HPM視角管窺中學數學教師專業發展

胡愛芬

【摘要】HPM即數學史和數學教育，HPM視角下的數學教學即融入數學史的數學教育.英國德摩根（1806～1871）曾經這樣形容過數學史與數學教育的關系：“數學史和數學教育是使面包與黃油更加可口的蜂蜜”.教師的HPM素養的發展，可有效推進學生三維目標的發展，HPM可以帶領我們中學數學教師走進一個嶄新的領域;開啟一座取之不盡，用之不竭的寶藏;探尋一條數學史才能解決的進路;傳遞古人專注、堅毅的一縷書香;增添一種不但知其然，而且知其所以然的數學視角.

【關鍵詞】HPM? 數學教師? 專業發展

自1972年開始HPM便成為數學教育的富有特色的研究領域.HPM視角下的數學教學通俗地講就是融入數學史的數學課堂教學，距今已有40年左右的發展歷史.而在我們中國的高中數學課堂教學中的融合仍然是一個教育難題.HPM視角下的課堂教學，能激發學生的學習興趣，啟發學生的人格成長，對于解決教育教學中的其它難題具有借鑒意義.

一、走進一個領域

在國際數學教育這么一個大學科里面，HPM教學是一個比較活躍的研究領域， 1976年開始隸屬于國際數學教育委員會.國內則是在本世紀初開始有學者注意.

案例1 HPM視野下的教師招聘

有這樣一個故事，7個臨近畢業的來自985大學的大學生，去應聘某所高中的數學教師，面試中校方負責人提了這樣一個問題“為什么等比數列的求和公式推導過程中要兩邊同乘以q”， 如果你懂得數學史，就會發現這樣的問題顯得多么狹隘和幼稚！兩邊不乘以q，世界依然美好. 萊因德紙草書是世界上最古老的數學著作之一，由古埃及一位名叫阿莫斯（Ahmes，約公元前1650年）的祭司所編著.紙草書上記載著一個等比數列的求和問題：S5=7+49+343+2301+16807=7（1+7+49+343+2301）=7×2801=19607.由此可見，古代埃及人已經總結了等比數列“7，72，73，…，7n，…”的前n項求和Sn和前n-1項和Sn-1之間的遞推關系Sn=7×（1+ Sn-1）.利用這種方法，我們同樣可以推導出一般等比數列“a1，a1q，a1q2，…，a1qn-1，…” 的前n項求和Sn和前n-1項和Sn-1之間的遞推關系：Sn= a1+ a1 q+ a1q2+ …+ a1qn-1= a1 + q（a1+ a1q+ a1q2+ …+ a1qn-2）= a1 + q Sn-1= a1+ q（Sn- a1qn-1），故當q≠1時，有Sn= a1 1-qn1-q.我們也可以將上述遞推方法進行改進.由a1+ a2+ a3+…+ an+ an+1= a1+ q（a1+ a2+ a3+…+ an），得Sn+ a1qn= a1+ qSn.雖然我們還無法判斷古埃及祭司是否已經知道上述公式，但他們所運用的思想昭然若揭，這種遞推思想在今天的課堂上依然可以大放光彩.

二、開啟一座寶藏

在我們數學教學中，每天都要進行教學設計，每個數學教師都希望自己的課能上得非常好，巧婦難為無米之炊，數學史可以提供取之不盡，用之不竭的教學資源.教師專業發展包括信念、知識和能力三方面.教師的信念很重要，信念決定人的教育行為。

案例2 “負數”認識的歷史相似性

法國大文豪司湯達，他寫過一本書叫《紅與黑》，司湯達小時候數學喜歡的不得了，又聰明，又伶俐，然后又喜歡數學，他為什么這么喜歡數學，他說數學能夠讓我獲得真理，因為數學它的推理一步一步很可靠，其它學科達不到這個結果.但是有一天老師在學校教“負負得正”，說負數乘以負數得正數，你記牢就好了.司湯達舉手問老師“為什么負負得正，而不負負得負”.老師把他罵了一頓.后來他去補習學校問另外一個數學老師，那個數學老師的態度是好多了，還舉了個例子“-500就像是我欠了你500債務”，司湯達說 問題就在這里啊，欠500乘以欠1000等于收入50萬，怎么樣都想不通，這個數學老師直接昏過去再說了.這是司湯達自傳里面寫的.后來司湯達在回憶錄里面寫到了這兩老師，他看不起這兩個數學老師，說一個是騙子，一個是小市民.歷史上前人遇到的困難，我們今天課堂上一定會再現的，其實這就是歷史相似性.如果意識到這一點，我們就會少在辦公室里背后抱怨“學生笨死了”.

三、探尋一條進路

在我們日常教學中，每天都會遇到學生問各種各樣的“為什么”，有些“為什么”可以通過邏輯推理得到解決，還有一類為什么，因為所以沒有用，邏輯推理也是失效的，只有用數學史才能解決學生心中的疑慮.

案例3 為什么2是無理數，無限不循環小數為什么叫無理數

也許有的人會顧名生義，望文生義的以為“無理數就是毫無道理的數”. 無理數怎么會是毫無道理的數呢，生活中處處可見，比如長得比較好看的牙齒的兩顆門牙的橫向寬度通常是一顆門牙縱向長度的 EQ 5+1，2）倍.又比如我們把A4紙沿矩形一角的角平分線對折一次，沿450折角的角平分線再對折一次，發現第一次的折痕與A4紙的長邊重疊，即A4紙的長是寬的2倍.為什么叫無理數，清代華衡芳，江蘇無錫人，實際上他翻譯一個英文單詞時翻譯錯了，正確的翻譯應該是“不可比的”，不能表達成兩個整數的比，應該叫無比數，而不是無理數.所以學習無理數是有心理障礙的，你想若你是一個名叫“無理取鬧”的人，大街上誰還理你啊.又比如為什么冪指數叫對數？對數這個詞的由來：緣于古人將等差數列與等比數列對應起來，所以就叫對數.再比如“數學歸納法”，德國人原先叫完全歸納法，英國的德摩根是很有名的數學家，由他得出來的詞條廣為傳誦，他的數學歸納法最后戰勝了德國人的完全歸納法，后來全世界人都叫數學歸納法.

結語

百年大計，教育為本，教育大計，教師為本.HPM有助于更好地實現數學教學的三維目標.數學史融入數學教育的HPM研究，為我們中學數學教師提供了一片廣闊而迷人的天地.可以讓我們一線中學教師成長為一個更有文化底蘊、更自信、更熱愛數學教育的人.隨著中學課程改革的不斷深入，時代呼喚數學教師成為HPM的研究者、傳播者.洋溢著數學文化芬芳的數學課堂將使我們的學生更熱愛數學、熱愛生活、更有文化、更有追求、更懂得生命的意義.

參考文獻

[1]顧沛 .《數學文化》 北京：高等教育出版社，2008： 13

[2]汪曉勤.《HPM：數學史與數學教育》 北京：科學出版社，2017：