構建多元表征 深挖筆算算理
——《筆算小數加法和減法》教學設計與說明

文|陸濤

【教學內容】

蘇教版五年級上冊第48、49 頁例1、“試一試”“練一練”。

【教學過程】

一、創設情境，初步發現

1.問題情境。

談話：（出示文具店情境圖）老師想去文具店買點文具。看圖，根據你看到的數學信息，來提一個數學問題。

（學生自由提問，組織全班交流）

提煉問題：（1）一本筆記本和一個講義夾一共多少元？（2）一本筆記本比一支水彩筆貴多少元？

揭題：今天這節課，我們一起來進一步研究小數的加減法。（板書：小數的加法和減法）

2.初步發現。

（學生獨立列豎式計算，全班交流）

預設學生計算方法：

提問：觀察兩種筆算過程，你認為哪種做法肯定是錯的？

明確：通過估計，第二種是對的，第一種的結果肯定是錯的，先估后算能快速檢驗計算是否正確。

追問：進一步觀察，左邊的筆算方法有什么問題？

明確：小數加法筆算時，豎式要小數點對齊，這樣相同數位對齊了，就可以計算了。（板書：相同數位對齊）

追問：為什么要把相同的數位對齊才能相加，其中的道理是什么？

引導：同學們都有感覺，但好像說不清，我們能不能結合具體的例子來講，可能更容易表達。

【說明：問題情境又叫問題表征，是人在頭腦中對問題信息進行記載、理解和表達的方式，創設合理的問題情境能激發學生的探究欲望。本環節從買文具的情境出發，引導學生經歷發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程，從直覺思維出發，自主嘗試，對比發現，初步感知小數加法的筆算方法，通過“為什么要把相同的數位對齊才能相加”的追問，引導學生進行更深入的思考，在交流和解釋的過程中，產生對小數加法算理的探索欲望?！?/p>

二、動手操作，發現算理

1.操作表征。

談話：老師給你們準備了三種學具，選擇一種學具，和一個同伴一起研究，組內交流你的發現。

（課件出示學具：人民幣、格子圖、計數器，如下圖）

預設學生的情況如下：

2.對比發現。

提問：三種工具的計算過程有什么相同的地方？

明確：人民幣、格子圖、計數器都是把相同的單位對齊加起來。所以相同的數位對齊，其實是為了把相同的計數單位對齊再相加。

小結：剛剛我們說不出來道理，但是通過操作，同學們都能表達一點想法，看來剛剛的操作是有價值的。

【說明：數學操作不僅是“動手做”，還包括“動腦想”“動嘴說”等活動，是一種具象認知。構建操作表征能讓經驗和思維連接，能讓知識和思維融合。為此筆者精心設計了三個操作過程，通過“人民幣”“格子圖”“計數器”的操作過程，經歷獨立思考、小組交流、全班交流的過程，在多重對比和交流中，發現“相同的數位對齊是為了相同的計數單位對齊”的筆算本質，在讓學生經歷為探索算理和算法的關系做鋪墊。】

三、交流討論，規范方法

1.討論想象。

引導：在加法豎式中怎么保證相同的計數單位對齊呢？

想象：屏幕出現一個加數，想象另一個加數的位置，并用不同的色塊表示不同的數位。（如下圖）

明確：小數點對齊，相同的數位就對齊了，相同的計數單位對齊就能相加了。

（屏幕演示筆算過程）

（學生獨立筆算3.4+6.28、4.33+2.98。屏幕校對筆算過程）

2.發現算法。

出示三道題的筆算過程：

提問：觀察三題的筆算過程，說說小數加法怎么計算？

明確：筆算小數加法時，先將小數點對齊，從低位算起，滿十進一，最后點上小數點。（板書：小數點對齊，低位算起，滿十進一，點上小數點）

3.對比遷移。

追問：觀察小數加法的筆算方法，想想小數減法的筆算方法是怎么樣的？

（學生獨立嘗試計算4.75-3.4，并介紹計算過程）

出示4.75+3.4 和4.74-3.4 的筆算過程：

提問：對比兩題的筆算過程，如何筆算小數減法？

明確：小數減法的筆算方法和小數加法的筆算方法相同，也是將小數點對齊，從低位算起，退一當十，點上小數點。（板書：退一當十）

【說明：語言表征是人的記憶系統的存儲形式，主要體現在口頭表達、書面表達中，從操作表征向語言表征轉化是數學抽象的必經過程。本環節，筆者將操作過程向豎式計算轉化，引導學生經歷推理交流、獨立練習的過程，理解“小數點對齊”是為了把相同的計數單位對齊，通過對比理解小數加法筆算方法和算理的一致性，抽象并精致筆算方法，通過4.75+3.4 和4.75-3.4 筆算過程的對比，將小數加法的筆算方法遷移到了小數減法的筆算方法中?！?/p>

四、整體構建，發現聯系

1.前后聯系。

（出示整數的筆算方法）

提問：小數加減法和整數加減法有什么不同的地方？

（學生可能會發現形式上的不同，但本質是相同的）

昨晚妻子已向他提及這家新開的影樓。天下所有妻子都如她一般多疑嗎？還是他過于敏感？妻子問他，那家高美影樓的老板娘，你認識吧？

明確：小數加減法和整數加減法的筆算方法是相同的，都是相同數位對齊，低位算起，滿十進一（退一當十）。

2.古今聯系。

談話：其實1700年前，劉徽也經歷了我們的研究過程，他是用算籌擺的，看得懂嗎？

課件出示算籌的計算過程：

明確：算籌也是把相同的計數單位對齊了計算的。

小結：看來我們的研究和數學家不謀而合，是有價值的。

【說明：借助多元表征能幫助學生深入數學的本質，建立數學的知識結構，數學思維的核心特點是要加強橫向和縱向的聯系，本環節，筆者從筆算加減法的算法出發，不僅溝通整數加減法和小數加減法的橫向比較，理解加減筆算的本質，還進行了算籌計算和數的計算的縱向對比，突出數學計算的一般規律。】

五、游戲闖關，練習鞏固

1.想一想。

課件出示9.3+6.98，24+9.9 的橫式，想豎式怎么對齊。

明確：整數加小數時，要注意小數點在個位的后面，省略了。

過渡：闖過想象關，下面進入筆算關。

2.算一算。

7.56－4.564.75+2.65

7.38+2.62

（學生獨立筆算，展示學生的計算過程）

追問：計算小數加減法時要注意什么？

明確：計算小數加減法時，結果中小數末尾的0 要化簡；進位不要忘；整數部分的0 不能省略。

3.添一添。

談話：同學們輕松地闖過了筆算關，下面進入估算關，添運算符號和小數點，使豎式成立。

過渡：如果給你橫式，你能添加小數點，使算式符合要求嗎？

黑板貼出算式74+213，課件出示如下要求：

（1）使結果是20 多；

（2）使結果是70 多；

（3）使結果是90 多。

出示添了小數點后的三個算式：

追問：觀察這三個算式，有什么相同點和不同點？

明確：小數點的位置改變，小數的大小也改變了。

小結：小數點位置不同就會直接影響計算的結果，我們在計算中可不能忽視小數點。

【說明：PISA 2021 數學測評框架強調要重視數學推理和數學建模的考查，多元表征是數學建模和推理的載體。本環節，筆者從引導學生在現實情境中主動解決問題出發，創造性地挖掘教材，通過智力闖關的游戲情境，設計了“想一想”“算一算”“添一添”三個不同層次的練習，由淺入深，不僅鞏固了算法，明確了注意點，而且進一步為培養數學的推理能力打下扎實的基礎?！?/p>

六、全課總結，提升認識

1.談收獲。

談話：這節課有什么收獲？

2.促提升。

引導：你們關注到了所學的知識和方法，但更重要的是我們一起經歷了發現學習的過程。

全課總結：小數加減法并不難，這節課我們通過經歷發現問題、提出問題、研究問題、解決問題的過程，去發現算法背后的本質，發現前后知識之間的聯系，刨根問底，只有掌握數學學習的方法，才能真正地學會學習。