數(shù)學(xué)思維可視化：促進(jìn)深度學(xué)習(xí)真實發(fā)生

文|錢學(xué)翠

數(shù)學(xué)思維具有獨特的內(nèi)隱性與抽象性，常常以概念、公式等抽象的形式出現(xiàn)，這對于抽象思維能力較弱的小學(xué)生而言，存在一定的認(rèn)知難度，導(dǎo)致其難以進(jìn)入深度學(xué)習(xí)狀態(tài)。正是基于此，思維可視化便進(jìn)入了我們的視野。本文將重點圍繞思維可視化之“為何”與“何為”展開探究，促進(jìn)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)真實發(fā)生。

一、思維可視化之“為何”

在弄清思維可視化到底“為何”之前，我們有必要先弄清其內(nèi)涵。顧名思義，思維可視化就是通過直觀形象的手段，將抽象的、不易直接發(fā)現(xiàn)的思維展示在人們眼前。就數(shù)學(xué)學(xué)科而言，可視化就是將那些隱藏的思維過程，通過可見的圖示或?qū)嵨锏刃问秸宫F(xiàn)出來的過程。那數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的內(nèi)涵又是什么呢？南京師范大學(xué)教授吳永軍指出：“深度學(xué)習(xí)是一種整體的學(xué)習(xí)狀態(tài)，是學(xué)習(xí)者全身心投入的過程，既是一個大腦內(nèi)部信息加工的過程，也是一個充滿情感、意志、精神、興趣的全面參與的過程?！笨梢?，數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)也必然是學(xué)生積極投入，并沉浸于對知識的理解與運用遷移的過程之中的學(xué)習(xí)方式。這兩者雖然看似兩個概念，但如果我們從心理、智力、效能這三個維度進(jìn)行對比分析，就不難發(fā)現(xiàn)其存在的關(guān)聯(lián)性。（見表1）

表1

效能維度更有利于學(xué)生在理解知識的基礎(chǔ)上進(jìn)行知識體系的建構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)遷移效能。學(xué)習(xí)者浸潤于深度學(xué)習(xí)環(huán)境之中，深入探究，能高效地獲取有意義的知識與能力，并遷移運用。

由表1 可見，“深度學(xué)習(xí)，是師生共同經(jīng)歷的一場智慧之旅?！边@一點正好與可視化學(xué)習(xí)的內(nèi)涵不謀而合，兩者具有內(nèi)在的共通性，這為我們進(jìn)一步探究思維可視化在深度學(xué)習(xí)中的作用提供了可能。下面我們?nèi)詮纳鲜鋈齻€維度出發(fā)，來理解思維可視化之“為何”，即思維可視化對深度學(xué)習(xí)所起的具體作用。

1.激“趣”。

從心理維度看，數(shù)學(xué)思維的可視化意味著教師在教學(xué)過程中，需要將原本深奧的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化成可視的內(nèi)容，讓學(xué)生在妙趣橫生的情境中進(jìn)行學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)。有了強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)動機(jī)后，學(xué)生在學(xué)習(xí)中會全身心投入到對知識的探求之中，既獲得了極為豐富的情感體驗，也學(xué)到了知識。如在教學(xué)三角形的“高”這一概念時，教者精心創(chuàng)設(shè)了小老鼠拖三角形餅干進(jìn)洞的情境。學(xué)生通過不斷地轉(zhuǎn)換餅干的位置，直至幫助小老鼠把餅干拖進(jìn)洞里的操作，理解了三角形“高”的含義以及底和高的對應(yīng)關(guān)系，這樣可視化的手段一下子調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，當(dāng)學(xué)生浸潤于這樣充滿趣味的課堂中，深度學(xué)習(xí)的狀態(tài)就會有明顯改善。

2.促“解”。

從智力維度來看，“趣”是一種外在形式，而“理解”則是“智力層面的建構(gòu)，是人腦為了弄懂許多不同的知識片段而進(jìn)行的抽象活動”。認(rèn)知心理學(xué)中的“雙重編碼”理論認(rèn)為：人的大腦存在兩個相互獨立，但又彼此關(guān)聯(lián)的系統(tǒng)，其中一個是淺層次的表象系統(tǒng)，另一個則是相對復(fù)雜的理解系統(tǒng)，表象系統(tǒng)促進(jìn)了理解系統(tǒng)的建構(gòu)。就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，這里的表象實際上就是一些具體可視的學(xué)習(xí)方法，這些可視化的學(xué)習(xí)方法，能將學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，通過結(jié)構(gòu)化、模塊化的可視圖表呈現(xiàn)出來，促進(jìn)理解。比如在復(fù)習(xí)“圖形的計算”時，學(xué)生利用思維導(dǎo)圖，將所學(xué)過的所有圖形進(jìn)行整理，形成一張完整的知識體系圖，學(xué)生通過這張圖，對“圖形的計算”進(jìn)一步加深了理解。（見圖1）

圖1

3.致“用”。

從效能維度來看，思維可視化還可以幫助學(xué)生進(jìn)行知識的遷移，從而學(xué)以致“用”。這是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中關(guān)鍵能力的體現(xiàn)，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的真正目標(biāo)。此處的“用”是基于對數(shù)學(xué)知識的理解基礎(chǔ)之上的“遷移”，將所學(xué)的知識與能力運用到新的數(shù)學(xué)情境之中，去解決那些困惑的、具有挑戰(zhàn)性的復(fù)雜情境中的問題，這是布盧姆所提出的關(guān)于“應(yīng)用”的核心內(nèi)涵。以圓柱內(nèi)容為例，在知識遷移運用階段，針對“為什么有這么多東西要做成圓柱體”這一問題，采用分解圖的方式，學(xué)生就能水到渠成，形成能力的遷移。（見圖2）

圖2

二、思維可視化之“何為”

當(dāng)我們對思維可視化之“為何”有了一個清晰的認(rèn)知后，就可以更好地探討思維可視化到底“何為”，即“如何來做”這一問題。因為只有掌握了“如何來做”的技術(shù)手段，才能為數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)注入活力。下面就通過學(xué)生看得見、摸得著的身邊的事例，以及畫草圖、建導(dǎo)圖、列表格等方法，來進(jìn)一步進(jìn)行探討。

1.動手做：讓數(shù)學(xué)概念更真切。

思維可視化的重點是在于“傳遞”，通過圖像的方式將教師掌握的思維方式傳達(dá)給學(xué)生，讓學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)。在“傳遞”的過程中，如何讓學(xué)生接受相應(yīng)的經(jīng)驗就十分重要。根據(jù)心理學(xué)原理，當(dāng)新學(xué)習(xí)的知識與已有知識存在關(guān)聯(lián)時，記憶效果會更佳。可見，教師運用思維可視化進(jìn)行教學(xué)，應(yīng)以學(xué)生的生活經(jīng)驗為元素，采取動手做的形式，展示思維過程，這樣才能達(dá)到與生活對接的效果，讓數(shù)學(xué)概念更真切。

例如在教學(xué)“有余數(shù)的除法”這一課時，學(xué)生在之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了沒有余數(shù)的除法計算，但是在實際生活中，有余數(shù)的除法更為常見。為此，教師可以為學(xué)生創(chuàng)設(shè)情境，將學(xué)生在生活中遇到的問題原型，在課堂當(dāng)中展示出來。比如有10 個面包，平均分給5 個人，每個人能分到幾個？如果平均分給4 個人，每個人又能分到幾個？學(xué)生通過思考，自己擺一擺，當(dāng)平均分給5 個人時，每人分2個，這是之前學(xué)習(xí)過的沒有余數(shù)的除法；當(dāng)平均分給4 個人時，每個人也是2 個，但是多出了2 個。

圖3

教師通過這一可視化教學(xué)方式，將數(shù)學(xué)知識與學(xué)生的生活經(jīng)驗進(jìn)行對接，同時引出學(xué)生沒有學(xué)到的知識，即對于多的2 個應(yīng)該怎樣表示。此時教師引入“余數(shù)”的概念來表示，那么這個“2”應(yīng)該如何寫在算式當(dāng)中？對于學(xué)生來說，這是一個高于學(xué)生生活情境的內(nèi)容，需要動腦筋進(jìn)行思考，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入深度學(xué)習(xí)。

2.畫“草圖”：讓解題思路更簡便。

思維可視化，還有一種簡單的方式就是畫草圖。草圖，是一種簡潔而又直觀反映數(shù)學(xué)思維的方法，它可以將原本相對復(fù)雜的思維過程，簡單地表達(dá)出來，進(jìn)而幫助學(xué)生梳理出解決問題的思維過程，破解學(xué)生思維難點，讓解題思路更簡便。

例如有一道練習(xí)題：修路隊原計劃每天修路3 千米，5 天修完，實際上4 天就完成了任務(wù)，那么平均每天比原計劃多修了多少千米？我們平時在遇到這類題目時，通常采用這樣的解題思路：首先算出這條路的總工作量，然后再根據(jù)“工作效率=工作總量÷工作時間”這一關(guān)系來計算出實際每天的工作量，最后再用“實際每天的工作量-原計劃每天工作量”得出結(jié)果，這種常規(guī)的思路是正確的，但是這樣列式解答相對比較復(fù)雜，我們不妨引導(dǎo)學(xué)生采用畫草圖的方式來試一試。（見圖4）

圖4

3.建“導(dǎo)圖”：讓知識體系更完整。

數(shù)學(xué)知識一環(huán)套一環(huán)，它們形成了一個完整的知識體系，學(xué)生不斷從已有經(jīng)驗走向新知。由此可見，教師應(yīng)該有“瞻前顧后”的知識體系觀，啟發(fā)學(xué)生看到知識與知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，并通過建立思維導(dǎo)圖，建構(gòu)具有個性化特色的“數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)圖”。這種思維可視化的學(xué)習(xí)方法，無形之中引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會梳理知識，形成數(shù)學(xué)知識的思維網(wǎng)絡(luò)導(dǎo)圖，讓知識體系更完整。

如在教學(xué)“表內(nèi)除法”時，由于學(xué)生腦海中對除法的相關(guān)知識是散亂的，對除法的定義、名稱以及計算方法都不太清楚。此時，教師不必急著講授新知，而應(yīng)遵循數(shù)學(xué)知識體系，從舊知入手，引導(dǎo)學(xué)生自建思維導(dǎo)圖。學(xué)生通過回憶，將這些知識在思維導(dǎo)圖中一一列出，即使內(nèi)容不全，也可以相互提醒，互相協(xié)作，共同建構(gòu)完整的知識體系導(dǎo)圖。（見圖5）

圖5

針對那些還存在疑惑或?qū)W習(xí)困難的學(xué)生，教師則要從點到線，從線到面，一步步擴(kuò)散知識，將與除法有關(guān)內(nèi)容作一個大盤點。這樣一個建構(gòu)思維導(dǎo)圖的過程，實際上是從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”入手，將他們不斷向完整的知識體系方向引領(lǐng)。整個過程，學(xué)生探索熱情高漲，思維活躍，最終高效地完成了思維導(dǎo)圖，為數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)注入了活力。

4.列表格：讓數(shù)學(xué)思維更嚴(yán)謹(jǐn)。

表格是一種能夠?qū)⒅R進(jìn)行橫向、縱向?qū)Ρ鹊目梢暬瘜W(xué)習(xí)形式，也是學(xué)生參與數(shù)學(xué)思維可視化訓(xùn)練頗具難度的一個項目。在列舉表格的過程中，學(xué)生需要從知識的前后關(guān)聯(lián)，或者知識的發(fā)展軌跡來進(jìn)行填寫，這樣的訓(xùn)練過程，會讓學(xué)生的思維更加嚴(yán)謹(jǐn)。

比如數(shù)學(xué)的單位換算，不能僅限于對數(shù)學(xué)單位的認(rèn)識，還應(yīng)該學(xué)會進(jìn)行單位換算，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，也是構(gòu)建小學(xué)數(shù)學(xué)知識體系的一個橋梁。隨著年級遞增，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容不斷增加，要記住的數(shù)學(xué)公式也在增加。但是總有些學(xué)生對于數(shù)學(xué)中的單位換算掌握不牢，特別是有關(guān)長度和面積的計算，他們總是在解決問題的時候犯錯誤，對于單位的換算也頻頻出錯。幫學(xué)生理清知識體系，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式，我們可以將小學(xué)所學(xué)的單位換算整理成單位換算表（表略）。

學(xué)生在整理的過程中，發(fā)現(xiàn)長度單位在換算時，除了千米和米的進(jìn)率是1000，其余相鄰的兩個長度單位之間的進(jìn)率都是10；在面積單位中還可以引入“公畝”這一單位，計算面積時都是用兩個數(shù)量相乘，所以相鄰的兩個面積單位之間的進(jìn)率就是10×10=100；同理，相鄰的兩個體（容）積單位之間的進(jìn)率就是10×10×10=1000，這一系列做法，增強(qiáng)了知識結(jié)構(gòu)的完整性，讓數(shù)學(xué)思維更嚴(yán)謹(jǐn)。

綜上所述，思維可視化之“為何”，突出其存在的價值，“何為”則呈現(xiàn)了其在深度學(xué)習(xí)中的具體操作樣態(tài)。本文雖僅從思維可視化之“為何”與“何為”這兩個問題進(jìn)行探討，未免有失偏頗，但仍可以喚起大家對思維可視化教學(xué)的思考。特別是在具體教學(xué)實踐中，由于受學(xué)生的認(rèn)知差異、學(xué)習(xí)內(nèi)容的復(fù)雜程度等諸多因素影響，思維可視化的教學(xué)手段也需不斷調(diào)整，從而為學(xué)生的數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)注入活力。