三“試”三“生”顯圖像

潘智

[摘 要]正比例圖像是學(xué)生必須在小學(xué)六年級(jí)掌握的，且與初中數(shù)學(xué)相銜接的知識(shí)點(diǎn)。部分教師對(duì)這個(gè)內(nèi)容的教學(xué)僅僅停留在讓學(xué)生知道“正比例圖像是一條直線”即可。文章透過一次優(yōu)質(zhì)課評(píng)比試教的準(zhǔn)備過程，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)圖像理解的誤區(qū)，并通過分析錯(cuò)誤原因，讓學(xué)生完成對(duì)正比例圖像由“線段”到“射線”，再到“直線”的認(rèn)知糾正，從靜止走向運(yùn)動(dòng)，從離散走向連續(xù)，從運(yùn)算走向關(guān)聯(lián)。

[關(guān)鍵詞]正比例圖像;統(tǒng)計(jì)圖;直線

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）29-0020-03

區(qū)級(jí)優(yōu)質(zhì)課評(píng)比進(jìn)入第二輪——課堂教學(xué)比賽，課題是小學(xué)階段最后學(xué)習(xí)的“正比例圖像”。通過對(duì)教材的初步分析，筆者確定了本課的教學(xué)目標(biāo)：讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)正比例圖像，能畫出相應(yīng)的圖像，能借助正比例圖像解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。

一、描生圖像，事與愿違

在簡(jiǎn)單準(zhǔn)備之后，開始了第一次試教。筆者先出示教材例1的數(shù)據(jù)，讓學(xué)生回憶判斷“路程”和“時(shí)間”成正比例關(guān)系;再呈現(xiàn)方格圖，并介紹橫軸和縱軸;接著和學(xué)生一起描點(diǎn)、連點(diǎn)，向?qū)W生講解正比例圖像是一條直線;最后根據(jù)圖像判斷汽車2.5小時(shí)行駛多少千米，行駛440千米需要多少小時(shí)。整個(gè)教學(xué)過程一氣呵成，課堂氣氛融洽，學(xué)生回答準(zhǔn)確無(wú)誤。學(xué)生獨(dú)立嘗試“練一練”時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生繪制的正比例圖像都有問題：有的學(xué)生畫成了一條線段（如圖1），有的學(xué)生將每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)分別相連（如圖2），有的學(xué)生畫成了條形統(tǒng)計(jì)圖（如圖3）。為什么學(xué)生到了獨(dú)立繪制圖像時(shí)卻不得要領(lǐng)呢？課后，筆者選取10位學(xué)生進(jìn)行了一一調(diào)查。

原來(lái)學(xué)生中有用畫統(tǒng)計(jì)圖的方法去畫正比例圖像的，這充分說明，通過一節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生并沒有掌握正比例圖像的本質(zhì)，反而混淆了正比例圖像與統(tǒng)計(jì)圖的知識(shí)。

二、衍生枝節(jié)，歸因反省

時(shí)間緊迫，筆者針對(duì)問題加以調(diào)整，隔天就進(jìn)行了第二次試教。教學(xué)例1時(shí)，筆者仍然先讓學(xué)生回憶判斷兩個(gè)量成正比例關(guān)系、呈現(xiàn)方格圖、介紹橫軸和縱軸，接著讓學(xué)生描點(diǎn)。此時(shí)，筆者沒有急于讓學(xué)生將描出的點(diǎn)連成線，而是啟發(fā)學(xué)生繼續(xù)思考：如果汽車行駛9小時(shí)，行駛了多少千米？你覺得可以用圖4中的哪個(gè)點(diǎn)來(lái)表示呢？

生1：應(yīng)該不是C點(diǎn)和D點(diǎn)，不管時(shí)間和路程成不成正比例，路程都會(huì)隨著時(shí)間的增加而增加，所以路程不會(huì)仍是560千米或比560千米少。

生2：1小時(shí)行駛80千米，9小時(shí)比7小時(shí)多2小時(shí)，就多了兩個(gè)80千米，560+80×2=720（千米），是A點(diǎn)。

生3：我也同意A點(diǎn)，因?yàn)橛肂點(diǎn)的640除以9，除不盡，和前面的點(diǎn)不成直線。

通過對(duì)四個(gè)點(diǎn)的選擇和交流辨析，學(xué)生已經(jīng)將注意力由畫圖轉(zhuǎn)移到關(guān)注兩個(gè)量之間的關(guān)系上，而這也是理解正比例圖像的關(guān)鍵所在。

師：如果汽車行駛10小時(shí)、11小時(shí)，能找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)嗎？假設(shè)繼續(xù)行駛下去，這樣的點(diǎn)會(huì)有多少個(gè)？

生（齊）：無(wú)數(shù)個(gè)……

師：請(qǐng)動(dòng)手將這些點(diǎn)用線連起來(lái)，完成正比例圖像。

這次畫圖只用了1分鐘，然而展示反饋的結(jié)果仍不盡人意：絕大部分學(xué)生只是將幾個(gè)點(diǎn)連成一條線段，只有少數(shù)學(xué)生將所畫的線的一端進(jìn)行了延長(zhǎng)，但沒有人將線延長(zhǎng)到坐標(biāo)原點(diǎn)。為了完成試教流程，筆者只得直接指出問題，讓學(xué)生修改圖像后，便匆匆進(jìn)入鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)。

練習(xí)：小玲用計(jì)算機(jī)打字的數(shù)量和所用的時(shí)間如下表。

（1）小玲打字的數(shù)量和所用的時(shí)間成正比例關(guān)系嗎？為什么？

（2）先在下圖中描出打字?jǐn)?shù)量和時(shí)間所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，再按順序連一連。

學(xué)生解第（1）小題時(shí)很順利，可是在第（2）小題的繪圖中，有三分之一的學(xué)生將正比例圖像變樣了（如圖5）。

怎么會(huì)出現(xiàn)圖像拐彎的情況呢？筆者改編練習(xí)時(shí)，特意將“時(shí)間10分鐘、數(shù)量500個(gè)”去掉，其本意是讓學(xué)生在繪圖后體會(huì)“前后兩點(diǎn)之間還有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)”的情況，但學(xué)生卻將第12分鐘的點(diǎn)直接畫在了第10分鐘上。筆者陷入了沉思：學(xué)生明明說出會(huì)有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，為什么還是只繪制了正比例圖像的局部？最令人不解的是，居然沒有學(xué)生想到正比例圖像可以向“0”方向延伸！

帶著這些疑惑，筆者再次與學(xué)生、教師交流，思路逐漸被打開，對(duì)學(xué)生出錯(cuò)原因有了新的認(rèn)識(shí)。首先，學(xué)生的這些錯(cuò)誤絕不是偶然發(fā)生的，它真實(shí)地反映出學(xué)生理解正比例圖像時(shí)所遇到的困難。正比例圖像本質(zhì)是一種關(guān)系，而學(xué)生仍停留在對(duì)數(shù)量理解的基礎(chǔ)上。其次，在學(xué)生眼中，正比例圖像依然只有單個(gè)的點(diǎn)，線只是連接兩點(diǎn)的輔助，并沒有“連續(xù)”“無(wú)數(shù)”的體驗(yàn)。這些關(guān)鍵概念的理解對(duì)于尚處于形象思維向抽象思維過渡階段的小學(xué)生來(lái)說，難度不言而喻。

三、重生本質(zhì)，深入淺出

第三次試教開始了，筆者先播放一則廣告，通過對(duì)其中相關(guān)量的描述，將學(xué)生的注意力集中于“關(guān)系”上。課前給小組分發(fā)不同的情境數(shù)據(jù)表格，有的兩個(gè)量成正比例關(guān)系，有的兩個(gè)量不成正比例，并組織學(xué)生開展研學(xué)活動(dòng)：（1）判斷表中兩個(gè)量是否成正比例？為什么？（2）說說方格圖中橫軸和縱軸所表示的含義;（3）在方格圖上分別描出相應(yīng)的點(diǎn)，再將各點(diǎn)連接起來(lái)。

展示匯報(bào)時(shí)，筆者請(qǐng)學(xué)生先將繪制的圖進(jìn)行分類，學(xué)生很自然地分成了兩類：一類圖像不是直的線，兩個(gè)量不成正比例;另一類是成正比例關(guān)系的圖像，但是畫得基本都不完整。此時(shí)，筆者并沒有直接指出問題所在，而是追問：“你們覺得正比例圖像是怎樣的呢？”不出所料，學(xué)生異口同聲說是一條線段。筆者板書“線段”。

隨后，筆者選擇“小玲用計(jì)算機(jī)打字的數(shù)量和所用的時(shí)間”這組數(shù)據(jù)，在表格中插入一列空白列，并呈現(xiàn)思考題：如果打字時(shí)間是3分鐘，打字?jǐn)?shù)量是150個(gè)，你能在這條“線段”上找到這個(gè)點(diǎn)嗎？如果數(shù)量不是150個(gè)，這個(gè)點(diǎn)還會(huì)在“線段”上嗎？

一陣短暫沉默后，學(xué)生準(zhǔn)確找到了“線段”上的點(diǎn)，并加以解釋。接著，筆者再次在表格中插入一列空白列，這次是在第一組數(shù)據(jù)之前。

師：這里可能會(huì)出現(xiàn)怎樣的數(shù)據(jù)呢？

生1：這條線段可以向兩邊延伸。

生2：是的，可以有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，不僅線段上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，兩邊也有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)。

生3：只要符合這個(gè)正比例關(guān)系的點(diǎn)都會(huì)在這條線段上。

師：看來(lái)同學(xué)們又有了新發(fā)現(xiàn)，那么這條線段可以延伸到哪兒呢？

生4：向左可以到0的位置，向右可以無(wú)限延長(zhǎng)。

（教師出示調(diào)整后的表格）

師：現(xiàn)在圖像上有需要改動(dòng)的部分嗎？

生5：正比例圖像不是線段，應(yīng)該是一條射線，在這條線上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)表示的兩個(gè)量都成正比例關(guān)系。

將“線段”替換為“射線”，說明學(xué)生的認(rèn)知被打開，體會(huì)到正比例圖像的“無(wú)數(shù)”“延伸”等本質(zhì)屬性。此時(shí)，筆者不急于進(jìn)一步延伸圖像，而是通過練習(xí)鞏固，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)正比例圖像的理解，直到最后才呈現(xiàn)有關(guān)水庫(kù)的情境（如圖6），引導(dǎo)學(xué)生感受水位下降時(shí)正比例圖像發(fā)生的變化，最終將“射線”完善為“直線”。至此，三“試”三“生”終于顯露出真正的正比例圖像——一條由無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的直線。

一次賽課、兩次反思、三次試教，給筆者帶了許多新的思考。

1.線段——知識(shí)生長(zhǎng)的基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上。在教學(xué)“正比例圖像”過程中，其所要求的函數(shù)思維方式與學(xué)生現(xiàn)有的思維水平是有差距的，這是生成圖像的主要障礙。如，所有表格呈現(xiàn)的第一組數(shù)據(jù)均不是0，以學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)自然認(rèn)為不從0開始描點(diǎn)。又如，小學(xué)階段所呈現(xiàn)的正比例關(guān)系 [yx]=k（一定）中，x的確不能為0。統(tǒng)計(jì)圖相關(guān)知識(shí)的負(fù)遷移同樣是造成錯(cuò)誤的重要原因。統(tǒng)計(jì)圖與正比例圖像所提供的方格圖十分相似，都有橫軸、縱軸，繪制過程也都是先描點(diǎn)再連線。學(xué)生在沒有領(lǐng)會(huì)圖像本質(zhì)的情況下，將畫折線統(tǒng)計(jì)圖的經(jīng)驗(yàn)復(fù)制到正比例圖像中，實(shí)在無(wú)可厚非。

2.射線——思維延伸的方向

思維能力的發(fā)展應(yīng)該貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。教材中正比例圖像的呈現(xiàn)是靜止的，但其本質(zhì)是運(yùn)動(dòng)的、變化的;繪制的圖像看似是完整的，可它仍是局部的、可延伸的。圖像需要延伸，學(xué)生的思維更應(yīng)該在學(xué)習(xí)活動(dòng)中不斷延伸。借助表格的插入、數(shù)據(jù)的采集，讓學(xué)生對(duì)正比例圖像的理解由幾個(gè)點(diǎn)變成多個(gè)點(diǎn)，再擴(kuò)展為無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，最終形成一條線。由“線段”到“射線”的轉(zhuǎn)變，其實(shí)就是學(xué)生心中正比例圖像從靜止走向運(yùn)動(dòng)，從離散走向連續(xù)、從運(yùn)算走向關(guān)聯(lián)的過程。思維的延伸還應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)形結(jié)合之中。“線段”向“射線”的變化過程不僅是圖形的變化，還是數(shù)的變化。抽象的數(shù)據(jù)需要借助具體圖像來(lái)展現(xiàn)，直觀的圖像同樣需要豐富的數(shù)據(jù)來(lái)支撐。在正比例圖像的形成過程中，學(xué)生能感受數(shù)與點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)及連續(xù)性，把握數(shù)量間的變化規(guī)律，在運(yùn)動(dòng)與變化中概括、提煉和歸納并形成正確的表象，在數(shù)學(xué)語(yǔ)言與圖表語(yǔ)言之間靈活轉(zhuǎn)換，初步體會(huì)函數(shù)思想。

3.直線——經(jīng)驗(yàn)積累的成功

從“線段”一端延伸成“射線”，再向另一端延伸發(fā)展為“直線”，這是學(xué)生的學(xué)習(xí)認(rèn)知過程，也是學(xué)生理解函數(shù)思想的體驗(yàn)歷程。函數(shù)是研究現(xiàn)實(shí)世界變量之間關(guān)系的一個(gè)重要模型，一直是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要內(nèi)容。而國(guó)際數(shù)學(xué)課程發(fā)展的趨勢(shì)表明，對(duì)變量之間關(guān)系的探索可以從小學(xué)階段開始。學(xué)生在教師創(chuàng)設(shè)的情境與活動(dòng)經(jīng)歷中，感受到生活中存在著許多變量，體會(huì)到這些變量之間存在一定的關(guān)系，不僅積累經(jīng)驗(yàn)，還與已有的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行比較，形成正確的認(rèn)識(shí)，體會(huì)正比例圖像和統(tǒng)計(jì)圖的區(qū)別：折線統(tǒng)計(jì)圖中的每一個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)是獨(dú)立的，描出的點(diǎn)是離散的，而正比例圖像中的量是變化的、連續(xù)的，點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)，也是連續(xù)的;折線統(tǒng)計(jì)圖描述的是數(shù)據(jù)的變化及趨勢(shì)，無(wú)須和原點(diǎn)相連，而正比例圖像體現(xiàn)的是兩個(gè)量之間相互依存的關(guān)系，是若干個(gè)點(diǎn)的集合，自然也包含（0，0）;折線統(tǒng)計(jì)圖是根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行的數(shù)據(jù)描述，呈現(xiàn)的數(shù)據(jù)是有限的、靜止的，而正比例圖像所包含的數(shù)據(jù)是無(wú)限的、運(yùn)動(dòng)的;折線統(tǒng)計(jì)圖是對(duì)“數(shù)量”的描述，而正比例圖像是對(duì)“關(guān)系”的探討。這些經(jīng)驗(yàn)的習(xí)得是有趣的、豐富的、自然的、水到渠成的，當(dāng)然也是成功的！

（責(zé)編 李琪琦）