基于優先級的M/M/S模型的病床安排建模分析

盛鈺 康瑞琪

（西南財經大學，四川成都 611130）

0.引言

醫院承擔著維護公眾健康的社會責任，人的生老病死各個方面被以醫院為中心的醫療保健體系全方面地覆蓋。因此，建立節約型醫院不僅影響醫院的生存和發展，還事關人民大眾的根本利益，是具有現實意義的議題。

本文以“眼科病床合理安排”問題為切入點，構建病床安排合理度綜合指標體系，通過連續時間馬爾科夫鏈的M/M/S模型對病床安排進行優化，建立優先級模型，并通過蒙特卡洛模擬實驗對優化后的模型進行仿真模擬，最后再觀察病床安排合理度指標表現。

1.綜合指標體系的建立

1.1 符號說明

本文相關符號說明見表1。

表1 符號說明

1.2 指標選取

為了對醫院床位進行合理管理，提升醫院總體管理水平，全面增進醫院經濟效益和患者服務滿意度，我們決定引入綜合指標評價體系“安排合理度”來衡量醫院病床分配管理水平。基于層次分析法，首先從患者和醫院兩個角度進行切入，患者角度用“等待入院時間”“等待手術時間”這兩個指標綜合衡量患者服務滿意度，醫院角度用“病床周轉次數”“病床使用率”“平均住院日”三個評價指標綜合反映醫院經濟效益情況[1]，最后通過這五個指標構建評價體系公式。

床位周轉次數=（入院人數+出院人數）/（2×總病床數）。

（其中，出、入院人數均為7月25日至8月25日的人數）。

病床使用率=平均病床工作日/期限內日歷日數。

平均住院日數=出院者占用總床日數/同期出院人數。

1.3 評價體系的建立

關于第一層次的權重分析，由于醫院能為病患提供醫療保障，故賦予醫院更大的權重，患者和醫院對“安排合理度”的成對比較矩陣如下：

在醫院經濟效益層面，病床使用率和平均病床工作日具有同等重要性，但僅反映出病床的一般負荷，而病床周轉次數能夠更全面地體現醫院的工作效率，故平均住院日數、病床使用率、病床動態轉次數對醫院的成對比較矩陣如下：

病人等待時間包括病人等待入院時間和病人入院后等待手術時間，隨著手術臨近，病人時間的重要性也在增加。故病人等待入院時間、等待手術時間對患者的成對比較矩陣如下：

對MG、MH、MD分別求出其最大特征值及相應特征向量，并對特征向量分別進行歸一化處理，結果如下：

ωG=(0.4,0.6)T，λG=2

ωH=(0.25,0.25,0.5)T，λH=3

ωD=(0.4,0.6)T，λD=2

因為λmax=n，故各成對比較矩陣滿足一致陣，一致性檢驗通過。組合向量如下：

W=0.4ωH+0.6ωD

安排合理度公式為：

G=0.1ηB'+0.1TL'+0.2DB'+0.24Wq'+0.36Wo'

其中，ηB'、TL'、DB'、Wq'、Wo'為歸一化后的指標。

通過查閱得到5個指標公認的標準值，然后把“安排合理度”G分為3個層級，層級A：G>0.8;層級B：0.8>G>0.5;層級C：G<0.5。

1.4 評價結果

本文原始數據是按非急癥先到先得（FCFS），急癥優先安排住院規則所得，通過統計可得評價指標如表2。

表2 評價指標體系

白內障術前準備時間，應為1d、2d，但實際單眼白內障患者入院后需等2.38d、雙眼白內障需等3.63d，高于理論水平。且平均住院日也明顯高于一般水平，對于患者而言，不僅手術時間被延誤，還會承擔更多的住院費用。經查閱資料，醫院病床使用率最優值應該處于85%～93%，當前的病床使用率低于該數，說明存在床位閑置、未被充分利用的現象。將上述指標代入整體評價公式，算得G=0.63，故當前病床安排指標表現屬于B檔，有改進的空間。

2.優化模型的建立與求解

2.1 模型假設

（1）只有外傷屬于急癥，對外傷病人采用優先權服務（PR），有空床位時立即安排住。

（2）周一和周三醫院只排白內障手術，此類病人在手術前需要平均準備時間為1d～2d。白內障雙眼是周一做一只，周三再做一只，占比為60%。

（3）住院后大概2d～3d視網膜疾病和青光眼疾病即可接受手術。

（4）該眼科醫院每天都可以進行手術。

2.2 模型解釋

為了合理安排病房79張病床，我們考慮建立單隊多服務臺并聯的有優先權的非搶占型排隊模型[2]。其中病床是服務臺，病人是排隊者，排隊系統允許無限排隊，病人在醫院系統逗留時間由三部分組成，包括安排住院、進行手術和手術后的觀察服務。通過對患者到達規律進行觀察，設置該系統有以下特征：

（1）輸入過程：病人在各個時刻到達情況服從參數為λ的泊松分布。

（2）住院時間：各類病人的住院時間服從參數為μ的指數分布。

（3）服務窗口：S個床位在排隊系統中代表S個窗口，窗口與窗口之間是并聯服務的。

（4）優先級規則：視網膜疾病和青光眼因為優先級相同，被當作“其他疾病”統一處理；對同一種疾病的患者，我們采取FCFS原則。

（5）排隊規則：由于當一個病人占有一個床位時，后來的病人是不可以搶占這個床位的，所以這又是一個非搶占的排隊模型。

2.3 模型建立

我們以一周的時間為一個周期，對該周期內不同時間段的不同疾病賦予不同的優先級，充分體現了“輪流照顧”的原則，具體優先級的先后順序安排如下[3]：

（1）周六周日：外傷—白內障（雙）—白內障—其他。

（2）周一周二：外傷—白內障—其他—白內障（雙）。

（3）周三周四周五：外傷—其他—白內障（雙）—白內障。

為了進行蒙特卡洛仿真模擬驗證上述模型的效率，我們首先需要計算外傷、白內障（雙）、白內障、其他四種疾病在排隊系統的平均到達率λ和平均服務率μ。

根據M/M/s模型相關原理，我們可以得相關指標如下，其中s是系統能提供的服務臺個數（即病床數）：

當ρs<1時，即μ

由上述公式可知，患者的平均逗留時間Ws和平均等待時間Wq只與參數λ、μ、s有關，換言之，通過Ws、Wq、s我們也可以以計算得到參數λ、μ，具體計算結果如表3所示。

表3 平均到達速率和平均服務速率

由表3數據驗證：ρs<1，符合M/M/S系統穩態要求。

3.蒙特卡羅模擬

3.1 算法建立

步驟一：根據泊松分布得到四種病人到達時間：單位時間內病人到達人數服從泊松分布，其到達時間間隔服從指數分布。

步驟二：確定當天的優先級順序：對得到的四組數據按時間進行排號，先判斷當下時間屬于星期幾，確定今天的優先級順序。

步驟三：確定當天開始時的病床數目：判斷今天這個日期在出院時間列表出現幾次，今天床位數=昨天剩余床位數+今天這個時間在出院時間列表出現幾次。

步驟四：對各類病人安排住院：如果今天及今天以前優先級高于該患者的人數小于空余床位數，安排入住。

步驟五：建立病人出院時間表：對剛住院的病人通過指數分布隨機生成服務時間，確定離去時間，把這個離去時間加入出院時間列表。

步驟六：算出病人等待手術時間：通過對四類疾病手術后住院服務時間進行散點圖分析，發現其大體服從正態分布，而且通過計算發現住院服務周期的方差δ2較小，因此可以固定不同疾病的術后服務時間來簡化模型，由此可以計算出病人的等待手術時間。

3.2 模擬結果

根據蒙特卡洛模擬和病種住院優先級排序，我們得到計算結果如表4。

表4 優先權模型下的模擬結果

表2與表4對比可知，在建立優先權的排隊模型下，患者的平均等待入院時間Wq=8.31，平均等待手術時間Wo=1.76，均顯著降低，為病人節約了時間。同時平均住院日減低，病床的周轉次數與使用率均得到提高，為醫院提高了病床效率。將評價指標歸一化處理后，病床“安排合理度”G=0.945，據表1，G>0.8，屬于A類，體現了優先權的排隊模型的優化效果。

4.結論

傳統的醫院排隊模型將外傷視為急癥優先安排入院，其他非急癥病人采取FCFS原則安排入院，在這種模式下病床合理度綜合指標G表現為B，這說明目前的醫院排隊系統在患者滿意度和醫院經濟效益兩方面都存在一定程度上的不足。而在多服務臺并聯的有優先權的非搶占型排隊模型中，將一周時間分為三段，在每周一到周天的各天對不同病種的患者賦予不同的優先級，由此建立模型并計算相關指標，得出在新模型下的綜合指標G等級為A，表現明顯改善。由此可見，引入優先級能對病人的輸入更合理地安排床位，提升患者滿意度的同時增進醫院經濟效益，最終說明基于優先級的M/M/S模型在病床安排上具有較高應用價值。