例談高中數(shù)學(xué)運(yùn)算易錯(cuò)點(diǎn)及對(duì)策

鄭洽才

【摘要】運(yùn)算始終是數(shù)學(xué)課程最基本的內(nèi)容，也是最基本的能力。很多高中生計(jì)算能力較差，不少學(xué)生對(duì)一些簡(jiǎn)單的運(yùn)算都過(guò)不了關(guān)，造成成績(jī)不理想。而高考很重視考查學(xué)生的計(jì)算能力，學(xué)生計(jì)算能力的好壞直接影響到數(shù)學(xué)成績(jī)，很多學(xué)生由于運(yùn)算出錯(cuò)而失分。出錯(cuò)的原因除了粗心大意外，還有可能是記錯(cuò)、記混運(yùn)算公式，或?qū)忣}時(shí)對(duì)常見(jiàn)的運(yùn)算易錯(cuò)點(diǎn)不注意等。本文對(duì)學(xué)生在高中數(shù)學(xué)運(yùn)算的幾個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行舉例研究并提出一些對(duì)策，希望可以幫助學(xué)生減少運(yùn)算方面內(nèi)容的扣分。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)運(yùn)算? 公式? 易錯(cuò)點(diǎn)? 對(duì)策

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2021）07-0134-02

課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)高中數(shù)學(xué)運(yùn)算能力提出了較高的要求，不僅要求學(xué)生會(huì)根據(jù)法則、公式，進(jìn)行正確運(yùn)算和變形，而且要能根據(jù)問(wèn)題的條件，尋求與設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑。高中數(shù)學(xué)的運(yùn)算形式多樣，對(duì)初中的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推廣和引申，學(xué)生還要學(xué)習(xí)很多新的運(yùn)算符號(hào)和一些新的運(yùn)算，例如對(duì)數(shù)運(yùn)算。這樣對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力提出了更高的要求，運(yùn)算的難度也比初中要高。如在初中對(duì)基本初等函數(shù)的函數(shù)值的考查較低，對(duì)含有參變量一元二次方程都不作要求，但這部分含參的內(nèi)容在高中經(jīng)常出現(xiàn)。還有一元二次方程因式分解的內(nèi)容，初中有些學(xué)校對(duì)它講解和訓(xùn)練得較少，而在高中數(shù)學(xué)中分解因式的技巧、十字相乘都有很高的要求。高中運(yùn)算的數(shù)的大小和范圍都比初中要廣，數(shù)由實(shí)數(shù)擴(kuò)充到了復(fù)數(shù)，運(yùn)算的步驟總體也比初中多。很多學(xué)生考試時(shí)往往會(huì)在運(yùn)算的某方面出錯(cuò)失分，因此，有必要對(duì)這些易錯(cuò)點(diǎn)及應(yīng)對(duì)策略進(jìn)行研究。下面結(jié)合本人的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勗谶@方面的相關(guān)認(rèn)識(shí)和做法。

易錯(cuò)點(diǎn)一：沒(méi)有注意到運(yùn)算過(guò)程中一些常見(jiàn)的運(yùn)算細(xì)節(jié)

例1：Sn=n2-1求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

解：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=0

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=（n2-1）-[（n-1）2-1]=n2-1-n2-2n

分析：其中可以看出學(xué)生去括號(hào)時(shí)只是變了一個(gè)符號(hào)而導(dǎo)致錯(cuò)誤，最后不是減2n應(yīng)該是加2n。其實(shí)本題可以先化出Sn-1 后用Sn減去Sn-1，運(yùn)算過(guò)程中Sn-1的每一項(xiàng)符號(hào)都變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù)，這樣可以盡量避免失誤。

例2：asinx=0.5a，求sinx及x。

解：sinx=0.5且x=30°

分析：本題解的過(guò)程中沒(méi)有注意到a為參數(shù)不能直接除，得討論a為0和a不為0的情況，而且角度應(yīng)該為30°+360°k或150°+360°k（k為整數(shù)）。另外，求ax2-（a+1）x+1>0的解時(shí)得討論a是否為0來(lái)判斷是不是為一元二次不等式。還有例如求有關(guān)對(duì)數(shù)函數(shù)的題目時(shí)，如果真數(shù)是變量則一般要注意真數(shù)大于0。而在三角形中若sinA=，則A=60°，實(shí)際上，由sinA=，可得A=60°或A=120°等。

對(duì)策：其實(shí)高中數(shù)學(xué)運(yùn)算的過(guò)程中有很多注意點(diǎn)，所以，老師可以讓學(xué)生有意識(shí)地記錄這些注意點(diǎn)，然后利用課余時(shí)間去復(fù)習(xí)以便加深印象。另外，也可告訴學(xué)生如果平時(shí)自己做題有遇到運(yùn)算出錯(cuò)時(shí)，一定要好好研究一下出錯(cuò)的具體原因，而不是簡(jiǎn)單地歸結(jié)為是粗心大意就不再去深入總結(jié)。針對(duì)具體的問(wèn)題研究用什么方法能更好地避免運(yùn)算失誤或者可以和同學(xué)老師探討一下應(yīng)對(duì)方法。老師還要引導(dǎo)學(xué)生重視高中常用的四種數(shù)學(xué)思想，這些數(shù)學(xué)思想滲透在運(yùn)算的過(guò)程中。例如如果學(xué)生對(duì)分類(lèi)討論的思想掌握較好時(shí)則可避免很多運(yùn)算錯(cuò)誤，如遇到集合關(guān)系中含于符號(hào)時(shí)要注意討論集合為空集和不為空集兩種情況，對(duì)數(shù)的底數(shù)是a時(shí)要討論a>1還是0

易錯(cuò)點(diǎn)二：運(yùn)算過(guò)程不仔細(xì)、潦草

分析：本題最后的運(yùn)算沒(méi)有把i2等于-1寫(xiě)出來(lái)導(dǎo)致最后出錯(cuò)，本題是高考的高頻考點(diǎn)，難度不大，但往往很多學(xué)生運(yùn)算不完整導(dǎo)致最后失分，所以要求學(xué)生把一些易錯(cuò)題最好每一步都細(xì)化算出來(lái)。

分析：本題解分式不等式，它的解題細(xì)化過(guò)程為移項(xiàng)通分后系數(shù)都化為正數(shù)最后才求解。學(xué)生對(duì)整個(gè)解題流程不熟悉，所以這個(gè)題就錯(cuò)在少了一步，沒(méi)有把系數(shù)化為正而導(dǎo)致了錯(cuò)誤。理解一元二次不等式時(shí)有一規(guī)則為“大于號(hào)取兩邊，小于號(hào)取中間”，其前提也是得先把系數(shù)化為正，即開(kāi)口向上才成立。

對(duì)策：在教學(xué)中，教師要培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算意識(shí)，要讓學(xué)生知道運(yùn)算是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方面。部分同學(xué)重視解題時(shí)思維推導(dǎo)過(guò)程，但對(duì)運(yùn)算的過(guò)程卻不是很重視，這樣就會(huì)造成運(yùn)算的準(zhǔn)確性下降。例如有些學(xué)生在考試中經(jīng)常在運(yùn)算方面出問(wèn)題，如果不總結(jié)還會(huì)出現(xiàn)重復(fù)的錯(cuò)誤。因此，教師在教學(xué)中要結(jié)合教學(xué)的內(nèi)容，講究訓(xùn)練形式多樣化，把學(xué)生動(dòng)手運(yùn)算的積極性調(diào)動(dòng)起來(lái)，轉(zhuǎn)變學(xué)生懶于計(jì)算或厭于計(jì)算的壞習(xí)慣。另外，在課堂上教師也要讓學(xué)生在草稿紙上的書(shū)寫(xiě)不能太隨意，要工整規(guī)范，不同題目之間的解題區(qū)域區(qū)分要明顯，否則很容易看錯(cuò)、看混。有的學(xué)生考試時(shí)書(shū)寫(xiě)不規(guī)范，經(jīng)常將1寫(xiě)成7、3寫(xiě)成8，或者把負(fù)號(hào)寫(xiě)得很小等，而數(shù)學(xué)運(yùn)算看錯(cuò)一個(gè)符號(hào)或數(shù)字都會(huì)讓整個(gè)運(yùn)算出錯(cuò)。另外，對(duì)簡(jiǎn)單的計(jì)算題也要細(xì)心，一些運(yùn)算題型的解題步驟要做到心中有數(shù)，才能在運(yùn)算過(guò)程中不會(huì)遺漏掉某些過(guò)程，例如求解分式不等式的步驟一移二化三求，而本題還沒(méi)化就先求解了。

易錯(cuò)點(diǎn)三：記錯(cuò)記混運(yùn)算公式或性質(zhì)

例5：求解log23×log25的值

解：log23×log25=log2（3+5）=3

分析：本題記錯(cuò)了公式，logaM+logaN=logaMN，有些同學(xué)錯(cuò)記成logaM+logaN=logaMlogaN。本公式是由冪的運(yùn)算性質(zhì)anam=an+m推導(dǎo)出來(lái)的，指數(shù)式中的指數(shù)就相當(dāng)對(duì)數(shù)式中的對(duì)數(shù)，所以知道推導(dǎo)過(guò)程有助于對(duì)公式的正確記憶。

例6：cos75°=cos（30°+45°）=cos30°cos45°+sin30°sin45°

分析：本題錯(cuò)在記混了兩角和余弦公式，最后的運(yùn)算應(yīng)該是減號(hào)而非加號(hào)，可能學(xué)生誤記成了兩角和正弦公式的符號(hào)，這就是相似的公式或性質(zhì)容易記混。再例如有些同學(xué)常把雙曲線(xiàn)a、b、c三者的關(guān)系記成橢圓的關(guān)系a2=b2+c2。

對(duì)策：很多同學(xué)運(yùn)算不正確的原因常常是概念模糊，公式、法則遺忘，性質(zhì)混淆或生搬硬套。因此，指導(dǎo)學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行記憶尤其重要，得加強(qiáng)公式、定理發(fā)生、發(fā)展和形成過(guò)程的教學(xué)。例如有些同學(xué)把余弦定理記成a2=b2+c2+2cbcosA，如果學(xué)生知道它是由向量的減法公式推導(dǎo)出來(lái)的，一般就不會(huì)把減號(hào)寫(xiě)成加號(hào)了。同時(shí)我們還要讓學(xué)生知道很多知識(shí)和規(guī)律的產(chǎn)生都有一個(gè)過(guò)程，教師在教學(xué)中要先告訴學(xué)生知識(shí)的來(lái)源或發(fā)展，這樣可以讓學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的印象。例如高中的向量運(yùn)算，若學(xué)生能夠了解向量運(yùn)算與物理中的合力、做功等知識(shí)有聯(lián)系，則對(duì)知識(shí)的掌握更深刻，以后做題時(shí)就能更好地應(yīng)用這些運(yùn)算。學(xué)生還可以通過(guò)經(jīng)常看一些知識(shí)點(diǎn)小冊(cè)子或筆記來(lái)加強(qiáng)對(duì)概念、公式、法則的記憶。而對(duì)一些掌握不好的運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)，可以通過(guò)多做一些題來(lái)加深對(duì)它們的認(rèn)識(shí)和理解。另外，老師平時(shí)在教學(xué)中可以對(duì)公式或性質(zhì)中一些容易出錯(cuò)的地方和特點(diǎn)加以強(qiáng)調(diào)。

易錯(cuò)點(diǎn)四：對(duì)運(yùn)算公式或性質(zhì)的使用條件不清楚而用錯(cuò)

分析：本題錯(cuò)在不知道等比數(shù)列求和公式只適合公比不為1的等比數(shù)列，所以在使用公式前要確保這個(gè)數(shù)列的公比不為1。而此題x可能為1，就不能用上面這個(gè)公式;也可能為0，那就不是等比數(shù)列了。

分析：本題錯(cuò)在沒(méi)有考慮x為負(fù)數(shù)的情形，忽視基本不等式成立的前提“正數(shù)”。基本不等式的使用要符合一正二定三相等的條件才算最終使用正確。很多同學(xué)在對(duì)公式或性質(zhì)使用時(shí)不注意它們的適用條件而出錯(cuò)。例如在奇函數(shù)求參數(shù)題時(shí)，很多同學(xué)直接利用f（0）=0，但這個(gè)性質(zhì)的使用前提是函數(shù)的定義域必須含有0才成立。在導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)中也有一些學(xué)生用錯(cuò)運(yùn)算公式，例如（bex）'=ex+bex，學(xué)生因?qū)\(yùn)算公式的使用條件不理解而錯(cuò)用了運(yùn)算公式，b是常數(shù)而非變量x，故正確的結(jié)果應(yīng)該為（bex）'=bex 。再比如有些同學(xué)在求兩平行線(xiàn)的距離時(shí)直接用公式d=，忘了公式的使用前提是兩直線(xiàn)方程中x和y的系數(shù)必須先保證是相同的。

對(duì)策：學(xué)生忽視公式、定理的前提條件，濫用公式、定理，都是造成學(xué)生計(jì)算失分的主要原因，所以老師指導(dǎo)學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行記憶顯得尤其重要。如果教師對(duì)公式和性質(zhì)定理的形成沒(méi)有進(jìn)行深入的推導(dǎo)，則學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握不夠深刻，常常忘了公式的使用條件和范圍，甚至造成學(xué)生不理解題意而錯(cuò)用公式。我們?cè)诮虒W(xué)中也可以設(shè)計(jì)一些不符合運(yùn)算公式使用條件和范圍的題目，讓學(xué)生自己通過(guò)做題去體驗(yàn)一下是否對(duì)知識(shí)點(diǎn)達(dá)到完全的理解，并讓學(xué)生在思想上意識(shí)到有些運(yùn)算公式或性質(zhì)定理的使用是有范圍和條件的。例如兩直線(xiàn)平行則k1=k2前提是直線(xiàn)的斜率存在才行。同時(shí)還可以引導(dǎo)學(xué)生在做題時(shí)根據(jù)題目條件聯(lián)想到使用某個(gè)公式，例如知道兩正數(shù)求最值的問(wèn)題，可以考慮用基本不等式法。因此，教師在課堂上不僅要教學(xué)生公式、定理本身，也要告訴學(xué)生公式、定理成立的條件及特殊情形等易錯(cuò)點(diǎn)。

易錯(cuò)點(diǎn)五：審題不仔細(xì)而導(dǎo)致運(yùn)算出錯(cuò)

分析：本題錯(cuò)在沒(méi)看清向量的方向就默認(rèn)夾角為角B，由于公共點(diǎn)B在一個(gè)向量為起點(diǎn)一個(gè)為終點(diǎn)，所以?xún)上蛄康膴A角應(yīng)該為角B的補(bǔ)角才對(duì)。做錯(cuò)題的同學(xué)可能對(duì)向量的夾角概念掌握得不好，所以對(duì)概念、定理、性質(zhì)的理解是運(yùn)算準(zhǔn)確性的前提。

例10：△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知a=2，c=3，∠B=30°，則b=? ?3? ?。

解：由余弦定理得：b2= a2+c2-2accosB=3

分析：本題錯(cuò)在沒(méi)看清題意，主要是審題不仔細(xì)，它問(wèn)的是邊長(zhǎng)而非b的平方。又如學(xué)生還會(huì)經(jīng)常因沒(méi)看清是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，而用錯(cuò)性質(zhì)或公式。還有題目有時(shí)求長(zhǎng)軸或求焦距時(shí)，有些學(xué)生會(huì)求成長(zhǎng)半軸或焦半距，幾何體求表面積看成求側(cè)面積，求圓或球的直徑看成是求半徑等。

對(duì)策：準(zhǔn)確、敏銳、深入地審題是正確分析問(wèn)題、把握本問(wèn)題本質(zhì)、探尋解題思路、提高數(shù)學(xué)運(yùn)算準(zhǔn)確性的關(guān)鍵，學(xué)生審題能力的高低會(huì)直接影響解題的結(jié)果。平時(shí)做作業(yè)或考試時(shí)，有些學(xué)生因粗心大意，不認(rèn)真審題。經(jīng)常出現(xiàn)以下的問(wèn)題：12看成21、2看成5、3看成8等。由于有些學(xué)生沒(méi)有認(rèn)真看清題意，結(jié)果本來(lái)會(huì)做的題卻沒(méi)有得分或得不到滿(mǎn)分。所以，在教學(xué)中教師要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的審題能力，要求學(xué)生要審清題目中的數(shù)字和符號(hào)等細(xì)節(jié)。對(duì)題目里的一些重要信息，可以邊審邊用筆先把它畫(huà)出來(lái)，特別是最終題目的目標(biāo)是什么。數(shù)學(xué)題目中有很多都存在關(guān)鍵的字詞，對(duì)它們進(jìn)行深入研究能找到解題的突破口。所以，審題時(shí)除了注意各個(gè)部分之間的區(qū)別和聯(lián)系外，還要針對(duì)關(guān)鍵數(shù)字，展開(kāi)解題的思維起點(diǎn)，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的審題能力。在平時(shí)的學(xué)習(xí)中也可以對(duì)一些運(yùn)算時(shí)易審錯(cuò)的地方多加留意，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)。

總之，平時(shí)在學(xué)生易出錯(cuò)之處，讓學(xué)生去嘗試，去充分“暴露問(wèn)題”，然后認(rèn)真剖析其錯(cuò)誤，不斷引導(dǎo)，使學(xué)生留下深刻印象。同時(shí)要求學(xué)生多做一些課后習(xí)題，并在平時(shí)的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練中，要在思想上重視這些運(yùn)算的易錯(cuò)點(diǎn)。引導(dǎo)學(xué)生在經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期運(yùn)算訓(xùn)練后，對(duì)一些關(guān)鍵性的計(jì)算公式和自己容易犯錯(cuò)誤的地方進(jìn)行總結(jié)，并利用一些對(duì)策盡量減少在考試中的失分，在平時(shí)進(jìn)行檢驗(yàn)運(yùn)算時(shí)總結(jié)一些需要注意的常見(jiàn)易錯(cuò)點(diǎn)，那么在考試時(shí)就可以展開(kāi)更有效的驗(yàn)算。這樣才能提高學(xué)生在考試時(shí)的運(yùn)算能力，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，進(jìn)而提升他們學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。

參考文獻(xiàn)：

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[2]顧建峰.高中生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的問(wèn)題與對(duì)策研究[D].重慶：重慶師范大學(xué)，2012