轉動系問題淺析

戴正宇

解決物理問題時，常常需要用到變換參考系以簡化問題。但是，在選擇轉動參考系時常常容易出錯。 本文則從轉動系的坐標變換出發，推導出各個量在轉動參考系中的變換式，厘清整個思路，并指出其中容易出現問題的地方。

1 轉動系中的坐標變換以及導數變換

首先，簡單起見，考慮二維轉動系，角速度垂直于該平面，并假設兩個參考系原點重合，且在t=0時刻兩坐標軸重合。某一時刻兩坐標系的位形如下圖。

根據幾何關系可以導出，同一矢量在兩個系中的坐標滿足如下坐標變換：

由此，我們得到了矢量導數的坐標變換式。是轉動效果的體現。習慣上取t=0（亦即在觀測時矢量在兩個系中有相同的分量），則。（2）式就變為很多教材上講述的“絕對導數和相對導數的關系”。

2 轉動系中的線速度，線加速度的變換

在上一節我們已經得到矢量導數在兩個坐標系之間的變換。這個矢量若是位矢，則導數變換式就是線速度變換式。

以上推導出了轉動系之間速度，加速度的變換式。

應該強調的一點是：ω是原系相對于新系的角速度，而不是新系相對原系的角速度。這一點可以從第一節導數變換的推導中看出來。同時，v是相對于原系的速度，而不是相對新系的速度。這兩點是在使用上面的公式時最容易出現的錯誤。

運動學中物體之間的加速運動具有對稱性，但是在動力學中，由于慣性的存在，物體間的加速運動不再對稱。不論是從S系換到S系還是從S系換到S系，一項總是向心的，若反向換系，牽連加速度卻不完全反向，會不會導致不自洽？答案是否定的。我們來考察兩次連續換系：從S系換到S系，再從S系換回到S系。

全部帶入可得，這也是必然的。科里奧利加速度那一項中v與v‘的差異修正了一項一直向心帶來的問題。最終沒有出現不自洽。

現在把我們的問題做推廣：1從二維到三維 2從原點不動到原點運動

我們已經把加速度變換式寫成了矢量式，可以證明，三維情況下該矢量式仍然成立。其基本思想和以上所述是一樣的，只是要用到更難的矩陣知識，此處便不再贅述。對于原點運動的轉動系，我們可以換兩次系：第一次是跟隨原點運動的平動參考系，第二次是繞運動原點的轉動系。相應的變換公式可以寫成：

3 轉動系中的角速度，角加速度的變換

幾乎所有教材對于轉動系的討論到以上的（3）（4）（5）（6）式，便沒有繼續了，并未給出角速度，角加速度的變換。下面我們給出轉動系中的角速度，角加速度的變換式。

角位移與線位移不同，它不是矢量，只有無限小角位移是矢量。因此，在推導角速度變換式的時候不可以套用（2）式。

以上便是角速度，角加速度變換式。弨彈弩式中的最后一項在二維情況下等于0（原因是Ω//ω）很多人并沒有通過嚴格的推導得出角速度、角加速度的變換式，默認有和。這在二維情況下時正確的，但是在三維運動下，并不為0。這也是一個非常容易出錯的地方，要引起重視。這里的ω時相對于原系的角速度，這和之前加速度變換式十分類似。

順便一提，旋轉系的原點的加速運動不會影響角速度，角加速度的變換式。

4 總結

我們首先采用一個新思路：從矩陣表述的坐標變換出發，導出了旋轉系中矢量導數的變換，進而推出了線速度，線加速度的變換以及角速度，角加速度的變換;并以運動學的對稱性為基礎，驗證了轉動系變換理論的自洽性。

以上的討論僅限于理論推導，應用于實際問題時把變換式當作結論即可，要想清楚每一個物理量的意義，切勿混為一談。

參考文獻：

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