基于學生概括理解能力的數(shù)學概念教學

韓曉曉

摘要：概括是學生學習數(shù)學知識、概念及數(shù)學思想方法的重要思維形式，是學生理解數(shù)學本質(zhì)的基本活動。本文以初中數(shù)學《變量與函數(shù)》的教學為例，引導(dǎo)學生從實際情境中抽象出函數(shù)模型，并歸納概括出函數(shù)概念，通過具體行為表征實現(xiàn)對函數(shù)概念的理解與應(yīng)用。課堂的教學設(shè)計從以下五個方面展開：創(chuàng)設(shè)有效情境、問題驅(qū)動、抽取篩選、屬性歸類、明確常量和變量;引導(dǎo)學生關(guān)注“變化過程中數(shù)量的變化”，探究兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，讓學生主動形成、自主概括歸納概念的本質(zhì)，指導(dǎo)學生從解析式、表格、圖象、初步映射等多樣形式全方位理解，體會知識承載的數(shù)學思想，進而核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學概括理解能力 函數(shù)的概念 建構(gòu)學習 有意義學習

數(shù)學概括理解能力[1]是體現(xiàn)學科核心素養(yǎng)的重要指標。概括理解是學生學習數(shù)學知識、概念及數(shù)學思想方法的重要思維形式，行為表現(xiàn)特征有自主性、漸進性、外顯性、互動性和嚴謹性。概念的教學涉及“概念的名稱、定義、相關(guān)和無關(guān)特征、正例和反例”四方面，教學過程中，注重學生的思維過程，學生自主逐步形成函數(shù)的概念，有針對性的選擇例題和練習題，有助于推動學生再去概括和辨別，實現(xiàn)學生對概念學習記憶、理解、運用的結(jié)果，達到理解的六側(cè)面-能解釋，能闡明，能應(yīng)用，能洞察，能深入，能自知。

數(shù)學課堂的靈魂是什么？是思想，也就是數(shù)學教學過程應(yīng)該是傳授思想的過程.思想是通過什么來展現(xiàn)的？是問題[2]，換句話說，數(shù)學課堂應(yīng)該是圍繞問題展開，將驅(qū)動教學的問題通過適當?shù)那榫罢故境鰜恚纬蓡栴}情境。本節(jié)課情境有：

（1）汽車以60km/h的速度勻速行駛，時間為t h，路程為s km。

（2）電影票價40元/張.設(shè)某場電影售出的票數(shù)是x張，票房收入為y元。

（3）實物演示彈簧秤，測得彈簧的長度y（cm）與所掛物體的質(zhì)量x（kg）之間有下列關(guān)系：

驅(qū)動問題：①每個變化過程中有幾個量，是否需要分類？有幾個變量？②在變化過程中，兩個變量之間有什么關(guān)系？ ③聚焦到對應(yīng)關(guān)系，是怎么對應(yīng)的呢？

問題的設(shè)置意在引導(dǎo)學生從具體事物中區(qū)分出個別的非本質(zhì)的屬性特征和共同的本質(zhì)的屬性特征，并舍棄個別的非本質(zhì)的屬性特征而抽取出共同的本質(zhì)屬性.數(shù)學的抽象完全舍棄了事物的質(zhì)的內(nèi)容，而僅僅保留了它們的量的屬性[3].兩個變量之間的關(guān)系有很多，學生容易答出一個量隨著另一個量的變化而變化這種聯(lián)動關(guān)系，可以稍微引導(dǎo)這個變化中有沒有規(guī)律性的變化，即函數(shù)的性質(zhì)。但本節(jié)課先聚焦到“函數(shù)的本質(zhì)是兩個變量和兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系”。從解析式[4]、表格、初步映射和函數(shù)示意圖等多個角度分析對應(yīng)關(guān)系，會讓學生漸進性形成函數(shù)概念，突出重點突破難點，而后緊跟練習，如下：

練習1：體檢時的心電圖，圖上點的橫坐標x表示時間，縱坐標y表示心臟部位的生物電流， x，y是兩個變量， y是x的函數(shù)嗎？ 能不能找到操作性的工具，快而準的辨別圖象是否表示單值對應(yīng)關(guān)系？

練習2：一只螞蟻在豎直墻面上的爬行圖如下， 螞蟻離地高度h是離起點的水平距離 l的函數(shù)嗎？為什么？

練習3：下列關(guān)于變量x，y的關(guān)系，其中y不是x函數(shù)的是

總結(jié)：“一對一或多對一”的單值對應(yīng)都是函數(shù)關(guān)系，“一對多”不是函數(shù);可通過“畫豎線數(shù)交點個數(shù)”辨別圖象是否表示函數(shù)關(guān)系，提升解題能力。

課堂教學中注重學生的思維過程，遵循以結(jié)果為導(dǎo)向，以學生的理解到位為主，明確學生通過設(shè)計的內(nèi)容，會獲得怎樣的理解和應(yīng)用能力？用怎樣的學習支架能引導(dǎo)學生理解重要觀點？希望學生如何應(yīng)用這些觀點明確實施的意義？

建構(gòu)主義和有意義學習理論。學生對現(xiàn)實原型進行數(shù)學弱抽象，如案例中最初的3個情境以及心電圖、溫度變化、映射、關(guān)系式等若干不同例子，引導(dǎo)學生進行反復(fù)感知、分析、比較、抽象，聚焦研究兩個變量之間的依賴關(guān)系，加以歸納概括，得出本質(zhì)屬性，從而形成函數(shù)概念，是有意義的構(gòu)造性活動實踐，是借助歸納概括進行的邏輯建構(gòu)。本節(jié)課“函數(shù)”這個具體概念的學習適合采用概念形成方式，是上位學習，教學時注重組織學生進行以科學探究為主的一系列師生互動活動，進而應(yīng)用認知發(fā)展教學方式使學生認知系統(tǒng)完成建構(gòu).而本章后續(xù)“正比例函數(shù)、一次函數(shù)”等定義性概念的學習方式更適合采用概念同化的方式，是從上位到下位的學習，教學時注重講授法的運用。

多元課堂互動。本節(jié)課尊重學生的差異性，采取了多元的課堂互動。互動活動多樣化，能充分調(diào)動學生課堂參與度.如站起來回答問題，讓學生上講臺講述觀點.尤其是本節(jié)課選擇題通過亮手指表達觀點，亮手指反饋適合選擇題和部分填空題，選擇題的ABCD選項對應(yīng)手指1234，一是提供時間和空間讓學生獨立思考，肯定做得快的同學，又讓答對的薄弱生站起來表達，增強數(shù)學學習自信心;二是課堂針對性輔導(dǎo)，抓住契機轉(zhuǎn)變錯誤觀念，解釋并及時學生的錯誤觀念、創(chuàng)設(shè)認知沖突、構(gòu)建新觀念，讓整個課堂有效和高效，使學生的思維有深度。