改序 立型

童富清

[摘 要]教學的序，是在明確教材的序和學生認知的序的基礎(chǔ)上形成的教學之路。教師應該遵循教材知識的序，尊重學生認知的序，一步步幫助學生解決問題。文章通過分析“打電話”一課的教材內(nèi)容和學生的學情，重構(gòu)了教學的序，重新鋪就一條學生構(gòu)建知識、形成能力的教學路徑，為建立數(shù)學模型，提升數(shù)學學科素養(yǎng)鋪就扎實的“明理”之路。

[關(guān)鍵詞]學情分析;改序;立型

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）29-0025-03

一、學情分析

“優(yōu)化”是很重要的數(shù)學思想，人教版數(shù)學教材非常注重結(jié)合具體教學內(nèi)容進行“優(yōu)化”思想的滲透。四年級上冊“數(shù)學廣角——優(yōu)化”借助烙餅、沏茶等簡單事例，讓學生嘗試在多種方案中尋找最優(yōu)方案。五年級教材中“打電話”雖然隸屬“綜合與實踐”領(lǐng)域，但目的也是讓學生進一步體會“優(yōu)化”思想在生活中的應用。

那么，教材安排了怎樣的序呢？教材在呈現(xiàn)了打電話的問題情境后，讓學生探究交流、反饋，再發(fā)現(xiàn)規(guī)律、應用規(guī)律。筆者嘗試用教材教學的序——例題、預設(shè)以及教學參考書中提供的探究表格展開教學。

1.研讀教材的序，厘清教學邏輯的序

（1）材料呈現(xiàn)重學生的原認知。

教材呈現(xiàn)問題情境：一個合唱隊共有15人，暑假期間有一個緊急演出， 老師需要盡快通知到每一個隊員。如果用打電話的方式，每分鐘通知1人，請幫助老師設(shè)計一個打電話的方案。

以文字描述創(chuàng)設(shè)情境，引導學生用自己喜歡的方式記錄下來，這樣的材料呈現(xiàn)重視學生的原認知，有利于學生形成表征，進行探究。

（2）問題推進重數(shù)學方式表征。

在反饋時，教材又安排了用怎樣的序推進教學呢？首先反饋一個一個通知的方案（如圖1），然后反饋分組通知的方案（如圖2），最后反饋最優(yōu)的通知方案（如圖3）。

教材呈現(xiàn)了符號化表征，通過交流不同的記錄方式，有利于學生獲取數(shù)學表征的方法。

（3）規(guī)律探究重數(shù)學模型優(yōu)化。

在學生找到最優(yōu)通知方案后，教師引導學生通過觀察、交流，去發(fā)現(xiàn)這種方案中隱含的規(guī)律，并用表格的方式來表示發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。表格主要統(tǒng)計了三項內(nèi)容：第幾分鐘后新接到通知的隊員人數(shù)，第幾分鐘后所有接到通知的隊員和老師的總?cè)藬?shù)，第幾分鐘后所有接到通知的隊員總?cè)藬?shù)。這三項內(nèi)容呈現(xiàn)了解決問題過程中的幾個關(guān)鍵數(shù)據(jù)，如果學生能夠完成這個表格，數(shù)學模型的建立就變得簡單了。

2.剖析認知的序，厘清自主建構(gòu)方式

筆者嚴格按照教材和教師參考用書上的材料、教學之序進行教學，但是發(fā)現(xiàn)其與學生認知的序不相匹配，主要問題有三個。

（1）怎樣的素材呈現(xiàn)更有利于學生數(shù)學學習的發(fā)生？

打電話通知15人的數(shù)據(jù)太大，學生表征過程非常困難，即使能夠完成表征，也會因為圖示雜亂，影響了學生的觀察和思考。

比如，圖4的方案，這位學生顯然知道最優(yōu)方案是接到電話的每個人都不能空閑，可惜他的圖畫得不夠有序、清楚，導致有個別人空閑了;圖5的方案，這位學生能正確地表示出打電話的過程，但看上去仍舊比較亂。究其原因，是因為例題中的數(shù)據(jù)過大，影響了學生的表征過程。

（2）怎樣的問題推進更有利于學生數(shù)學經(jīng)驗的積累？

圍繞例題，學生一般都會得出如教材列舉的三種打電話的方案。從理論上說，選擇這三種方案的人數(shù)應該是從多到少的，因此教材也按照此序列進行反饋。但實際情況完全出乎預料，根據(jù)試教班級的統(tǒng)計（全班45人），結(jié)果如圖6。

學生已經(jīng)有了“優(yōu)化”的經(jīng)驗，全班只有1人用“逐個通知”方案，雖然還有很多學生不能找到“最優(yōu)通知”方案，但還是清楚接到電話后要馬上通知其他人。

（3）怎樣的模型構(gòu)建更有利于學生數(shù)學模型的優(yōu)化？

表格里的三項內(nèi)容呈現(xiàn)了幾個關(guān)鍵數(shù)據(jù)，但小學生思考問題的視角是比較單一的，他們擅長解決簡單、表述清楚的問題，三項復雜的統(tǒng)計直接讓探究后找規(guī)律的錯誤率上升到了60%左右（如圖7）。

筆者發(fā)現(xiàn)學生認知的序和教材的序兩者不相匹配，需要進行調(diào)整，學生模型的建立需要依賴符合認知規(guī)律的序。

二、設(shè)計思考

正是基于以上的學情分析，筆者認為有必要重新調(diào)整設(shè)計思路，改變教學的序，主要考慮以下三個方面。

1.讓數(shù)學學習真實、有效發(fā)生

教材的問題情境中，教師要通知15人，因為數(shù)據(jù)過大，對學生畫圖及嘗試不同的解決方案都有一定的困難。把要通知的學生人數(shù)改成7人，這樣一來，大部分學生都能正確、清楚地表示出打電話的過程。材料的選擇要有助于學生的表征順利展開，讓數(shù)學學習有效發(fā)生。

2.讓數(shù)學經(jīng)驗合理、合情發(fā)展

從統(tǒng)計結(jié)果看，選擇“逐個通知”方案的學生只有1人，更多的是選擇了“分組通知”與“最優(yōu)通知”方案?；趯W情，教師可以改變反饋的序，從反饋“最優(yōu)通知”方案入手，把最主要的方法在第一時間夯實，另外兩種方案在比較中帶過即可。學生已經(jīng)有了優(yōu)化的經(jīng)驗，改變了反饋的序，學生的數(shù)學經(jīng)驗就能合理、合情的發(fā)展。

3.讓數(shù)學模型適度、適時建立

既然表格中的三項內(nèi)容已經(jīng)影響到學生的觀察和歸納，筆者就試著精簡其中的內(nèi)容，改為“知道消息的總?cè)藬?shù)”一項內(nèi)容。簡化后的表格更有利于學生去探究規(guī)律、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，數(shù)學模型就能適度、適時地建立。

三、教學設(shè)計

1.呈現(xiàn)素材，多元探究

（1）學習材料：一個合唱隊共有7人，暑假期間有一個緊急演出，老師需要盡快通知到每一個隊員?，F(xiàn)在只能用打電話的方式，每分鐘通知1人，所有隊員接到通知至少需要幾分鐘？

（2）學生讀題。

（3）嘗試解答。

（4）整體反饋：教師課件展示“最優(yōu)通知”方案的思考過程（如圖8）。

（5）體會方法：“最優(yōu)通知”方案與“逐個通知”“分組通知”這兩種方案相比，為什么用時更少？

【設(shè)計意圖：改變教材預設(shè)的教序，從相互轉(zhuǎn)告的“最優(yōu)通知”到“逐個通知”“分組通知”，讓學生在列舉和比較多種方案中強化最優(yōu)的方案。】

2.啟發(fā)質(zhì)疑，引發(fā)思考

（1）啟發(fā)質(zhì)疑：剛才，同學們用畫圖的方法成功解決了一個打電話的問題，這樣的思考方式到底有什么價值呢？

（2）引發(fā)思考：如果需要通知的人數(shù)是8人、10人，甚至更多人時，你有什么想法？

（3）達成共識：在數(shù)學學習中，我們可以從一道題入手，猜想這一類題背后是否隱藏著一定的規(guī)律。

【設(shè)計意圖：通過一道題的研究，引導學生應用類似的方法去探究一類題背后隱藏的規(guī)律，在幫助學生解決一類問題的同時，使學生的思維走向深入?！?/p>

3.方法應用，提煉模型

（1）自主探究：如果要通知8人、9人或更多人時，至少需要幾分鐘？如果給你4分鐘、5分鐘或更多時間，最多可以通知幾人？

（2）整體反饋：把探究的結(jié)果整理成表格。

[第幾分鐘后 1 2 3 4 5 6 … n 知道消息的總?cè)藬?shù) 2 4 8 16 32 64 … 2n ]

（3）提煉模型：通過剛才的研究，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？1分鐘后，知道消息的總?cè)藬?shù)是2，只有1個2;2分鐘后，知道消息的總?cè)藬?shù)是2×2;3分鐘后，知道消息的總?cè)藬?shù)是2×2×2……n分鐘后，知道消息的總?cè)藬?shù)是n個2相乘，記作2的n次方。

（4）嘗試應用模型：根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，10分鐘最多可以通知多少人？我們班有50人，最少在幾分鐘里就能通知完全班同學？

【設(shè)計意圖：用表格的形式，讓學生觀察、分析，抓住內(nèi)在規(guī)律和本質(zhì)特點，建立數(shù)學模型，再利用算式、圖形進一步理解規(guī)律，最后嘗試用規(guī)律解決打電話的實際問題，進一步體會優(yōu)化思想，鞏固建模?！?/p>

4.應用模型，解決問題

練習1：1棵浮萍漂流到一個池塘里，1天后變成2棵，2天后變成4棵……40天后就長滿了整個池塘。5天后池塘里有幾棵浮萍？

練習2：有人說“將一張足夠大的紙連續(xù)對折30次，折出的紙的高度將超過珠穆朗瑪峰的海拔高度”，這是真的嗎？

【設(shè)計意圖：在練習中進一步運用規(guī)律解決生活中的實際問題，鞏固模型，培養(yǎng)學生的應用意識。】

5.比較異同，明晰主旨

這節(jié)課的教學內(nèi)容是打電話，為什么練習的習題卻是和打電話無關(guān)的問題？

【設(shè)計意圖：通過比較、溝通后，讓學生知道打電話不是一道題，而是一種解決問題的思路和方法，讓學生真正從解題的技能走向解題的模型。】

四、課后反思

通過“打電話”的“綜合與實踐”課，學生不但增長了知識，更學習了解決問題的方法。通過教學，筆者有如下三點思考。

1.“循”知識之序，螺旋上升

數(shù)學知識一般是由易到難，呈螺旋上升的。知識之間有橫向與縱向聯(lián)系，教師要讀懂聯(lián)系，從立體宏觀上看知識，厘清知識的序列，促進學生知識的建構(gòu)。

這節(jié)課從打電話盡快通知7人的最優(yōu)方案開始，激發(fā)了學生的探索欲望，讓學生在觀察、分析和歸納中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進而應用規(guī)律解決問題，最終促進學生知識的內(nèi)化。

2.“詢”認知之序，問題引領(lǐng)

奧蘇伯爾曾說：“教育心理學用一句話概括，就是知道兒童已經(jīng)知道了什么?！苯處熆梢酝ㄟ^前測、問卷或當堂詢問，明白學生“已知”的，提煉學生“未知、想知”的，再以大問題引領(lǐng)，層層探究剖析，建構(gòu)新知。

在學生讀懂題目意思，明白學習要求后，讓學生用自己喜歡的方式表示出來，不論是分組通知，還是最優(yōu)方案，鼓勵學生大膽地運用文字、符號、算式或圖示等不同的方式來表征自己的思維過程。在反饋的過程中，組織學生進行展示和交流：你是怎樣設(shè)計的？你們有沒有更好的建議？這些表示方式有什么不同？在交流的過程中逐步明晰最優(yōu)化的表示方式，幫助學生形成有序、全面思考問題的好習慣。

3.“尋”教學之序，深度學習

理想的課堂應是教材的序和學生認知的序相結(jié)合，進行統(tǒng)籌思考和預設(shè)，探尋正確的教學之序，將學習引向深度。

在解決“一個老師通知7個學生至少要幾分鐘”的問題后，教師引導學生將規(guī)律和方法內(nèi)化為活動經(jīng)驗，并按照“模式”重復運用這種經(jīng)驗，讓學生自己舉例“如果要通知8人、9人或更多人時，至少需要幾分鐘？如果給你4分鐘、5分鐘或更多時間，最多可以通知幾人？”在數(shù)據(jù)較大時，圖示法顯然不是最佳方案，這時就需要學生在理解規(guī)律的基礎(chǔ)上利用表格、算式或圖示來解決，促進學生思維向更高層次發(fā)展。

教師“教”的主旨是為了更好地促進學生的“學”，在以“學為中心”教學觀的指引下，以合理的學習之序為藍本，恰當?shù)亟M合相關(guān)的學習素材，方能演繹出精彩的課堂，提升學生的核心素養(yǎng)。

（責編 李琪琦）