三重積分的課堂教學設計

單彩虹 顧娟 許飛

摘要 由實際案例引入，抽象總結(jié)出三重積分的概念，激發(fā)學員學習熱情，體會數(shù)學來源于實踐，培養(yǎng)學員理論聯(lián)系實際的觀點和方法，掌握“先一后二”和“先二后一”兩種在直角坐標系下計算三重積分的方法。

關(guān)鍵詞 三重積分 先一后二法 先二后一法

三重積分是多元函數(shù)積分學的核心內(nèi)容之一，是將定積分、二重積分的概念推廣到空間立體上的三元函數(shù)的積分。三重積分的概念與計算在其他學科中有重要的應用，也是后續(xù)計算曲面積分的重要工具之一。深刻分析概念的物理背景，進一步加深對元素法思想和本質(zhì)的認識;引導學員自己總結(jié)和體會定積分、重積分之間的區(qū)別和聯(lián)系，加深對積分思想和本質(zhì)的感悟。

教學目標及教學思想

（一）教學目標與要求

理解三重積分概念;掌握在直角坐標系下將三重積分按積分域的特點化為累次積分，能正確定出上下限。培養(yǎng)抽象思維、辯證思維、邏輯推理、計算能力和數(shù)學建模應用能力，為指揮決策提供科學方法;理解具體與抽象、特殊與一般、精確與近似的辯證關(guān)系，養(yǎng)成科學理性的思維習慣和實事求是、認真細致的工作作風.

（二）教學重點與難點

三重積分的概念、直角坐標系下計算三重積分的方法。積分區(qū)域的表示、三重積分化為三次積分的方法。

學情分析

學員已理解和掌握經(jīng)學習了定積分、二重積分等知識，有理論基礎，從二重積分推廣到三重積分易于理解。掌握了二重積分的計算方法，具有一定的基本運算技能、邏輯推理能力。

思維培養(yǎng)

本次教學從實際例子出發(fā)，引入概念，從定積分、二重積分的概念和性質(zhì)，應用與新知識進行類比，采取歸納思維和發(fā)散思維的方式，培養(yǎng)學員的創(chuàng)新思維。

（五）教學方法和手段

采用課堂講授、例題分析、課堂討論的方法實施教學。教學以課堂講授為主，注重啟發(fā)式與研討式教學。課堂講授從密度不均勻的物體的質(zhì)量入手，引入三重積分的定義;通過例子，說明三重積分“先一后二”和“先二后一”的定限方法;采用練習的方式，引導學員加深對定限的理解;采用課堂討論的方式，加深學員對定限方法的掌握。

二、教學實施

引例 如果一個物體分布在空間的閉區(qū)域 內(nèi)，物體質(zhì)量的體密度為 ，如何求該物體的總質(zhì)量 ？

為了檢測三重積分計算的掌握情況，讓學員按照例題的方法獨立完成相應的練習，檢驗效果，體會“如何用”。

通過典型例題分析，總結(jié)“先一后二”和“先二后一”適用的范圍和技巧，掌握這些方法定限的過程。通過學習三重積分的計算方法，培養(yǎng)學員具體問題具體分析的思維和能力，樹立學員事物普遍聯(lián)系、用聯(lián)系的觀點看待問題的觀念。

參考文獻：

[1]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學（第七版）.北京：高等教育出版社，2014.