高中數(shù)學(xué)建模分層次教學(xué)案例探究

摘 要：數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，它有助于培養(yǎng)學(xué)生的獨立思考能力和自主學(xué)習(xí)能力，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和綜合素質(zhì)。數(shù)學(xué)建模分層次教學(xué)是基于學(xué)生層次、認(rèn)知結(jié)構(gòu)、知識結(jié)構(gòu)的不同，分層次的逐步推進(jìn)教學(xué)。四個層次的教學(xué)案例展示了數(shù)學(xué)建模教學(xué)的四個階段，層層遞進(jìn)的促使學(xué)生參與數(shù)學(xué)建模活動。

關(guān)鍵詞：高中;數(shù)學(xué)建模;分層次教學(xué)案例

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中，提出數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，把數(shù)學(xué)建模作為內(nèi)容主線，在選修、選擇性必修部分都進(jìn)行了相應(yīng)的內(nèi)容要求、教學(xué)提示和學(xué)業(yè)要求。同時，新課標(biāo)中刪減了一部分過去高考要考的內(nèi)容，這為新增的“數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究活動”騰出了課時。雖然有了課時的保證，但數(shù)學(xué)建模教學(xué)作為“新事物”，沒有成熟的“課型”和“模式”作參考，如何進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)是一線教師面臨的一大挑戰(zhàn)。

一、數(shù)學(xué)建模教學(xué)的切入

在原始的數(shù)學(xué)課堂中，應(yīng)用題的教學(xué)備受重視。在應(yīng)用題的教學(xué)中，教師和學(xué)生處理的是對實際問題中的已知條件進(jìn)行分析，將題目中所有條件充分利用，可以得到一個確定的結(jié)果，這種課型注重的是“建立模型”和“模型求解”.而數(shù)學(xué)建模要有意識地去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，建立數(shù)學(xué)模型，然后求解模型，最后求出數(shù)學(xué)結(jié)果，并對這一結(jié)果進(jìn)行分析檢驗、不斷校正。可以發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用題的解答只是整個數(shù)學(xué)建模中的部分環(huán)節(jié)。所以，數(shù)學(xué)建模的教學(xué)不等同于數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教學(xué)，在教學(xué)中可以以此為突破口，將應(yīng)用題加以改造，設(shè)計成生活中的實際問題，然后分層次的引導(dǎo)學(xué)生完成數(shù)學(xué)建模教學(xué)。

二、數(shù)學(xué)建模教學(xué)的分層

對于剛進(jìn)入高中的大部分學(xué)生來說，對數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識是模糊的，讓學(xué)生獨立完成數(shù)學(xué)建模是比較困難的。針對學(xué)生對數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知，筆者以為數(shù)學(xué)建模進(jìn)行分層次設(shè)計，才能夠起到更好的教學(xué)成效。

（一）第一階段——了解認(rèn)識階段

數(shù)學(xué)建模的起始課，學(xué)生并不清楚什么是數(shù)學(xué)建模，教師則需要從學(xué)生生活出發(fā)，選取一些較為簡單的數(shù)學(xué)建模題目，進(jìn)而按步驟來進(jìn)行有效引導(dǎo)示范建模過程，使學(xué)生對數(shù)學(xué)建模有一個初步的認(rèn)知與理解。

（二）第二階段——嘗試初級階段

基于第一階段的教師示范，學(xué)生們對數(shù)學(xué)建模有了初步的認(rèn)識，第二階段的教學(xué)，教師可以針對性地選用一些更具建模特點的題目，有意識地讓學(xué)生獨立完成建模的部分步驟，在學(xué)生的障礙點教師點撥引導(dǎo)。這一階段需要教師在求解建模這個難點處，幫助學(xué)生克服。這一階段需要一個漫長的過程，教師要有足夠的耐心。

案例1：建立函數(shù)模型解決實際問題

課前準(zhǔn)備

問題1：中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).經(jīng)驗表明，某種綠茶用85℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時飲用，可以產(chǎn)生最佳口感.那么在20℃室溫下，剛泡好的茶水大約需要放置多長時間才能達(dá)到最佳飲用口感？降溫的時間可能與那些因素有關(guān)？

問題2：茶水降溫的時間與很多因素有關(guān)，請根據(jù)你們認(rèn)為的主要影響因素，分組做茶水冷卻實驗并錄制視頻記錄實驗過程并收集數(shù)據(jù)。

二、課上教學(xué)

1.學(xué)生展示

展示小組收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)的過程。

學(xué)生分析，茶水的溫度變化與所處的環(huán)境（室溫、空氣流動狀況、茶水的初始溫度），杯子的材質(zhì)，水容量等諸多因素有關(guān)，但最主要的影響因素是時間。

展示室溫密閉情況的茶水溫度與時間變化的實驗過程及數(shù)據(jù)：

首先，實驗準(zhǔn)備器材：250ml的85℃的茶水、溫度計、計時器、紙、筆;

其次，小組成員討論實驗步驟，確定實驗分工;

其三，實驗步驟：

（1）記錄室溫，實驗環(huán)境;（室溫20℃，關(guān)閉門窗）

（2）測量茶水溫度隨時間變化的數(shù)據(jù);

（3）在實驗記錄表中填寫實驗數(shù)據(jù)：

思考：溫度y是時間x的函數(shù)嗎？如果是，以上述數(shù)據(jù)為例，繪制出點（x，y），并根據(jù)繪制的點觀測它符合哪類函數(shù)，函數(shù)解析式如何求解？

2.建立模型

探究1：根據(jù)水溫隨時間變化圖象的分布，結(jié)合水溫變化的實際意義，我們該選擇哪種函數(shù)模型來刻畫水溫隨時間的變化呢？

圖象是單調(diào)遞減的，考慮到茶水溫度降低到室溫就不能再降的事實，我們只能選用反比例函數(shù)模型或指數(shù)函數(shù)模型來近似地刻畫茶水溫度隨時間變化的規(guī)律。

[建模一]

以指數(shù)函數(shù)模型為例，設(shè)

（）

引導(dǎo)：當(dāng)x=0時，茶水的初始溫度是85℃，所以，由此可得k=65;

追問：如何利用收集的數(shù)據(jù)，借助圖形計算器求a呢？

x=1，y=81.6，解得a=0.948;

x=2，y=78.8，解得a=0.951;

x=3，y=76.3，解得a=0.953;

這樣可以得到的多個a值都不同，我們?nèi)∧膫€作為a的值呢？

結(jié)論：平均值（精確到0.001），計算得到a=0.954.

這樣，水溫y與時間x的解析式：

[建模二]

以反比例函數(shù)模型為例，引導(dǎo)學(xué)生得到水溫y與時間x的解析式為：

3.檢驗?zāi)Ｐ?/p>

探究2：我們得到的兩種函數(shù)模型都能大致反應(yīng)茶水溫度變化的局部規(guī)律，你認(rèn)為哪種函數(shù)模型擬合的更好些？

利用圖形計算器發(fā)現(xiàn)：局部擬合效果都很好，但是隨著時間的變化，當(dāng)水溫降至30度時，反比例需要104分鐘;而通過實驗得到：茶水的溫度降至30度只用了51分鐘，差異較大，所以指數(shù)函數(shù)模型更符合實際。

4.模型應(yīng)用

回歸引例，解決問題1

5.總結(jié)提升

簡介牛頓冷卻定律

6.學(xué)以致用

課下研究外賣員送餐時，食物的冷卻問題。

（三）第三階段——嘗試中級階段

愛因斯坦說過：“提出一個問題，往往比解決一個問題更重要，因為解決一個問題也許僅僅是一個數(shù)學(xué)上或?qū)嶒炆系募寄芏眩岢鲂碌膯栴}、新的可能性，從新的角度去看舊的問題，都需要有創(chuàng)新性的想像力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正的進(jìn)步。”在生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，是學(xué)生的難點。這個階段，教師不再給出問題，把重點放在讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)設(shè)計問題上，教師參與學(xué)生提出問題的過程中。學(xué)生在尋找問題的過程中，小組同學(xué)思維碰撞，學(xué)生建模的興趣會逐漸高漲。

案例2：與疫情有關(guān)的數(shù)學(xué)建模開題研討

課前安排各小組查閱資料，確定感興趣的數(shù)學(xué)建模問題。然后各小組匯報要解決的問題、選題的原因及意義、研究思路。最后全班同學(xué)討論，指出問題，確定合適的研究問題。

研究問題集中在以下幾個：

1.研究謠言傳播的模型及改變免疫增強(qiáng)率對謠言傳播的影響;

2.英國群體免疫的可行性研究;

3.疫情對中國中小商家經(jīng)濟(jì)的影響;

4.不同防疫措施對疫情擴(kuò)散情況的影響。

討論總結(jié)：謠言傳播問題要用到平均場方程，我們可以放在大學(xué)去研究;英國群體免疫問題，因英國政策改變，拿不到自然傳播的數(shù)據(jù)，無法繼續(xù)研究;疫情對經(jīng)濟(jì)的影響，研究題目太大，可以縮小在某一種小商家進(jìn)行研究;不同防疫措施對疫情擴(kuò)散影響，在建立一些模型假設(shè)的基礎(chǔ)上，是建立函數(shù)模型，可以研究。

（四）第四階段——探索高級階段

在經(jīng)歷前三個階段的數(shù)學(xué)建模過程后，學(xué)生具備了一定的建模能力基礎(chǔ)，在這個階段讓學(xué)生自主選擇實際生活中的問題，組建小組，經(jīng)歷數(shù)據(jù)分析、數(shù)據(jù)整理、問題假設(shè)、模型構(gòu)建、模型求解和模型檢驗等完整的數(shù)學(xué)建模過程，并最后寫出研究報告，撰寫論文。

三、數(shù)學(xué)建模教學(xué)的思考

隨著數(shù)學(xué)建模教學(xué)的開展，在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)了一些問題，如何解決一系列問題，值得教師思考。

（一）數(shù)學(xué)教師對建模的認(rèn)識有待改變

有些教師以為數(shù)學(xué)建模就是解決原始的應(yīng)用題，對建模的認(rèn)識還是停留在第一階段，阻礙了后期幾個階段的開展。數(shù)學(xué)建模的全過程給學(xué)生提供了聯(lián)想、領(lǐng)悟、思維與表達(dá)的平臺，分層次教學(xué)促進(jìn)學(xué)生思維由此及彼、由淺入深地發(fā)展。第四階段充分展現(xiàn)了數(shù)學(xué)解決生活實際問題的真實過程，有助于培養(yǎng)學(xué)生查閱文獻(xiàn)、發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題、論文寫作及學(xué)術(shù)交流表達(dá)的能力，有助于培養(yǎng)學(xué)生的獨立思考能力和自主學(xué)習(xí)能力，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和綜合素質(zhì)。

（二）數(shù)學(xué)教師的建模能力有待提升

筆者在數(shù)學(xué)建模教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，建模過程對教師的能力要求很高。數(shù)學(xué)建模所涉及的范圍廣，對教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)及知識面、數(shù)學(xué)軟件的操作能力、論文寫作能力等都有很高的要求。一線教師也要有層次性的提升自我的數(shù)學(xué)建模能力，建議一線教師多參加建模培訓(xùn)。

（三）數(shù)學(xué)建模課堂形式多樣化

分層次教學(xué)后，有些數(shù)學(xué)建模在課堂進(jìn)行，有的需要課外進(jìn)行。教師可以多樣化的開展數(shù)學(xué)建模，比如利用社團(tuán)活動，校本課程，建模比賽等，也可以把建模課堂設(shè)置為“行走”的課堂，到校外開展測量、調(diào)查、訪談、實驗等活動。教師要多鼓勵學(xué)生參與數(shù)學(xué)建模實踐，在合作中提升學(xué)生的各方面能力。

參考文獻(xiàn)

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作者簡介：馬芬.1974年4月，女，山東省聊城市，中教高級，本科;研究方向：數(shù)學(xué)教育

本文系北京市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2019年度“基于核心素養(yǎng)背景下高中數(shù)學(xué)建模校本教學(xué)實踐研究”（編號：CDDB19239）階段性研究成果。