸已知條件中，由此能得到判別式“k2-4k+8”，通過配方法的應用進而推導出（k-2）2+4，所以k的取值對判別式的正負號沒有影響，即無論k取什么值，關于x的方程x2+（k+2）x+2k-1=0都有兩個不相等的實數根. 再如：解答一元二次方程x2+4x=5時，學生使用正向思維求出兩個解分別是x1=1，x2=-5，隨后教師引領學生采用逆向思維對方程的解進行反推，即依據逆向思維反推x1=1，x2=-5的一元二次方程.

對于上述案例，教師指導學生從題目的反向角度展開思考，使其擺脫原有解題模式的局限性，通過逆向推理找到更為簡便的解題思路與方法，同時培養他們的逆向解題思維能力.

深入研究題目內容，活化學生解題思維

在初中數學解題訓練中，不少學生認為處理數量關系問題時，一定要通過數量計算獲得結果，而處理圖形類題目時，則只需研究圖形就行，以至于他們的思維較為僵硬，極易陷入困境當中. 對此，初中數學教師需鼓勵學生深入研究題目內容，明確已知條件、未知條件，及條件之間的關系，進一步活化他們的解題思維，使其找到更為簡便且準確的解題方法.

例5? 現有一個△ABC，其中∠B是∠C的2倍，∠BAC的角平分線和BC相交于點D，請證明AB+BD=AC. 解析：當遇到此類數學證明題時，雖然題干長度一般，但蘊含的信息卻不少，為更好地理清解題思路，學生第一步要做的就是把題目中所有可以利用的條件與信息找出來加以整理與分析，增強自身的思維活力，如：題目中提到三角形的角平分線，由此聯想到等腰三角形的相關內容，根據等腰三角形的有關性質解題，證明線段相等，解決題目中的問題. 具體解答方法如下：學生可以延長CB至點F，使得BF與AB相等，再把AF連接起來，如圖4所示，從而得到△BAF是一個等腰三角形，再證明△AFC也是等腰三角形，最后證明△FAD同樣是一個等腰三角形，最終順利推導出題目中要證明的結論.

上述案例中，學生在正式解題之前，認真分析題目中的各個條件與信息，理清彼此間的關系，激活個人解題思維，并根據整理、加工的信息確定解題思路，從而加快解題速度.

在初中數學解題教學活動中，教師需充分意識到培養學生解題思維的重要性與必要性，結合數學知識的特色與規律制定解題教學計劃，并通過科學訓練培養他們思維的靈活性、批判性、縝密性和逆向性，使其掌握更多解題技巧，逐步提高解題水平.