到底該如何尋找排列規律

褚克艷

[摘 要]對于某些操作性強的知識，學生可以通過操作無師自通，教師的作用看似不大，殊不知，這正是教師轉換角色、轉變職能的時機。教師要深入辨析學生對某些知識是否已經徹底弄懂，從而適當點撥。

[關鍵詞]規律;排列;基本循環組

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）29-0035-02

在觀摩公開課“尋找排列規律”時，筆者發現一個有趣的現象：幾乎每位教師對這節課的教學都駕輕就熟，每位學生的表現也是可圈可點，學得非常透徹扎實。筆者曾大膽設想：這節課倘若教師“無為而治”，學生單憑自學能否發現其中的規律？對于一些簡單問題，學生能夠獨立解決嗎？由此，筆者進行了一次測試。測試使用的題目來源于課本中的“練一練”（如下所示）。測試時間限定為6分鐘，測試對象為五年級某班學生，學生當堂做完所有題目，筆者親自督考，待學生答題完畢后當場收卷。

根據一定的規律，推測出每組第32個圖案是什么，并填寫在題后的括號里。

結果令人喜出望外：全班44名學生中，共有38人做對了這3道測試題，約占全班人數的86.4%。而且他們采用的方法均是除法求余，先找出基礎循環組，數出其含有各種圖案的數量，然后用32除以這個基本組的圖形數量，所得余數是幾，就是基本循環組中的第幾個圖形。大家都很聰明，沒有費勁地去一個個畫圖。然而仍有6人做錯了，約占全班被測人數的13.6%。這6人其實只錯了一道題，其中3人列出了正確的算式，只是最后的計算結果出現錯誤，有1人則是粗心大意出錯，其余2人則是一竅不通，只是想當然地認為哪個圖形出現的次數多，要填的圖形就是哪個。整體來看，多數學生都能做到無師自通。

一、調低測試年級帶來的收獲

筆者再次大膽設想：如果將這些題拿來測試四年級的學生，又會是怎樣一番景象呢？于是，筆者用同一套試題來考查四年級學生，樣本容量為一個班，得出的結果與五年級的驚人的相似。筆者又想：如果用這套題來考查三年級學生，結果又會怎樣呢？于是，筆者再次在三年級測試同一套測評卷，得到如下結果：全班48名學生中，有37人做對，約占全班人數的77.1%。其中，采用除法求余算術方法的有29人，約占全班人數的60.4%;按照排列規則和次序，一個一個將32個圖案依次畫出的有8人，約占全班人數的16.7%。而做錯的有11人，約占全班人數的22.9%。其中，只做錯1題的有9人，約占全班人數的18.8%;做錯2題的有2人，約占全班人數的4.2%。在采用的解題策略上，有12人不約而同地采用了一一畫圖的方法，這樣做的人占到全班人數的25%，其中有5人做錯6題;采用除法求余法的有36人，占答題總人數的75%，其中有7人盡管列出了正確的算式，但卻功虧一簣，不知道余數對應基本循環組中的第幾個圖案。

二、調查結果引發的思考

對于“尋找排列規律”，四、五年級的學生在日常活動中接觸較多，他們積累了豐富的直接經驗和認知表象，如每天的作息時間表、每周的課表、列車時刻表等。加之在以前的一些學習中對找規律也有所涉獵，積累了一定的經驗，對找規律形成了自己的一套辦法，有了自己的心得和秘訣。因此，這些學生在“尋找規律”時，能夠眼疾手快地發現規律，并能準確無誤地運用規律。對于三年級學生來說，他們在找規律方面則稍欠火候，能力薄弱。一些學生模模糊糊感到有規律，但是很朦朧，也很迷糊，受年齡和經驗“拖后腿”，他們尚未找到簡明的解題之法，對除法的意義還是一知半解、似懂非懂，更遑論運用自如、融會貫通。不少三年級學生的思維還局限在形象思維層面，必須親眼看到才能得出答案，缺乏想象推理能力，無法抽象、整體、變化地看待問題，只能逐個推演出結果。因此，筆者認為在三年級編排“尋找排列規律”較為合適。如此安排可以把學生的生長點卡在最近發展區，趁機發展學生的推理想象力和抽象思維能力。因為三年級學生已學過除法的意義，對除法運算也能做到熟能生巧，算法和技巧都具備一定的根底，此時教學“尋找排列規律”正當時，不僅能幫助學生夯實除法的概念，還能讓學生初步嘗試數學建模的滋味，讓學生見識到數形結合的魅力。一個圖案排列問題完全轉化成算術計算問題，這個規律完全可以用數字代表，進而嘗試找規律。筆者還認為，“尋找排列規律”甚至可以提前至“植樹問題”前，因為“植樹問題”中蘊含的規律比“尋找排列規律”蘊含的規律更加復雜，更難以掌握。先教學“尋找排列規律”，不僅便于學生掌握用算術方法來推算和揭示圖形排列規律，而且能讓“植樹問題”中間隔數與植樹棵數的對應關系變得更加明朗，有利于學生在一一對應的基礎上推斷加1還是減1。

三、改進教學的幾個建議

1.要切實重視“找”的過程。要讓學生反復感受規律，揣摩其中規律。根據問卷調查反饋，一些學生根本沒有找到基本循環組，而是看題目中出現幾個圖案，就把它定為一個周期。例如，把題（1）中所展示的9個圖案定為一個基本循環組，把題（2）中所展示的8個圖案定為一個基本循環組……這警示教師：一定要讓學生實事求是地琢磨出其中的規律，準確無誤地找到基本循環組;要指導學生學會觀察和表達，反復比照和核對，精準鎖定基本循環組。教師還要學會變通處理，如在題（1）中的第9個圖形后添加1個“△”和1個“○”，讓學生重新尋找基本循環組，以訓練學生對規律變化的辨別力。

2.要及時滲透轉化思想。調查發現，一些學生執拗地堅持畫圖法，筆者認為這是轉化思想滲透不足所致。教師要創設有趣、具有挑戰性的情境，以激起學生的探究動機和熱情，促使學生多方尋找圖形排列中蘊含的規律。如上題可以設計這樣的問題：按照各組圖案的排列規律，分別畫出每組的第132、320個圖案。在學生犯難時，教師可以趁機引導學生進行轉化，將困難、生疏、棘手的問題轉化為容易、熟悉、順手的問題。這樣，學生就能感受到轉化法的巨大魅力，從而愿意學習和運用轉化思想去解決問題。

3.要發展學生的建模思想。根據測評結果可以看出，面對上述問題，有的學生深陷于畫圖法無法自拔，原地打轉;有的學生先畫圖，發現此路不通，于是改用除法求余法;有的學生一開始就用除法計算……對于這些生成性的教學資源，教師可以加以利用，集中展示評議，穩健有序地從復雜走向簡單、從具體走向抽象、從特殊走向一般，從圖示法到算術法，不斷突出數量關系的主導性，引導學生逐步建立一個除數為定值的除法求余數學模型，從而用余數來確定圖案的排列，把思考和推理升華到高級形態。

4.要讓學生體悟到一一對應思想。調查中還發現，一些學生雖然明知該用除法計算，也確實求出了余數，也隱隱約約感到余數與圖案順序有關，但就是卡在了最后一步：余數是數字，如何確定圖形形狀？這告訴教師學生還沒有察覺到“尋找排列規律”中蘊含的一一對應思想。教師應讓學生明白，尋找基本循環組至關重要，各個基本循環組里排序相同的圖案都一樣，它們依次不斷地重復出現。而余數正好指向基本循環組中的某個圖形。教師還可以將圖案的排列方向由橫向改為縱向。

如題（3）中的圖形改變擺放方向：

這樣，學生容易發現：除法運算的商表示整組數，余數是幾，就表示多出幾個圖案，其中最后一個圖案就是對應循環組的第幾個圖案，沒有余數就對應著最后一個循環組完結。

總之，查清學情，以學定教，是一條亙古不變的教育真理。

（責編 吳美玲）