三“試”三“生”顯圖像

潘智

[摘 要]正比例圖像是學生必須在小學六年級掌握的，且與初中數學相銜接的知識點。部分教師對這個內容的教學僅僅停留在讓學生知道“正比例圖像是一條直線”即可。文章透過一次優質課評比試教的準備過程，發現學生對圖像理解的誤區，并通過分析錯誤原因，讓學生完成對正比例圖像由“線段”到“射線”，再到“直線”的認知糾正，從靜止走向運動，從離散走向連續，從運算走向關聯。

[關鍵詞]正比例圖像;統計圖;直線

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）29-0020-03

區級優質課評比進入第二輪——課堂教學比賽，課題是小學階段最后學習的“正比例圖像”。通過對教材的初步分析，筆者確定了本課的教學目標：讓學生初步認識正比例圖像，能畫出相應的圖像，能借助正比例圖像解決簡單的實際問題。

一、描生圖像，事與愿違

在簡單準備之后，開始了第一次試教。筆者先出示教材例1的數據，讓學生回憶判斷“路程”和“時間”成正比例關系;再呈現方格圖，并介紹橫軸和縱軸;接著和學生一起描點、連點，向學生講解正比例圖像是一條直線;最后根據圖像判斷汽車2.5小時行駛多少千米，行駛440千米需要多少小時。整個教學過程一氣呵成，課堂氣氛融洽，學生回答準確無誤。學生獨立嘗試“練一練”時，筆者發現大部分學生繪制的正比例圖像都有問題：有的學生畫成了一條線段（如圖1），有的學生將每兩個點分別相連（如圖2），有的學生畫成了條形統計圖（如圖3）。為什么學生到了獨立繪制圖像時卻不得要領呢？課后，筆者選取10位學生進行了一一調查。

原來學生中有用畫統計圖的方法去畫正比例圖像的，這充分說明，通過一節課的學習，學生并沒有掌握正比例圖像的本質，反而混淆了正比例圖像與統計圖的知識。

二、衍生枝節，歸因反省

時間緊迫，筆者針對問題加以調整，隔天就進行了第二次試教。教學例1時，筆者仍然先讓學生回憶判斷兩個量成正比例關系、呈現方格圖、介紹橫軸和縱軸，接著讓學生描點。此時，筆者沒有急于讓學生將描出的點連成線，而是啟發學生繼續思考：如果汽車行駛9小時，行駛了多少千米？你覺得可以用圖4中的哪個點來表示呢？

生1：應該不是C點和D點，不管時間和路程成不成正比例，路程都會隨著時間的增加而增加，所以路程不會仍是560千米或比560千米少。

生2：1小時行駛80千米，9小時比7小時多2小時，就多了兩個80千米，560+80×2=720（千米），是A點。

生3：我也同意A點，因為用B點的640除以9，除不盡，和前面的點不成直線。

通過對四個點的選擇和交流辨析，學生已經將注意力由畫圖轉移到關注兩個量之間的關系上，而這也是理解正比例圖像的關鍵所在。

師：如果汽車行駛10小時、11小時，能找到對應的點嗎？假設繼續行駛下去，這樣的點會有多少個？

生（齊）：無數個……

師：請動手將這些點用線連起來，完成正比例圖像。

這次畫圖只用了1分鐘，然而展示反饋的結果仍不盡人意：絕大部分學生只是將幾個點連成一條線段，只有少數學生將所畫的線的一端進行了延長，但沒有人將線延長到坐標原點。為了完成試教流程，筆者只得直接指出問題，讓學生修改圖像后，便匆匆進入鞏固練習環節。

練習：小玲用計算機打字的數量和所用的時間如下表。

（1）小玲打字的數量和所用的時間成正比例關系嗎？為什么？

（2）先在下圖中描出打字數量和時間所對應的點，再按順序連一連。

學生解第（1）小題時很順利，可是在第（2）小題的繪圖中，有三分之一的學生將正比例圖像變樣了（如圖5）。

怎么會出現圖像拐彎的情況呢？筆者改編練習時，特意將“時間10分鐘、數量500個”去掉，其本意是讓學生在繪圖后體會“前后兩點之間還有無數個點”的情況，但學生卻將第12分鐘的點直接畫在了第10分鐘上。筆者陷入了沉思：學生明明說出會有無數個點，為什么還是只繪制了正比例圖像的局部？最令人不解的是，居然沒有學生想到正比例圖像可以向“0”方向延伸！

帶著這些疑惑，筆者再次與學生、教師交流，思路逐漸被打開，對學生出錯原因有了新的認識。首先，學生的這些錯誤絕不是偶然發生的，它真實地反映出學生理解正比例圖像時所遇到的困難。正比例圖像本質是一種關系，而學生仍停留在對數量理解的基礎上。其次，在學生眼中，正比例圖像依然只有單個的點，線只是連接兩點的輔助，并沒有“連續”“無數”的體驗。這些關鍵概念的理解對于尚處于形象思維向抽象思維過渡階段的小學生來說，難度不言而喻。

三、重生本質，深入淺出

第三次試教開始了，筆者先播放一則廣告，通過對其中相關量的描述，將學生的注意力集中于“關系”上。課前給小組分發不同的情境數據表格，有的兩個量成正比例關系，有的兩個量不成正比例，并組織學生開展研學活動：（1）判斷表中兩個量是否成正比例？為什么？（2）說說方格圖中橫軸和縱軸所表示的含義;（3）在方格圖上分別描出相應的點，再將各點連接起來。

展示匯報時，筆者請學生先將繪制的圖進行分類，學生很自然地分成了兩類：一類圖像不是直的線，兩個量不成正比例;另一類是成正比例關系的圖像，但是畫得基本都不完整。此時，筆者并沒有直接指出問題所在，而是追問：“你們覺得正比例圖像是怎樣的呢？”不出所料，學生異口同聲說是一條線段。筆者板書“線段”。

隨后，筆者選擇“小玲用計算機打字的數量和所用的時間”這組數據，在表格中插入一列空白列，并呈現思考題：如果打字時間是3分鐘，打字數量是150個，你能在這條“線段”上找到這個點嗎？如果數量不是150個，這個點還會在“線段”上嗎？

一陣短暫沉默后，學生準確找到了“線段”上的點，并加以解釋。接著，筆者再次在表格中插入一列空白列，這次是在第一組數據之前。

師：這里可能會出現怎樣的數據呢？

生1：這條線段可以向兩邊延伸。

生2：是的，可以有無數個點，不僅線段上有無數個點，兩邊也有無數個點。

生3：只要符合這個正比例關系的點都會在這條線段上。

師：看來同學們又有了新發現，那么這條線段可以延伸到哪兒呢？

生4：向左可以到0的位置，向右可以無限延長。

（教師出示調整后的表格）

師：現在圖像上有需要改動的部分嗎？

生5：正比例圖像不是線段，應該是一條射線，在這條線上有無數個點，每個點表示的兩個量都成正比例關系。

將“線段”替換為“射線”，說明學生的認知被打開，體會到正比例圖像的“無數”“延伸”等本質屬性。此時，筆者不急于進一步延伸圖像，而是通過練習鞏固，強化學生對正比例圖像的理解，直到最后才呈現有關水庫的情境（如圖6），引導學生感受水位下降時正比例圖像發生的變化，最終將“射線”完善為“直線”。至此，三“試”三“生”終于顯露出真正的正比例圖像——一條由無數個點組成的直線。

一次賽課、兩次反思、三次試教，給筆者帶了許多新的思考。

1.線段——知識生長的基礎

數學教學應該建立在學生的認知發展水平和已有的經驗基礎上。在教學“正比例圖像”過程中，其所要求的函數思維方式與學生現有的思維水平是有差距的，這是生成圖像的主要障礙。如，所有表格呈現的第一組數據均不是0，以學生的認知基礎自然認為不從0開始描點。又如，小學階段所呈現的正比例關系 [yx]=k（一定）中，x的確不能為0。統計圖相關知識的負遷移同樣是造成錯誤的重要原因。統計圖與正比例圖像所提供的方格圖十分相似，都有橫軸、縱軸，繪制過程也都是先描點再連線。學生在沒有領會圖像本質的情況下，將畫折線統計圖的經驗復制到正比例圖像中，實在無可厚非。

2.射線——思維延伸的方向

思維能力的發展應該貫穿于整個數學學習過程中。教材中正比例圖像的呈現是靜止的，但其本質是運動的、變化的;繪制的圖像看似是完整的，可它仍是局部的、可延伸的。圖像需要延伸，學生的思維更應該在學習活動中不斷延伸。借助表格的插入、數據的采集，讓學生對正比例圖像的理解由幾個點變成多個點，再擴展為無數個點，最終形成一條線。由“線段”到“射線”的轉變，其實就是學生心中正比例圖像從靜止走向運動，從離散走向連續、從運算走向關聯的過程。思維的延伸還應體現在數形結合之中。“線段”向“射線”的變化過程不僅是圖形的變化，還是數的變化。抽象的數據需要借助具體圖像來展現，直觀的圖像同樣需要豐富的數據來支撐。在正比例圖像的形成過程中，學生能感受數與點的一一對應及連續性，把握數量間的變化規律，在運動與變化中概括、提煉和歸納并形成正確的表象，在數學語言與圖表語言之間靈活轉換，初步體會函數思想。

3.直線——經驗積累的成功

從“線段”一端延伸成“射線”，再向另一端延伸發展為“直線”，這是學生的學習認知過程，也是學生理解函數思想的體驗歷程。函數是研究現實世界變量之間關系的一個重要模型，一直是中學數學學習的一個重要內容。而國際數學課程發展的趨勢表明，對變量之間關系的探索可以從小學階段開始。學生在教師創設的情境與活動經歷中，感受到生活中存在著許多變量，體會到這些變量之間存在一定的關系，不僅積累經驗，還與已有的經驗進行比較，形成正確的認識，體會正比例圖像和統計圖的區別：折線統計圖中的每一個統計數據是獨立的，描出的點是離散的，而正比例圖像中的量是變化的、連續的，點有無數個，也是連續的;折線統計圖描述的是數據的變化及趨勢，無須和原點相連，而正比例圖像體現的是兩個量之間相互依存的關系，是若干個點的集合，自然也包含（0，0）;折線統計圖是根據實際情況進行的數據描述，呈現的數據是有限的、靜止的，而正比例圖像所包含的數據是無限的、運動的;折線統計圖是對“數量”的描述，而正比例圖像是對“關系”的探討。這些經驗的習得是有趣的、豐富的、自然的、水到渠成的，當然也是成功的！

（責編 李琪琦）