指向數學素養的高質量智能學習成效測試

鄭大明 趙洪艷

[摘 要]在學業測試題中設置講述題，是落實指向數學素養的學習成效測試的一項關鍵措施。目的一，用數學眼光閱讀數學教材，即引導教師關注教材、引導學生閱讀教材、引導師生理解教材;目的二，用數學語言表達學習成果，即學會說明教材內容、學會說明數學知識、學會說明自己的想法。這樣的測試，不僅關注學生掌握的基本知識與基本技能，而且關注學生對數學知識本質的理解、對數學認知結構的構建以及對數學知識與數學思維形成過程的數學化表達，都是指向學生數學思維素養的培育。

[關鍵詞]數學素養;學業質量;教材閱讀;語言表達;命題測試

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）29-0011-04

教育評價具有導向、激勵、調節和監督等功能，利用評價變革推進課堂變革的發生，已經成為國家助推課程改革的關鍵性舉措。

《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱“《標準》”）指出：教學評價要以數學學科核心素養的達成作為評價的基本要素。評價要關注學生數學知識技能的掌握，還要關注學生的學習態度、方法和習慣，更要關注學生數學學科素養水平的達成……數學學科核心素養是學生具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現，是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展的。

在小學階段，學生的數學素養主要是指“兩大能力”和“六個意識”，即抽象能力（包括數感、量感、形感）、運算能力以及符號意識、推理意識、模型意識、數據意識、應用意識和創新意識。

在進行以“三課四學”為基礎的高質量智能學習研究中，我們把培養“人格力、學習力、創造力”作為育人的最高目標，把指向數學素養的學習測試，作為考查學生學習效果的關鍵性變革，把從2012年就開始研究與設計的 “講述題” 題型置于學生數學素養培育和學業質量監測的重要位置：一是用數學眼光閱讀數學教材，即引導教師關注教材、引導學生閱讀教材、引導師生理解教材;二是用數學語言表達學習成果，即學會說明教材內容、學會說明數學知識、學會說明自己的想法。

一、測試閱讀與表達素養：從關注“教書”到關注“讀書”

不少教師上數學課都不喜歡指導學生閱讀教材，只是在布置作業的時候才讓學生找找練習題在第幾頁。直接原因就是，擔心學生提前看了教材，預先知道了答案，那么教師只要一提問，學生馬上就能說出結果，教師自然無法繼續講課。

針對這種情況，我們專門設置一種測試題，促使學生解讀教材上的原題、原圖，促使教師把自己“教望天書”改成讓學生“讀數學書”。一開始很多教師和家長都抵觸這樣的考查模式，他們認為：首先，教材上的內容那么多，復習時抓不準要考哪道例題或哪個圖;其次，答案不唯一，如果學生亂說，教師就會打分評價困難。但經過一段時間后，大家發現這樣的考查模式對學生的閱讀能力、質疑能力和表達能力的提高很有幫助。

【樣題1】講述教材原圖

例如“雞的只數=鴨的只數×4”，畫圖為：? ? ? ? [ ][ ][雞][鴨][鴨][鴨][鴨]

像上面的例子那樣，寫出兩個量的等量關系后，再畫出來。（畫出正確的三個圖即得滿分）

1.設計意圖

（1）引導學生用直觀的方式說明圖中蘊含的數量關系;

（2）了解教師平時是否讓學生鉆研教材中的插圖;

（3）仿照給出的例子說明數量關系的方式，能避免學生亂說。

2.基本數據

[樣本數據 應得分 實得均分 得分率 8262份 5分 3.92分 78% ]

3.典型案例與分析

第一類：明確理解題意，圖式對應完整。

第二類：等量關系體現充分，圖示情況多樣。

第三類：圖與式綜合表達清楚，兩個等量關系明確。

4.試題評析

本題考查的學生的數學素養，包含了《標準》里面提到的“三會”，學生既要用“數學眼光”讀圖，弄懂例題和插圖的意思，又要用“數學思維”研究數量關系，還要用“數學語言”即符號、圖示、文字等表達自己的認識和理解。同時，此題還能幫助學生通過幾何直觀和數學建模來對插圖中的等量關系進行理解性說明。

當然，也有不少學生不明確題意，答題時弄成雞、鴨的等量關系或者圖示，或者自己另編一套等量關系。

二、測試運算與思維素養：從關注“外顯”到關注“內涵”

過去，很多教師是把數學運算作為學生應該掌握的一項基本技能，將正確、迅速作為基本要求。最新修訂的《標準》指出：運算能力的基本表現是能夠明確運算的對象，理解算法與算理之間的關系;能夠理解運算的問題，選擇合理簡潔的運算策略解決問題;能夠通過運算促進數學推理能力的發展，形成規范化思考問題的品質，養成一絲不茍、嚴謹求實的科學態度。

因此，我們在考查學生對基本知識和基本技能的理解和掌握的程度時，把學生對數學運算的本質內涵、意義價值的深刻理解和靈活應用放在重要位置，把對學生推理意識和思維品質的考查作為重要測試目標，實現將“外顯”的公共知識結構向“內隱”的個體認知結構轉變。

【樣題2】講述對計算的理解

看圖后想辦法講明白 0.3×0.2 為什么等于 0.06？積為什么會比兩個乘數小？把你的想法寫出來或畫出來。（選自《龍泉驛區2016—2017學年度下期末六年級數學學業質量監測題》）

1.設計意圖

（1）用不同的方式表示小數乘法的意義;

（2）解釋小數乘積的意義;

（3）說明積與乘數之間的變化關系。

2.基本數據

[樣本數據 應得分 實得均分 得分率 8407份 3分 1.73分 58% ]

3.典型案例與分析

學生基本正確的解答可以分為三類：

第一類：結合圖示，從算式的意義方面來說明0.3 的十分之二（五分之一）是多少或 0.2 的十分之三是多少，或模糊地解釋為“ 0.3 個 0.2或者0.2 個 0.3”。

第二類：結合圖示，從算式的計算規律方面來說明一個不為0的數乘一個小于1的數（純小數、真分數），積比這個乘數小。

第三類：單純從算式的圖示方面來說明，包括線段圖、方格圖。

4.試題評析

本題所考查的學生數學素養，表面上看，是運算能力中的對運算意義的理解，但實際上關注的是學生運用幾何直觀和模型意識表達數學理解，著眼于推理意識和思維品質的考查。在小學階段，計算教學不能只著眼于會算與算對，更要重視學生的學習與思考過程。這樣的測試既能引起教師重視數學理解與數學表達，又能幫助學生通過幾何直觀思維和數學建模類比來對算式的意義與算理進行理解性說明。

同時，學生要學會數學地表達，就要學會用文字、圖形、符號等規范的數學語言來表達認知過程和思考過程，從本質上闡述自己對數學知識的理解。

雖然看起來測試題的得分率不高，學生不能運用類比推理來說明30×20、3×2、0.3×0.2之間的聯系。這恰好說明很多數學基本知識、基本思想方法等沒有真正落實，基本數學素養的培育不到位。這就為改進教學提供了真實的依據。

三、測試系統化與結構化素養：從關注“獨立”到關注“聯系”

“數學理解的發展意味著，學生頭腦中建構更加豐富、更加具有整合性的知識結構，這種整合的知識結構使得學生的數學理解更富有生成性。”聯系是數學理解的本質，是對知識的系統化與結構化理解的著眼點。學生需要在知識的關系脈絡中把握相關知識的本質與內涵，找到知識之間內在邏輯關系和發展變化的規律，形成結構化認知。

數學教材通常是安排學生分單元、分小節地學習某些知識，有時為了突出“螺旋上升”編寫原則，還故意把稍微大一些的單元拆分成幾段來編寫。這樣難免出現肢解知識和碎片化學習的現象。因此，為了凸顯《標準》修訂意見中對數學知識教學的“整體性、層次性、系統性、一致性”的要求，我們在測試中做了如下嘗試。

【樣題3】講述知識的內在聯系

淘氣說：在用豎式計算 123×45 時，用到了乘法分配律。你同意這個說法嗎？請你結合這個豎式說說自己的想法。

1.設計意圖

（1）考查學生對乘法分配律的理解;

（2）考查學生對三位數乘兩位數豎式計算算理的理解;

（3）考查師生對知識、技能與數學規律之間內在聯系的認識。

2.基本數據

3.典型案例與分析

從答題情況來看，該生從豎式計算的每一步的意義出發，清晰地解釋用豎式計算123×45時，就是將45分為40和5，然后再分別乘123，也就是計算5個123與40個123的和。這一解讀，符合乘法分配律的特征。可見，學生能把豎式每一步的意思與乘法分配律的結構、意義聯結在一起，在數學深層知識內容的意義表征中，尋找知識之間的聯系，不斷豐富對豎式計算的本質意義以及乘法分配律的理解。

4.試題評析

本題考查的數學素養主要是運算能力。在教學乘法豎式計算時，教師應加強學生對意義和算理的理解，同時重視知識之間的整合與關聯，溝通知識之間的聯系，以結構化的視角審視知識之間的聯系。

四、測試抽象與建模素養：從關注“結果”到關注“過程”

《標準》指出，評價既要關注學生學習的結果，也要重視學習的過程。設計講述題時就要直面知識的產生與發展，關注學生的數學觀察、思考與操作過程，考查學生觀察事物的程序與方法，考查學生數學思維的方向和路徑，引導教師在日常教學中重視學生的數學知識與數學思維品質的形成過程。

【樣題4】講述知識的發生過程

笑笑和淘氣用透明的塑料片制作了兩個無蓋長方體的容器，并在里面放了一些小正方體（如下圖）。說說笑笑和淘氣做的長方體容器的容積各是多少毫升？

1.設計意圖

（1）考查教師是否重視組織體驗與操作活動;

（2）考查學生的空間觀念、模型意識與推理意識;

（3）考查學生對容積意義的理解和計算建模的知覺程度。

2.基本數據

3.典型案例

笑笑做的長方體容器，是以1立方厘米的小正方體作為度量標準來度量長方體容器的容積。度量出容器的長、寬、高分別是8厘米、5厘米和3厘米，用乘法就可以知道容積是120立方厘米。因為1立方厘米就是1毫升，所以容器的容積是120毫升。

淘氣做的長方體容器，是以8立方厘米的小正方體作為度量標準來度量長方體容器的容積。它的長是4個2厘米，寬是3個2厘米，高也是3個2厘米。先算出長、寬、高，就可以知道容器的容積是8×6×6=288（立方厘米）。因為1立方厘米就是1毫升，所以容器的容積是288毫升。

4.試題評析

學生在學習長方體的體積時，記住的往往是形式化、結論性的公式，而缺乏對公式的本質意義的理解。

長方體體積的度量意義，就是看長方體當中包含的體積單位的個數。長方體體積公式的本質就是基于體積的度量意義，它一方面表達了度量的結果，即長方體的體積就是長方體中包含的體積單位的個數（體積單位的個數=每行個數×每層行數×層數），另一方面體現了度量知識的發生過程，即每行個數與長方體的長、每層行數與長方體的寬、層數與長方體的高都存在著與度量標準物體的“邊長”數的“一一對應”的關系。這樣，長方體的體積等于“長×寬×高”才有依據。因此，本題將考查的焦點落在體積測量轉化為長度測量的躍進過程，旨在溝通三維測量與一維測量之間的聯系。兩道題目的層次化的呈現，將學生用“邊長1厘米”的立方體測量的經驗遷移到用“邊長2厘米”的立方體進行測量，測試后得分率的差異就十分明顯。這能直接反映學生對長方體體積公式的度量本質認識的程度，考查了學生對公式形成的發展性理解，避免了學生對長方體容器的容積計算的公式化、機械化套用。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.01.

[2] 鄭大明.我要做數學大人：3C知識形成漫談[J].教育科學論壇，2014（12）.

[3] 王宜琴.小學數學課外拓展題設計“四要”[J].小學教學研究（教學版），2018（12）.

（責編 金 鈴）