建構(gòu)模型：搭建數(shù)學(xué)與生活的橋梁

江蘇省淮安市楚州中學(xué) 陳 熙

數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言概括地描述現(xiàn)實(shí)世界中事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，建構(gòu)模型是學(xué)生必須具備的一種數(shù)學(xué)思想與能力，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的必要條件。本文以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力為切入點(diǎn)，主要圍繞作出假設(shè)、結(jié)合應(yīng)用、指導(dǎo)讀圖及學(xué)科綜合這四個(gè)方向進(jìn)行具體探討，以引導(dǎo)學(xué)生能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)知識(shí)與技能去解決現(xiàn)實(shí)世界中的生活問題與實(shí)踐問題，搭建起數(shù)學(xué)與生活之間的橋梁，拓展數(shù)學(xué)思維的廣度，增加建模思維的厚度，真正為培養(yǎng)及提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

一、作出假設(shè)，互換結(jié)構(gòu)條件

數(shù)學(xué)模型的建立需要學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行深入細(xì)致的觀察和分析，并能夠靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，提煉出數(shù)學(xué)模型，最終應(yīng)用數(shù)學(xué)模型去解決實(shí)際問題。在這個(gè)過程中，必不可少的一步就是模型假設(shè)，也就是學(xué)生在了解問題的實(shí)際背景，明確其實(shí)際意義的基礎(chǔ)上，提出恰當(dāng)?shù)哪Ｐ图僭O(shè)。

有了模型準(zhǔn)備與模型假設(shè)之后，接下來的就是模型建立。這就要求學(xué)生在模型假設(shè)的基礎(chǔ)上，能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)工具來抽象和刻畫數(shù)學(xué)變量、常量之間的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化題目條件，建立起相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與反映實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系。

二、結(jié)合應(yīng)用，抽離數(shù)量關(guān)系

建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的實(shí)質(zhì)就是把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，可以具化為“實(shí)際問題—分析抽象—建立模型—數(shù)學(xué)問題”的操作程序。這就要求學(xué)生要具備一定的抽象能力，能夠通過觀察分析、猜測(cè)假設(shè)，提煉出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，抽離出最本質(zhì)的數(shù)量關(guān)系，并應(yīng)用數(shù)學(xué)模型來解決實(shí)際問題，這樣可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解以及數(shù)學(xué)方法的掌握，推進(jìn)學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)共同發(fā)展。

例如，我們?cè)谥v到函數(shù)模型的時(shí)候，經(jīng)常會(huì)利用函數(shù)知識(shí)對(duì)實(shí)際生活中普遍存在的成本最低、利率最高、效益最好、產(chǎn)量最大等實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)化分析，將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，歸納與建構(gòu)相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，并通過求解函數(shù)模型來指導(dǎo)實(shí)際生活。除了指數(shù)函數(shù)模型以外，二次函數(shù)也是生活中非常常見的一種數(shù)學(xué)模型，可以幫助我們求解最優(yōu)、最省之類的最值問題。比如：某商場(chǎng)以每件30 元的價(jià)格購進(jìn)一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量m（件）與每件的銷售價(jià)x（元）滿足一次函數(shù)m=162-3x，30 ≤x≤54。問題1：求銷售利潤y（元）與每件銷售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式。問題2：要想得到最大利潤，每件的售價(jià)定為多少合適？這就需要學(xué)生從中抽象出二次函數(shù)模型，并根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)去求解最值。

數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程。”這實(shí)際上指的就是建立數(shù)學(xué)模型的過程。關(guān)于建模思想的滲透與強(qiáng)化，教師應(yīng)該將其融入教學(xué)活動(dòng)的全過程，讓學(xué)生將學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過程轉(zhuǎn)化為建立模型、探究學(xué)習(xí)的知識(shí)建構(gòu)過程，不斷培養(yǎng)學(xué)生分析和解決實(shí)際問題的能力，促進(jìn)學(xué)生建模思想的形成與運(yùn)用。

三、指導(dǎo)讀圖，列出對(duì)應(yīng)形式

可以說，數(shù)學(xué)建模思想的形成與建模能力的發(fā)展是一個(gè)綜合性的過程，會(huì)涉及諸多數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用與數(shù)學(xué)能力的提升。高中數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系。因此，教師還要有針對(duì)性地指導(dǎo)與培養(yǎng)學(xué)生分析圖像的能力，將“數(shù)”與“形”更好地結(jié)合起來。

以分段函數(shù)模型為例，題目是這樣的：據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測(cè)，發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動(dòng)，其移動(dòng)速度v（km/h）與時(shí)間t（單位：h）的函數(shù)圖像如下圖所示，設(shè)t時(shí)刻沙塵暴所經(jīng)過的路程為S（t）。

問題1：當(dāng)t=10 時(shí)，求S（t）的值；問題2：求函數(shù)S（t）的解析式；問題3：若N城位于M地正南方向，且距M地750 km，試判斷這場(chǎng)沙塵暴是否會(huì)侵襲到N城？如果會(huì)，在沙塵暴發(fā)生后多長時(shí)間將侵襲到N城？如果不會(huì)，請(qǐng)說明理由。

數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學(xué)思想在建構(gòu)模型過程中的體現(xiàn)與應(yīng)用較多。“數(shù)無形，少直觀，形無數(shù)，難入微”，一語道出了數(shù)形結(jié)合的重要性。教師在引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題的時(shí)候，要通過有效的教學(xué)策略，幫助學(xué)生樹立起數(shù)形結(jié)合意識(shí)與建模意識(shí)，實(shí)現(xiàn)代數(shù)問題與幾何問題之間的積極轉(zhuǎn)化。

四、學(xué)科綜合，創(chuàng)新思維過程

建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的最終落腳點(diǎn)就是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力。在建模活動(dòng)過程中，學(xué)生能夠綜合不同學(xué)科的知識(shí)，靈活應(yīng)用題目給出的條件，尋求解決問題的最佳方法和途徑。在這個(gè)過程中，學(xué)生會(huì)經(jīng)歷猜測(cè)、假設(shè)、轉(zhuǎn)換、構(gòu)造等一系列數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，這都是學(xué)生產(chǎn)生創(chuàng)造性思維和發(fā)展創(chuàng)造能力的基礎(chǔ)，有利于促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)造能力的提升。

以上面提到的分段函數(shù)模型的數(shù)學(xué)題目為例，解題的關(guān)鍵是要學(xué)生分段分析速度、時(shí)間、路程之間的關(guān)系，這都與物理這門學(xué)科息息相關(guān)。學(xué)生在物理課上學(xué)習(xí)過V-t圖像可以表示物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)與勻加速直線運(yùn)動(dòng)，反映速度隨時(shí)間變化的規(guī)律，圖線斜率表示加速度的正負(fù)，點(diǎn)表示某一時(shí)刻的速度，與時(shí)間軸圍成的面積表示物體通過的位移，任一時(shí)間段對(duì)應(yīng)的位移大小，可以用直線與所對(duì)應(yīng)的時(shí)間軸所包圍的面積來表示，等等。這些都是我們解答這類數(shù)學(xué)題目時(shí)必須要有的知識(shí)儲(chǔ)備，也是學(xué)生在數(shù)學(xué)建模過程中創(chuàng)新思維過程與解題思路的基礎(chǔ)，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)解題與其他學(xué)科結(jié)合起來的綜合考查方法。

由此可見，在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中有計(jì)劃、有意識(shí)地滲透數(shù)學(xué)建模思想，可以幫助學(xué)生不斷提升數(shù)學(xué)建模能力與解題能力，具有積極的教學(xué)效用。因此，除了文中提到的作出假設(shè)、結(jié)合應(yīng)用、指導(dǎo)讀圖及學(xué)科綜合這幾個(gè)方面以外，教師還要在具體的教學(xué)實(shí)踐中不斷思考與總結(jié)提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的更多元、更有效的教學(xué)策略，以此促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與提升。

總而言之，數(shù)學(xué)建模不僅是學(xué)生必須具備的數(shù)學(xué)能力，也是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想。對(duì)于高中階段的學(xué)生來說，建模思想的滲透可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題，以此促進(jìn)學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，推動(dòng)學(xué)生高階數(shù)學(xué)思維的發(fā)展與提升。