數(shù)學(xué)歸納法視角下“楊輝三角”斜列的性質(zhì)探究

秦帥

【摘要】本文利用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)楊輝三角斜列的性質(zhì)進(jìn)行探究，得出一般化的通項(xiàng)公式，同時(shí)讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與探究的過程，培養(yǎng)他們對(duì)數(shù)學(xué)的興趣.

【關(guān)鍵詞】楊輝三角;數(shù)學(xué)歸納法;數(shù)學(xué)探究

一、背 景

“楊輝三角”是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.在歐洲，這個(gè)表叫作帕斯卡三角形.帕斯卡是在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的，比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年，“楊輝三角”是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的杰出研究成果之一.在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“楊輝三角”被用于探究二項(xiàng)式系數(shù)的一些性質(zhì)，主要是對(duì)每行數(shù)的探究，但“楊輝三角”中還蘊(yùn)含了許多其他有趣的性質(zhì)，值得我們對(duì)其進(jìn)行探究.

“數(shù)學(xué)歸納法”是高中課程中十分重要的內(nèi)容，在高中階段常用于處理與無窮自然數(shù)有關(guān)的命題.它有助于促進(jìn)學(xué)生對(duì)“特殊”與“一般”的理解，在未來高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中也是十分重要的一種方法.

二、基本概念

定義1 數(shù)學(xué)歸納法：一般的，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，如果：

三、性質(zhì)探究

高中階段的教材探究了“楊輝三角”各行數(shù)字的和并給出了通項(xiàng)公式，其是先列出每行數(shù)字，然后通過觀察前幾行數(shù)字的共同規(guī)律猜想出一般化的通項(xiàng)公式，最后運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法驗(yàn)證.本文將運(yùn)用類似的方法探究每列的性質(zhì).

觀察下面的規(guī)律：

第一行 1+1=2，

第二行 1+2+1=4，

第三行 1+3+3+1=8，

第四行 1+4+6+4+1=16，

第五行 1+5+10+10+5+1=32，…

容易發(fā)現(xiàn)前幾行數(shù)字的和可表示為21，22，23，24，25，于是可以猜想：

“楊輝三角”的第n行數(shù)字之和為2n，此猜想可用數(shù)學(xué)歸納法證明，這里不過多贅述.

類似的，我們對(duì)“楊輝三角”每一斜列用同樣的思路做探究和證明.

我們將每一斜列的數(shù)字看作一個(gè)數(shù)列，通過觀察這些數(shù)列與“楊輝三角”可以得到一些性質(zhì)與特點(diǎn)：

性質(zhì)3.1 后一斜列的每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差為前一斜列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值.

四、思考與感悟

首先，在高中階段的教學(xué)中，無論是“楊輝三角”還是數(shù)學(xué)歸納法，都是只在各自的章節(jié)中出現(xiàn)，但是通過對(duì)“楊輝三角”中列的性質(zhì)的探究，以及對(duì)教材內(nèi)容的二次發(fā)掘與聯(lián)想，能夠創(chuàng)造出引導(dǎo)學(xué)生觀察、猜想、探究的創(chuàng)造性學(xué)習(xí)情境.

其次，選用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)“楊輝三角”進(jìn)行探究，將數(shù)列以及數(shù)學(xué)歸納法串聯(lián)起來，有助于學(xué)生感受兩者的差別與共性，體會(huì)數(shù)學(xué)的整體性.同時(shí)，“楊輝三角”中還蘊(yùn)含著許多其他的性質(zhì)，此探究不會(huì)止于課堂，學(xué)生在課后還可以自主地去探究和總結(jié)更多的性質(zhì).

最后，教材內(nèi)容的二次發(fā)掘的主要目的就是服務(wù)于教學(xué)，立足于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，所以其中還可以融入更多的要素來培養(yǎng)學(xué)生的合作探究、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等能力，而且這個(gè)探究設(shè)計(jì)還可以更加完善與深入.

【參考文獻(xiàn)】

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