《自動控制原理》課程中奈奎斯特穩定判據的教學探討

摘? 要：奈奎斯特穩定判據是自動控制原理課程中的難點之一，內容抽象難懂，學生普遍反映理解困難。本文針對奈奎斯特穩定性判據的教和學的問題，提出了新的教學思路。經過教學實踐證明，教學過程可以增進學生對于問題的理解，產生學習興趣，提高教學質量。

關鍵詞：奈奎斯特穩定性判據 ;自動控制原理;頻域分析法

“自動控制原理”課程是自動化專業、電類相關專業的重要的專業基礎課，是學好后續專業課程的重要基礎。”自動控制原理”課程理論性強，較為抽象，具有一定的深度和難度，? 其中奈奎斯特穩定判據是頻域分析法中比較重要的概念和內容，它使用方便，便于推廣，同時也是比較難以理解和分析的部分。本文作者根據自己的教學實踐，在本篇論文中探討了一種效果良好的教學策略。

一、教與學中存在的問題和現狀

根據筆者的一線教學觀察，注意到“奈奎斯特穩定性判據”教與學中存在的問題與現狀有三個方面。

（一）奈奎斯特穩定判據推導的教與學的困難

奈奎斯特穩定判據的數學基礎是復變函數的幅角定理，奈奎斯特穩定判據通過合理選擇了輔助方程及奈奎斯特軌跡，將幅角定理與控制系統穩定性結合在一起，推導出了奈奎斯特穩定判據。目前，教材中奈奎斯特穩定性判據的引出重數學推導過程，大多數老師的教學同樣偏重數學推理。一部分復變函數未學好的同學存在一定的基礎缺陷，看到復數的計算和應用感到茫然有壓力，看不懂書又跟不上老師講的推導，直接導致了學習效果不佳。

（二）開環極點是否包括原點與奈奎斯特穩定判據的應用問題

奈奎斯特穩定判據，以上海電力大學采用的由楊平主編的“自動控制原理”[1]教材為例，對應開環傳遞函數在原點處是否存在極點及映射的對稱性，分為奈奎斯特穩定判據1，奈奎斯特穩定判據2及實用奈奎斯特判據三種判據。教學過程中教師雖明確指出各種判據的應用背景及步驟，但大多數初學同學還是會茫然無措。從課后作業來看，大多數同學能較好的應用相對簡單的奈奎斯特判據1，針對原點處不存在開環極點的0型系統進行穩定性判定。若原點處存在開環極點，即1，2型系統，作業錯誤率就很高，尤其增補特性曲線的繪制常常是生搬硬套，稀里糊涂。這反映出部分學生并未能一次性的理解掌握相關知識，尤其增補特性曲線的繪制概念不清。

（三）是否非最小相位系統的奈奎斯特穩定性判據的應用問題

大多數教材在奈奎斯特穩定判據部分的篇幅并不大，較少提及奈奎斯特穩定性判據在非最小相位系統穩定性中的應用。授課老師由于教學課時的有限，也很少提及這部分內容，甚至不講。值得一提的是，基于奈奎斯特穩定判據的非最小相位系統穩定性判定是考研中的常考內容，學生書到用時方恨少，處理非最小相位系統的穩定性判定時會毫無頭緒不加區分，反映了本科教學中的不足。

二、教學策略的探討

（一）將MATLAB仿真引入到理論教學中

奈奎斯特穩定性判據理論推導的主要難點，在于選擇了包圍右半平面的奈奎斯特軌跡，根據輔助函數映射成奈奎斯特曲線的教學過程。傳統教學可能采用板書或者PPT，映射的奈奎斯特曲線也不具備代表性。考慮到上述教與學的問題，筆者近年來在教學過程中采用遞進式教學，利用MATLAB軟件編程，將幅角定理中圍繞右半平面的奈奎斯特曲線，如何點對點的映射為奈奎斯特曲線的過程，以動態遞進式的映射過程展現在學生面前。開環系統有針對性的選擇 三個系統作為案例，三個系統的開環奈奎斯特曲線較基礎，可驗證，作為啟發引導學生初步理解奈奎斯特穩定判據較合理。教學過程直觀生動，將學生從純數學推理中解脫了出來，學習過程通俗易懂不再枯燥，實現了抽象的理論與具體案例有機結合。其中利用了pause（ ）函數完成動態顯示，虛軸的無窮大，無窮用正負10000近似，而動態變化過程的取點可通過調試觀察，合理選擇。例如圖1為教學過程中 系統的映射演示圖，曲線映射的前期，0～1之間，映射點移動較大，將其按小步長0.05為間隔進行繪制，動態展示映射過程，而至后期可以加大步長，立足于能表現映射概略圖即可。

（二）教學內容更系統，結論更統一

文章上述已經提出傳統教學過程中存在奈奎斯特穩定判據的傳統課堂教學內容較為初級，對于特殊系統的引導性教學不足的客觀問題，這使得學生在特殊或者復雜的系統面前應用奈奎斯特穩定判據分析的知識儲備不夠完備。筆者認為在教學內容上應該更加豐富更加系統，除了基礎簡單系統的判據應用，應適當補充特殊系統的奈奎斯特穩定判據的應用的知識。

圖2為筆者在教學內容上的知識架構。奈奎斯特判據根據系統是否存在位于原點處的開環極點推導出奈奎斯特判據1及奈奎斯特判據2，而二者都可以簡化為 范圍通過穿越次數判定穩定的實用奈奎斯特判據。

教學采用案例及遞進式過程：

1. 由0型和1，2型最小相位系統（案例教學）進行基本概念的梳理，確定奈奎斯特判據1及2的基本概念及應用步驟;

2. 展開與上述案例有相關性的1，2型非最小相位系統的穩定性判據應用的討論。筆者采用的對比案例為

其中每組的映射對應可結合Matlab編程，將實際的映射過程動態呈現，結合理論分析導出結論。

3. 展開虛軸上有其他極點系統的案例的討論，例如 ，比較其相似性和不同點，找到解題思路和穩定判據的應用結論。

4. 結合較為復雜的案例，引出實用奈奎斯特穩定判據的必要性。例如選用楊平主編《自動控制原理》中的例題6-6， ，引導學生分別完成數圈及計算穿越的方法進行N的計算，分析參數K對于系統穩定性的影響。教學過程啟發引導，將本例與已講的判據1，2及例題相結合，為學生構建奈奎斯特穩定判據的完整體系。

（三）精選例題

在教學過程中，選擇合理的例題，彼此之間有一定的相關性，同時又能對應奈奎斯特穩定判據使用的各種情況，也能使得教學效果事半功倍，學生有遞進式的學習過程。筆者在教學過程中，選擇如下實例，其結構分別對應0型，1，2型及虛軸有其他極點等情況，又包含了最小相位系統和非最小相位系統，教學過程啟發式教學，讓學生在如下實例中獨立思考，對比其題目的異同，找到處理各類問題的主要方法和竅門。

（四）增加工程案例

純粹的理論教學對于學生的專業發展來說時不夠的，應嘗試在科普期刊中尋找涉及到自動化控制系統中使用奈奎斯特穩定判據方面的文章，向學生介紹文章中所應用到的奈奎斯特穩定判據的理論知識，讓學生了解科技前沿與所學知識的相關性。比如筆者在教學過程中摘選趙睿等發表的論文《基于奈奎斯特準則的換流變壓器直流偏磁引發諧波不穩定的研究》[2]作為案例，將當前的電力技術發展與教學內容相結合，起到了很好的教學效果。

（五） 教學過程融入思政元素

在全國高校思想政治工作會議上，課堂教學這一渠道，各類課程要與思政課同向同行，把“立德樹人”作為教育的根本任務。在奈奎斯特穩定判據的課程教學中，也應充分挖掘課程思政教育的功能，引導學生樹立正確的三觀，同時激發學生的學習熱情。

（1）教學中應引入奈奎斯特判據的歷史背景介紹，介紹奈奎斯特的科學貢獻及成果，奈奎斯特判據由奈奎斯特在1932年發表論文“Regeneration Theory”確定主要內容，該論文被稱為是二十世紀自動控制領域中最有影響的25篇經典論文之一。課堂教學以古知今，有助于為學生樹立社會責任意識，提高學生學習該課程的興趣和主動性;

（2）在課堂教學中力求與專業緊密結合，給學生介紹當前奈奎斯特穩定判據的具體應用，嘗試在科普期刊中尋找涉及到工程技術研究使用奈奎斯特穩定判據方面的文章，向學生介紹文章中所應用到的奈奎斯特穩定判據的理論知識，讓學生了解科技前沿與所學知識的相關性。

三、結語

筆者根據一線的教學觀察及及經驗，總結了“自動控制原理”課程中奈奎斯特穩定判據教與學中存在的不足，并針對性的進行了解決這些問題的教學探討。通過教學實踐證明，學生們在這樣的教學過程中，能更快更全面的掌握知識，達到了良好的教學效果。

參考文獻：

[1]楊平等.自動控制原理——理論篇（第二版）[M] .中國電力出版社，2009.

[2]趙睿等.基于奈奎斯特準則的換流變壓器直流偏磁引發諧波不穩定的研究[J]. 南方電網技術，2018（12）：30-36.

[3]張倩.遞進式講授教學法在Nyquist穩定判據教學中的設計及應用[J].電氣電子教學學報，2016（10）：69-71.

[4]黃瑩，陳恩策，唐厚君. Nyquist 判據在特殊系統應用上的改進[J]. 哈爾濱理工大學學報，2013（18）： 16-19.

作者簡介：余潔（1972.12），女，漢，四川渠縣，碩士，副教授，研究方向：控制工程.