一個(gè)幾何問題的代數(shù)思考

馬紀(jì)英 賈慧羨 姜文鵬

摘要：文章以一道幾何問題的三種解題思路為依托，融合正弦定理、塞瓦定理、三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等幾何、代數(shù)、微積分內(nèi)容為一體，反對(duì)解題思路的割裂，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的關(guān)聯(lián)性，為數(shù)學(xué)的綜合應(yīng)用提供思路。

關(guān)鍵詞：正弦定理;導(dǎo)數(shù)應(yīng)用;塞瓦定理;融合

中圖分類號(hào)：O13文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Algebraicthinkingofageometricproblem

MaJiyingJiaHuixianJiangWenpeng

ShijiazhuangPostsandTelecommunicationsTechnicalCollegeHebeiShijiazhuang050021

Abstract：Basedonthreesolutionstoageometricproblem，thispaperintegratesthegeometry，algebraandcalculuscontentssuchassinetheorem，Ceva'sTheorem，trigonometricfunctionandderivativeapplication，opposestheseparationofsolutions，embodiestherelevanceofmathematics，andprovidesideasforthecomprehensiveapplicationofmathematics.

Keywords：sinetheorem;derivativeapplication;Ceva'sTheorem;fusion

在我們的學(xué)習(xí)過程中，無論是中學(xué)生還是大學(xué)生，一般幾何相對(duì)來說是一個(gè)稍顯封閉的學(xué)科。在初高中的平面幾何、立體幾何中，幾何問題是采用獨(dú)特的幾何證明方法或計(jì)算方法自行內(nèi)部解決的;在高中和大學(xué)的平面解析幾何和立體解析幾何中，幾何問題開始與函數(shù)進(jìn)行了結(jié)合，開始使用函數(shù)的形式或向量運(yùn)算的形式表示直線、平面以及他們的關(guān)系或者一些具體的運(yùn)算，更進(jìn)一步是正弦定理、余弦定理或者行列式的表示和引入，總體來說，幾何問題在我們觸及的學(xué)習(xí)過程中與強(qiáng)大的微積分工具結(jié)合不是很深入。

文章引入的是一道直觀的幾何問題，但又不是純粹的幾何問題，也不是單純的解析幾何問題，解題過程中不同程度地涉及代數(shù)計(jì)算、函數(shù)推導(dǎo)、三角公式、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等多方面內(nèi)容，適用于多個(gè)數(shù)學(xué)分支的綜合應(yīng)用。

1問題描述

如圖1，三角形ΔABC，D為ΔABC內(nèi)一點(diǎn)，連接DA、DB、DC，已知∠DBA=30°、∠DBC=40°、∠DCA=50°、∠DCB=20°。問∠DAC=？

2解法一（正弦定理+解析計(jì)算）

正弦定理是三角學(xué)的一個(gè)基本定理，在三角形的代數(shù)運(yùn)算中具有非常廣泛的應(yīng)用，它的描述是：在任意一個(gè)平面三角形中，各角的正弦值和它所對(duì)應(yīng)的邊的比值是相等的，并且它的倒數(shù)等于外接圓的直徑。也就是：

asinA=bsinB=csinC=2r=d

正弦定理最早可以追溯到13世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家、天文學(xué)家納綏爾丁和15世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家雷格蒙塔努斯的“同徑法”，也就是將三角形內(nèi)角的正弦作為同半徑圓的正弦線，再使用三角形的相似性質(zhì)計(jì)算出兩個(gè)正弦值之比和角的對(duì)邊之比相等。17到18世紀(jì)，我國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家梅文鼎和英國數(shù)學(xué)家辛普森又分別獨(dú)立對(duì)“同徑法”進(jìn)行了簡(jiǎn)化。19世紀(jì)，英國數(shù)學(xué)家伍德豪斯把半徑選取為1，把正弦線發(fā)展為比值的三角函數(shù)，最后得到了今天普遍采用的正弦定理表達(dá)式。

如圖2，令∠ADC=α，則∠ADB=360°-α-（180°-40°-20°）=240°-α，并且α∈（90°，130°）;又有∠ABC=∠ACB=70°，則ΔABC為等腰三角形，設(shè)AB=AC=a，AD=b。

在ΔACD內(nèi)使用正弦定理，有：

asinα=bsin50°（1）

在ΔABD內(nèi)使用正弦定理，有：

asin（240°-α）=bsin30°（2）

由（2）式得：

b=12asin（240°-α）

代入（1）式有：

asinα=12asin（240°-α）sin50°

整理有：

12sinα=sin（240°-α）sin50°（3）

=sin240°cosαsin50°-cos240°sinαsin50°

=-32cosαsin50°+12sinαsin50°

于是：

（12-12sin50°）sinα=-32sin50°cosα

tanα=-32sin50°12-12sin50°

計(jì)算，由：

sin50°≈0.766

可得：

tanα≈-5.6697

即：

α≈-79.99727°+180°k

k為整數(shù)。

從而α≈100.00273°，可以估算為α=100°。

代入（3）式中驗(yàn)證：

右邊=sin（240°-100°）sin50°

=12（cos90°-cos190°）=-12cos190°