時空圖法解運動介質(zhì)表面的反、折射問題

許廣智，李一杰

(遼寧大學 物理學院，遼寧 沈陽 110036)

各向同性均勻介質(zhì)運動后顯現(xiàn)各向異性，光在其中傳播時波法線(波矢)方向與光線方向分離，具有獨特的反、折射規(guī)律及頻移關(guān)系[1-7].利用邊界關(guān)系結(jié)合幾何方法[1]、四維波矢量協(xié)變關(guān)系[2-5]等均可對此開展研究.文獻[7]給出用介質(zhì)靜止系中角度參數(shù)表示的任意角入射情況反、折射中頻率、波矢量、光速矢量的普遍公式，可以應用不同參考系中角度變換公式將公式轉(zhuǎn)化為實驗室系下可測量表示，但較為繁瑣.本文應用時空圖法研究光以任意角度入射到介質(zhì)表面沿光線方向的反、折射規(guī)律及其相對入射波的頻移，易得到可測量表示的結(jié)果.

1 應用時空圖進行解析求解

兩介質(zhì)相對S系以速度v共同運動，其界面法線(單位矢量n)與v夾角為αn，以v方向為x軸正向，建立右手坐標系，使得n在xOy平面中，即n=(cosαn,sinαn,0).入射、反射、折射光線所在方向的單位矢量ni、nr、nγ由各自方向余弦定義為nq=(cosαq,cosβq,cosγq),q=i、r、γ.介質(zhì)固聯(lián)的S′系中，用帶撇符號定義相對應的量.S′系坐標原點在界面上,t(t′)=0時刻，與S系坐標原點重合.S′系中，界面兩側(cè)介質(zhì)內(nèi)各向光速相等，入射、反射光速為v1，折射光速為v2，界面處光線遵循一般的反、折射定律，反、折射光線所在方向單位矢量滿足

(1)

反、折射單位矢量各分量大小由此寫出

(2)

n、n′分量間大小關(guān)系由x方向尺縮關(guān)系得到

(3)

t(t′)=0時刻，光線由原點位置入射.四維時空圖下，此入射光線(光子)在S′系-cΔt′時刻的時空坐標對應事件點a，經(jīng)界面反射、折射后，cΔt′時刻反、折射光線(光子)所處時空坐標分別對應事件點d、f.僅需要繪制xOct(x′Oct′)面的二維時空圖(圖1)，A、D、F分別是a、d、f在此面的投影點.OE是入射點處界面的世界線，也是S′系中時間軸ct′，OC是x′軸，OE//AC//DI//FJ，有∠EOct=∠COx=∠BOC=∠HDI=∠GFJ=η，tanhη=B，coshη=Γ.AO、OD、OF分別是入射、反射、折射光子世界線在xOct面的投影，AC=DI=FJ=cΔt′.隨著介質(zhì)界面與運動方向夾角變化，D、F將在FD線上移動.

圖1 xOct(x′Oct′)面投影的反、折射過程二維時空圖

S系中，光速各向異性，入射、反射、折射光速vi、vr、vγ待求.如圖中定義ξ、τ、ζ角，根據(jù)A、D、F三點處幾何關(guān)系可列出對應入射、反射、折射過程的3個方程組[8].注意到

Δy=Δdcosβ=Δttanhηcosβ,

這里Δyi對應a世界點y(或y′)坐標大小，則寫出入射部分方程如下式

(下文中定義Bq≡vq/c,q=1、2、i、r、γ)

(4)

(5)

(6)

低速(B→0)情況下,得到近似結(jié)果如下：

(7)

其中

(8)

式(7)中第一式光速一級修正中負號來源于入射光方向與ni定義反向.反射的一級修正使得光線方向向界面法線方向偏移.折射的一級修正較復雜，除了入射面上光線方向偏移外，還有向介質(zhì)運動方向的偏移.

2 數(shù)值結(jié)果

為考察介質(zhì)運動速度、界面角度、入射角度對反、折射光線方向的影響，選取不同參數(shù)繪制圖2.圖2(a)-(e)對應反射過程，(f)-(j)、(k)-(o)分別對應光疏到光密(以下簡稱疏密)、光密到光疏(以下簡稱密疏)的折射過程，3組過程分別選取5種情況,界面法線與介質(zhì)運動方向(圖中用箭頭標出)夾角αn=0、π/4、π/2、3π/4、π.反射、密疏折射入射角選為θi=π/6，疏密折射入射角選為θi=π/3.每圖中φi=0、3°、6°、…、357°(φi是以n為軸方向建立球坐標系的方位角)，繪制入射、反(折)射光線(圖中僅顯示入、折射光線上與坐標原點距離1的點，反射光線與原點距離1.2的點，相應光線可由這些點與原點連線得到.用i標記入射，用B的數(shù)值來標記不同介質(zhì)運動速度時的反、折射).具體參數(shù)選取詳見圖中標注.

圖2 不同參數(shù)對反、折射光線方向影響(a)—(e)對應反射過程，(f)—(j)、(k)—(o)分別對應光疏到光密、光密到光疏折射過程.

除αn=0、π或φi=0、π之外，一般情況下，S系中的反(折)射光線不在由入射光線及界面法線確定的入射面上.αn=π/2(界面精確平行介質(zhì)運動方向時)的反射過程與靜止時有相同的反射定律，反射光線方向不隨介質(zhì)運動速度變化.隨著介質(zhì)運動速度的提高，反射光線及疏密折射光線的方向總體上向介質(zhì)運動方向趨近，密疏折射光線方向向介質(zhì)運動方向(αn>π/2)或反方向(αn≤π/2)趨近.高速情況下，隨著速度持續(xù)提高，一定角度的反射光線方向大幅變化，先遠離再趨近介質(zhì)運動方向(參見圖2(d)中B=0.6→0.85)；密疏過程中，一定角度范圍內(nèi)不發(fā)生折射.從具體表達式可知，在極限情況下(反射B→B1,B1→1，折射B→1)，所有反射、疏密折射光線沿介質(zhì)運動方向，密疏折射光線沿運動方向(αn>π/2)或反方向(αn≤π/2)(極限速度下，密疏過程消失的折射再次出現(xiàn)).

3 反、折射中的頻移

利用文獻[8]中的方法，通過時空圖法可求出運動介質(zhì)中沿光線方向的多普勒頻移公式為

(9)

這里θ是S系中光線出射方向與運動方向夾角.注意到S′系中，反、折射過程不發(fā)生頻移，利用前文的結(jié)果可得到用可測量表示的頻移公式.低速近似下，有

(10)

(11)

反射過程發(fā)生在真空中的特殊情況時，有

BΓ2[4cosαicos2αn+2Γ-2sin2αncosβi+

B(2-Γ-2)cos2αn]}

(12)

如將入射光線限定在xOy面(界面法線與介質(zhì)運動方向共同確定平面)上，可驗證調(diào)整為文獻[4]相同的參數(shù)設(shè)置后與其結(jié)果一致.

4 結(jié)語

光入射到運動介質(zhì)表面出現(xiàn)各向異性的反、折射特性來源于光在介質(zhì)中的光行差.波矢方向與光線方向具有不同的光行差公式，導致它們有不同反、折射特性(比如折射過程中αn=π/2時，與光線方向的折射規(guī)律不同，波矢方向遵循靜止時的折射定律[3]).光行差公式的差異源于介質(zhì)中波矢(k0,k)是類空矢量，光線方向速度矢量Γ(c,u)是類時矢量，有k0/|k|=|u|/c.此時，對于運動介質(zhì)中反、折射過程中波矢方向的求解，只需要將式(4)—(6)中Bq→1/Bq,q=1、2、i、r、γ，對于光行差公式也是如此.

感謝石薇、張成園老師對相關(guān)問題的有益討論.