數學歸納法視角下“楊輝三角”斜列的性質探究

秦帥

【摘要】本文利用數學歸納法對楊輝三角斜列的性質進行探究，得出一般化的通項公式，同時讓學生體驗數學發現與探究的過程，培養他們對數學的興趣.

【關鍵詞】楊輝三角;數學歸納法;數學探究

一、背 景

“楊輝三角”是二項式系數在三角形中的一種幾何排列.在歐洲，這個表叫作帕斯卡三角形.帕斯卡是在1654年發現這一規律的，比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年，“楊輝三角”是中國古代數學的杰出研究成果之一.在高中數學學習中，“楊輝三角”被用于探究二項式系數的一些性質，主要是對每行數的探究，但“楊輝三角”中還蘊含了許多其他有趣的性質，值得我們對其進行探究.

“數學歸納法”是高中課程中十分重要的內容，在高中階段常用于處理與無窮自然數有關的命題.它有助于促進學生對“特殊”與“一般”的理解，在未來高等數學的學習中也是十分重要的一種方法.

二、基本概念

定義1 數學歸納法：一般的，證明一個與正整數n有關的命題，如果：

三、性質探究

高中階段的教材探究了“楊輝三角”各行數字的和并給出了通項公式，其是先列出每行數字，然后通過觀察前幾行數字的共同規律猜想出一般化的通項公式，最后運用數學歸納法驗證.本文將運用類似的方法探究每列的性質.

觀察下面的規律：

第一行 1+1=2，

第二行 1+2+1=4，

第三行 1+3+3+1=8，

第四行 1+4+6+4+1=16，

第五行 1+5+10+10+5+1=32，…

容易發現前幾行數字的和可表示為21，22，23，24，25，于是可以猜想：

“楊輝三角”的第n行數字之和為2n，此猜想可用數學歸納法證明，這里不過多贅述.

類似的，我們對“楊輝三角”每一斜列用同樣的思路做探究和證明.

我們將每一斜列的數字看作一個數列，通過觀察這些數列與“楊輝三角”可以得到一些性質與特點：

性質3.1 后一斜列的每一項與前一項之差為前一斜列的對應項的值.

四、思考與感悟

首先，在高中階段的教學中，無論是“楊輝三角”還是數學歸納法，都是只在各自的章節中出現，但是通過對“楊輝三角”中列的性質的探究，以及對教材內容的二次發掘與聯想，能夠創造出引導學生觀察、猜想、探究的創造性學習情境.

其次，選用數學歸納法對“楊輝三角”進行探究，將數列以及數學歸納法串聯起來，有助于學生感受兩者的差別與共性，體會數學的整體性.同時，“楊輝三角”中還蘊含著許多其他的性質，此探究不會止于課堂，學生在課后還可以自主地去探究和總結更多的性質.

最后，教材內容的二次發掘的主要目的就是服務于教學，立足于培養學生的數學能力，所以其中還可以融入更多的要素來培養學生的合作探究、邏輯推理、數學抽象等能力，而且這個探究設計還可以更加完善與深入.

【參考文獻】

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[3]李學雷.楊輝三角與高階等差數列的求和[J].新課程學習（下），2013（7）：266.