一道中考數學壓軸題的“出爐”過程

張朝光

筆者有幸參加了某一年曲靖市中考數學的命題工作。現就這一年曲靖市中考數學卷中的第23題壓軸題的“出爐”之路與各位初中數學教師分享，達到學習交流、共同探討的目的。

一、初稿的產生與評析

根據這一年云南省中考數學考試說明，課程標準（數學）要求，初中數學知識雙向細目表，命題組對試卷的第23題即本套數學試卷的壓軸題提出了如下要求：一是以二次函數為背景，結合三角形、四邊形（圓與二次函數的結合上年已考）的有關知識，重點考查學生對基本圖形的識別能力和綜合應用數學知識分析問題，解決問題的能力;二是滲透數形結合，代數、方程分類等數學思想和方法;三是數據的設計避免繁難的計算，重點考查數學思想和方法。

初稿：如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線交軸于A，B兩點，交y軸于點C（0，3），.

（1）求拋物線的解析式。

（2）D是拋物線的頂點，求四邊形AOCD的面積.

（3）點M是拋物線上任意一點，連接CM，以CM為邊作正方形CMEF，是否存在這樣的點M，使點E或F恰好落在對稱軸上？若存在，請求出點M的坐標;若不存在;請說明理由.

分析：初稿基本滿足了命題組的要求.

第（1）問很常見，學生易上手，利用，可得OA=3，于是A（-3，0），把點（0，3），A（﹣3，0）代入可求得.

第（2）問只需求出頂點D的坐標（-1，4），適當添加輔助線（課本七年級下冊有此方法）利用圖形面積的和差，大部分學生都能完成，方法上的要求不高;第（3）問難度陡增，且與前面問題關聯性很小。況且第（3）問中，還要討論E點在對稱軸上和F點在對稱軸上兩種情況：

情況1：點E在對稱軸上如圖2，過點M作MG⊥y軸于G，交對稱軸于N.

有△MGC≌△ENM.

于是MH=CG

設M（，）? MH=∣n+1∣，

CG=

所以或

解得.

情況2：點F落在對稱軸上，如圖3，過M作MG⊥y軸于G，過F作FN⊥y軸于N.

有△MGC≌△CNF

于是CG=FN

設M（，）

所以或

解得：或

把x的值代入中可求出對應的縱坐標.

共有7種可能，且有6種情況計算縱坐標時比較繁。另外從學生角度考慮，每種情況就有一個圖形，要畫出的圖形太多。

二、第二稿的形成與評價

經過命題對初稿答案的討論，初稿中第（2）問對于第（1）問難度沒有坡度，屬于考查基本知識的范疇，需改進，且第（2）問對解決第（3）方法上沒有提供支持和鋪墊，第（2）問要重新設計，第（3）可能性太多，是否可以限制某些條件，讓結果情況減少到4種及4種以內，于是命題人員在以上意見的基礎上改進組成第二稿。

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交x軸于A、B兩點，交y軸于C（0，3），.

（1）求拋物線的解析式.

（2）點H是線段AC上任意一點，過H作直線HN⊥x軸于N，交拋物線于P，求線段PH的最大值.

（3）點M是拋物線上任意一點，連接CM，以CM為邊作正方形CMEF，是否存在點M，使點E恰好落在對稱軸上？若存在，請求出點M的坐標;若不存在，請說明理由.

評析：這里求PH的最大值，從圖上直觀看出PH的值是一個變化的量，學生會聯想到函數的知識，二次函數的最值問題，也就是說PH的長能否表示成某個變量的二次函數的形式.

設，H的橫坐標也為x，縱坐標能否可以用x表示，H是AC上的點，可先求出直線AC的解析式，所以.

于是PH=PN﹣HN=

此二次函數，開口向上，函數PH有最大值.

當時，

：

第（3）問經調整還有4個點滿足，如圖2情形，滿足條件的M的橫坐標是，求縱坐標還要把這些值代入中還比較繁。

如當

三、第3稿的形成與評析

通過命題組討論，第2稿基本上滿足了命題的預設要求，三問之間層層遞進，問題之間有聯系，但第（3）問的計算繁難問題與考試要求中的注重數學思想方法的考查，避免繁難計算相違背，同時也要考慮學生考試用時的問題。據此，命題組提出，可否在考查的數學思想、方法不變的前提之下，改變題目的已知數據，使計算上簡化，答案簡潔，體現了數學的簡潔美。通過努力，最終找到了符合要求的數據，形成了第3稿。

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交x軸于A、B兩點，交y軸于點C（0，3），.

（1）求拋物線的解析式.

（2）點H是線段AC上任意一點，過H作直線HN⊥x的軸于點N，交拋物線于點P，求線段PH的最大值.

（3）點M是拋物線上任意一點，連接CM，以CM為邊作正方形CMEF，是否存在點M，使點E恰好落在對稱軸上？若存在，請求出點M的坐標;若不存在，請說明理由.

簡解：（1）解析式為（2）求得AC解析式為

設N（x，0），則H（x，），P（x，）

∴

∵???????????????? ∴PH有最大值

∴PH最大家=

即線段PH的最大值是.

（3）過點M作MK⊥y軸于點K，交對稱軸于點G，則

∴

∵四邊形CMEF是正方形 ∴ ∠EMC=90°

∴∠EMG+∠CMK=90° ∴∠MEG=∠CMK

∴△MKC≌△EGM ∴MG=CK

由拋物線得對稱軸，設M（，），則G（-1，），K（0，）

∴

∴

∴

∴或

解得

代入拋物線解析式得

∴點M的坐標是M1（-4，0） M2（，）

M3（，） M4（2，0）

從答案看出已避免了繁難的計算。

四、討論定稿

每個命題人員自己完成一次解析，在解題過程中查找題目的不足之處，逐步完善，形成終稿。第3稿第（1）問設置起點低，學生容易上手，照顧了大部分學生;第（2）問加入了運動元素，強化了函數知識，特別是一次函數、二次函數及二次函數的最值問題，難度適中，此問的順利解決為第（3）問做好鋪墊。第（3）問難度較大，有極大的區分度，不僅要畫出符合條件的正方形，同時還要添加輔助線，構造全等三角形，找出線段的相等，還要有用變量表示線段長度的方法，建立方程而求解，還要考慮M點在不同位置所形成的正方形等，是對學生綜合數學能力的考查，體現了選拔功能。通過分析討論、命題組形成統一意見，認為第3稿符合命題組提出的要求，試題起步慢，易上手，問題之間有關聯。特別是第（2）問表示PH長的方法為第（3）表示MN，CG的長提供了思路，達到了“形散神聚”的效果，另外，第3稿中的兩個A、B點是特殊點，符合學生從特殊到一般的思維方法。第3稿的計算較簡化，重點注重數學思想方法的考查，避免了繁難計算。另外，此題還有一個討論空間，以C、M、E、F為頂點的四邊形為正方形，且使E或F落在對稱軸上，供教師研究。命題組最終形成共識，就把第3稿確定成為曲靖市這一年中考數學的壓軸題。