橢圓周長與橢球表面積的數(shù)值計(jì)算

四川省涼山州美姑縣中學(xué) 周鈺承

西南林業(yè)大學(xué)濕地學(xué)院2018 級(jí)環(huán)境科學(xué) 周園鈔

在科學(xué)與工程中，常常選定橢圓、橢球作為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。辛普森數(shù)值積分、泰勒級(jí)數(shù)公式、龍貝格算法，都是對(duì)橢圓周長、橢球表面積進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的好工具。按不同精度要求，文章列出了橢圓周長和橢球表面積的數(shù)值計(jì)算公式，以供數(shù)學(xué)愛好者及普通工程師使用。

一、序言：橢圓與橢球是科學(xué)與工程常用的數(shù)學(xué)模型

星際的公轉(zhuǎn)和自轉(zhuǎn)，山水間的蜿蜒和盤旋，物種間的追逐和閃避……那拐彎處的美麗弧線，正是橢圓與橢球?qū)κ篱g萬物的慷慨饋贈(zèng)。于是，在科學(xué)與工程計(jì)算中，選定橢圓和橢球作為數(shù)學(xué)模型，既是自然選擇，也是藝術(shù)惠顧。

然而，橢圓函數(shù)是一類高深莫測(cè)的超越函數(shù)。本文力圖利用辛普森數(shù)值積分、泰勒級(jí)數(shù)公式及龍貝格算法，對(duì)橢圓周長和橢球表面積提煉出相對(duì)簡潔而又精確的初等公式，以供數(shù)學(xué)愛好者及普通工程師使用。

二、用辛普森公式對(duì)橢圓周長和橢球表面積快速估值

1.橢圓周長的快速估值

與其他橢圓周長公式相比，這個(gè)公式最大的特點(diǎn)是沒有圓周率參與運(yùn)算，減少了計(jì)算量，而當(dāng)橢圓趨近于圓時(shí)，圓周率自動(dòng)向近似值3.122 趨近，故公式（1）的誤差約為一千分之六，比辛普森公式直接結(jié)論，相對(duì)橢圓離心率誤差分布更均勻。如果橢圓兩個(gè)半軸長滿足勾股數(shù)，公式（1）完全可以口算：當(dāng)a=4，b=3 時(shí)，周長L≈22（真值為22.103…）；當(dāng)a=12，b=5 時(shí)，周長L≈56（真值為55.695…）；當(dāng)a=15，b=8 時(shí)，周長L≈74（真值為73.939…）。

2.橢球表面積的快速估值

旋轉(zhuǎn)橢球體表面積是可以通過被積函數(shù)求原函數(shù)得到真值的，因此，可以用旋轉(zhuǎn)橢球體表面積的真值來驗(yàn)證公式（2）的精度。驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)，盡管公式（2）沒有圓周率參與運(yùn)算，但比用辛普森數(shù)值積分公式，不僅形式簡單得多，而且誤差更小，約為一千分之一。當(dāng)a=1，b=0.5，c=0.5 時(shí)，S=5.375（真值為5.3696…）；當(dāng)a=1，b=0.9，c=0.9 時(shí)，S≈10.936（ 真 值 為10.940…）；當(dāng)a=1，b=1，c=0.7 時(shí)，S≈10.155（真值為10.144…）；當(dāng)a=6378，b=6378，c=6357 時(shí)，S≈5.098 億（真值為5.100…億，地球表面積）。

三、用級(jí)數(shù)公式對(duì)橢圓周長與橢球表面積進(jìn)行數(shù)值計(jì)算

在環(huán)境科學(xué)與工程的科學(xué)計(jì)算中，有時(shí)需要更高精度的數(shù)值計(jì)算。筆者曾在《數(shù)理化解題研究》發(fā)表《探索橢圓周長和橢球表面積的近似初等公式》（以下簡稱《探索》），被“知網(wǎng)”收錄。公式雖然當(dāng)初發(fā)表在高中版，但因?yàn)槔昧素惾麪柕热伺缮臋E圓周長級(jí)數(shù)公式（見《探索》），所以計(jì)算式簡單易算，而且精度很高。《探索》列出的橢圓周長公式和橢球表面積公式分別如下：

《探索》對(duì)橢球表面積的精度作了一個(gè)詳盡的統(tǒng)計(jì)表，當(dāng)橢球三個(gè)半軸長度不超過2 倍關(guān)系時(shí)，誤差低于一萬分之一；當(dāng)三個(gè)半軸長度趨近相等時(shí)，誤差趨近于0。《探索》因?yàn)榫庉嫴康脑蛉サ袅藱E圓周長精度統(tǒng)計(jì)表，現(xiàn)列出，以饗讀者：（表中誤差率等于用近似值減去真值差，除以真值）

表1 橢圓周長公式（3）

四、用龍貝格算法對(duì)橢圓周長進(jìn)行高精度數(shù)值計(jì)算

總之，科學(xué)與工程計(jì)算在選定數(shù)學(xué)模型后，應(yīng)將超越函數(shù)初等化，將解析公式數(shù)值化，以供更多的數(shù)學(xué)愛好者及普通工程師使用。辛普森數(shù)值積分公式適用范圍廣，但若要提高精度，則表達(dá)式往往復(fù)雜。級(jí)數(shù)公式明確了函數(shù)變量與哪些自變量有關(guān)，故而更容易提高精度。龍貝格算法提高了橢圓周長公式的精度，讓誤差相對(duì)于離心率分布更均勻。

美國數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家波利亞曾指出：“類比是一個(gè)偉大的引路人，求解立體幾何問題往往有賴于平面幾何中的類比問題。”本文橢球表面積正是用了類比和驗(yàn)證來代替復(fù)雜的數(shù)學(xué)推理和證明。