基于一道物理競賽題海市蜃樓現象演示及理論分析

潘 剛 方 蓮 陳文娟

（合肥工業大學基礎部，安徽 合肥 242000）

1 引例問題

在參考文獻[1]中有這樣一道中學物理競賽考題：

問題.已知飛機場跑道上空空氣的折射率隨高度變化的規律是n=n0（12+αy），其中α=1.5×10-6，n0是地面處空氣的折射率，某人站在機場跑道上看遠處，他的眼睛距離地面的高度是h=1.7 m，求他能看到跑道的長度.

這道題目顯然是一個變折射率光學問題.觀察空氣折射率隨高度變化的關系式可知，空氣越往上折射率越大，根據折射定律（圖1），光線水平入射必向上彎曲射入人眼.那么逆著光線看，光線水平入射的點是此人能觀察到的最遠的點.所以需要關注光線的彎曲情況，建立光線滿足的微分方程.這是本考題的核心和關鍵點.

光學中可以由費馬原理導出折射定律

圖1 折射定律

式中角度θ為光線方向與法線的夾角.

用微元法考察曲線（圖2）則有

圖2 利用微元方法考察曲線

圖3 光線方程滿足的守恒量

聯立（2）、（3）兩式得到

方程（4）便是光線的微分方程表達式.代入求解

因為α=1.5×10-6?1，略去α的高次項得到

分離變量法得到

代初值條件y（0）=0得到

這就是求出的光線方程表達式f（x），當y=1.7時算得x=1505.55，這就是人站在跑道上能看到的最遠距離.

基金項目：本文系安徽省省級線上教學優秀課堂大學物理項目（項目編號：2020xskt388）階段研究成果之一.

通過引例問題可以看出，本題中給出了折射率梯度，要求計算光線方程并分析一些問題.那么對于要研究的海市蜃樓問題，可以采用類似的方法.不過這個問題中折射率梯度具體是什么，還需要結合其他的物理知識進行計算.

2 實驗設計及理論計算

2.1 海市蜃樓模擬裝置介紹

現實大氣環境中的那樣，制造出一個有折射率梯度的氣體流體，則無論是構造壓強梯度還是溫度梯度都是十分困難的.而由于光線在具有折射率梯度的液體流體中傳播時也會發生彎曲現象，所以可以利用液體來實現海市蜃樓現象的模擬.圖4，圖5是筆者根據參考文獻[2-7]提供的思路搭建的實驗室條件下模擬海市蜃樓的裝置，該裝置可以在3 min以內模擬出海市蜃樓現象，非常適用于物理課程教學時的實驗演示.

圖4 海市蜃樓現象演示器材（實物圖）

圖5 海市蜃樓現象演示器材（結構圖）

實驗前需要在配液桶1中裝有足夠的清水，觀景槽7和混合槽3里都裝上濃度為M，體積為V的飽和食鹽水.實驗開始時，打開抽水泵和可調速閥門，通過保持混合槽滿水使淡水注入的流量等于混合槽鹽水流出的流量Q，混合槽內的溶液體積將保持為V不變，而溶液濃度卻隨時間改變.對于食鹽水來說，濃度變化就決定著折射率的變化.變化濃度的食鹽水從混合槽3流入注液浮槽6中，表現為注液浮槽6中不同高度的鹽水層有不同的濃度，這就形成了折射率梯度.這樣把物體放在后面就可以觀察到光線彎曲所形成的像.

關于折射率梯度的計算方法，可以認為在注入液體的過程中，溶液不發生擴散.但在實際操作過程中溶液具有均一性，最后的濃度分布必將趨于一致.因此實驗中要注意演示用的溶液需現用現配，更不要在實驗中大幅度的晃動溶液.

如果已知裝置的技術參數，可以計算光線的彎曲偏移量.裝置的主要技術參數如表1.

表1 裝置的主要技術參數

常溫下食鹽的溶解度為36 g，則飽和食鹽水的質量分數為

至于食鹽水濃度與折射率的關系，可以通過實驗進行測定.測量液體折射率的方法多種多樣，也可以引用參考文獻[8]的測量數據（見表2）進行擬合.

表2 食鹽水濃度與折射率關系測定（原始數據）

用Excel線性擬合表達式為

圖像如圖6所示.

圖6 食鹽水折射率與濃度的Excel擬合圖

2.2 海市蜃樓現象定量計算

首先來觀察單束光線的偏移，通過計算濃度變化得到折射率分布，再用前面的方法計算光線方程得到偏移量.設食鹽水濃度ω%，則有微分方程

積分并代入有關參數得到（初始飽和食鹽水質量分數ω0%=26.47%）

對于注液浮槽6，有注入鹽水的高度

利用（5）式反解出t，并聯立（10）、（12）式得到鹽水折射率隨高度h的變化

為了簡化計算，這里利用e指數函數的一階展開式ex≈1+x把（14）式改成線性變化的，這樣就可以直接套用前面引例問題的結論.

線性變化的介質光線彎曲呈一條拋物線，它的光線方程前已計算為（8）式，這里，光線沿注水浮槽長邊入射，x=33.6 cm.數值計算得到

與實驗多次測量的平均值Δy0=-5.58 cm基本吻合.圖7實驗裝置中光線的彎曲情況.

圖7 對水平入射光線的偏移量觀察

圖8-11是海市蜃樓現象的演示照片.明顯可見，裝置演示了上現蜃景，呈現正立的像，所成像比原物體略暗.

圖8 原物體

圖9 實驗開始前加遮擋板

圖10 配液過程（已加遮擋板8）

圖11 實驗結束后觀察到的上現蜃景

3 總結與展望

海市蜃樓現象是一個變折射率光學問題.本文首先建立折射率隨高度變化模型，然后建立光線的微分方程（4）式模型，并給出一組具體數值進行討論.在實驗中，筆者設計了一套模擬海市蜃樓現象的裝置.這套裝置可以在3 min內演示出海市蜃樓現象，極大提高了演示的效率.所觀察到的光線彎曲現象也與理論計算值相吻合.總的來說，筆者所建立的物理模型是比較通俗易懂的，微分方程（4）式始終貫穿于全文，對于折射率僅在一個方向上變化的介質可以很好的應用.設計的實驗裝置也能驗證理論模型的思想.但是，對于真實大氣環境的模擬以及下現蜃景的模擬還存在技術上的難關，這可以作為下一步的研究方向.