挖掘數(shù)學模型 經(jīng)歷建模過程 感悟模型思想

張玉琴

[摘 要]模型思想的建立可以打通數(shù)學知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，培養(yǎng)學生的應用意識和解決問題的能力。小學數(shù)學課堂教學中建立模型思想，即應引導學生挖掘教材的數(shù)學模型，經(jīng)歷數(shù)學建模的基本過程，從而感悟數(shù)學模型的思想。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學模型;建模過程;模型思想

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）29-0047-02

課程標準指出：“模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑，這些內(nèi)容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數(shù)學的興趣和應用意識。”在小學數(shù)學教學中，模型思想的建立可以打通數(shù)學知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，培養(yǎng)學生的應用意識和解決問題的能力。筆者通過理論研究并結(jié)合自身的教學實踐，提出了建立模型思想的幾個基本策略，以拋磚引玉。

一、挖掘教學內(nèi)容中的數(shù)學模型

張奠宙先生曾說：“數(shù)學中各種基本概念和基本算法都可以叫作數(shù)學模型，加、減、乘、除都有各自的現(xiàn)實原型，其都是以各自相應的現(xiàn)實原型作為背景抽象出來的。”小學數(shù)學教材蘊藏著豐富的數(shù)學模型，充分挖掘這些數(shù)學模型，是有效滲透模型思想的前提。小學數(shù)學四大模塊中都有數(shù)學模型，這就要求教師要深度研究教材，努力挖掘教材中蘊含的數(shù)學模型，在教學中有意識地融入和滲透數(shù)學模型思想，激發(fā)學生的模型意識。

例如，在“數(shù)與代數(shù)”模塊，教師引導學生把“幾個幾相加”的算式寫成兩個數(shù)相乘的形式，使學生建立起乘法的模型;通過畫圖和舉例的方法引導學生建立起乘法結(jié)合律的數(shù)學模型：（a×b）×c=a×（b×c）。又如，在“幾何與圖形”模塊，引導學生利用“倍拼法”或“割補法”建立三角形面積模型S=（ah）÷2;引導學生利用轉(zhuǎn)化法把圓柱轉(zhuǎn)化成長方體，建構(gòu)起圓柱的體積模型，即V=S底×h。在“統(tǒng)計與概率”模塊，引導學生采用“移多補少法”或“先求和再平均法”建立起平均數(shù)的數(shù)學模型;在“實踐與應用”模塊，引導學生建立起烙餅、植樹、田忌賽馬、雞兔同籠、爬樓梯等問題的數(shù)學模型。

二、經(jīng)歷數(shù)學建模的基本過程

波利亞認為，學習任何知識的最佳途徑是通過自己的實踐活動去發(fā)現(xiàn) 。課程標準明確指出， 從學生已有經(jīng)驗出發(fā)， 讓學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象為數(shù)學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數(shù)學理解的同時， 在思維能力、 情感態(tài)度與價值觀等方面得到進步和發(fā)展。因此，要培養(yǎng)學生的模型意識，應使學生親身經(jīng)歷數(shù)學建模的基本過程。

現(xiàn)以“乘法分配律”進行簡述。

1.創(chuàng)設(shè)情境，感知模型

數(shù)學模型源于現(xiàn)實生活，與現(xiàn)實生活有著千絲萬縷的聯(lián)系。對于學生而言，當學習的材料來自現(xiàn)實生活時，才會充分激發(fā)學生的學習興趣 ;當數(shù)學和一些有趣的事情密切聯(lián)系時 ，數(shù)學才是富有生命力和吸引力的。因此，教師可結(jié)合教材知識，為學生呈現(xiàn)具體的、生動的、與現(xiàn)實生活聯(lián)系密切的情境，讓學生運用已有的經(jīng)驗初步感受生活中蘊含的數(shù)學問題，從而為學生將現(xiàn)實生活中的問題抽象成數(shù)學問題開辟道路。這樣，學生經(jīng)歷了將實際問題數(shù)學化的過程，感受到了數(shù)學所特有的生活化，為培養(yǎng)學生模型思想提供了平臺。

【教學片段1】

師：在一個長方形花圃（如圖1）里分別栽有郁金香和玫瑰花，那么這個花圃一共占地多少平方米？

生1：（36+24）×15=900（m2）。

生2：36×15+24×15=540+360=900（m2）。

師：如果要在這個長方形花圃的外圍圍上柵欄，柵欄至少需要多少米？

生1：只需要求出周長就可以了。花圃的長是36+24=60（m），寬是15 m，所以其周長是（60+15）×2=150（m）。

生2：60×2+15×2=120+30=150（m）。

師：通過上面的計算，我們得到等式（36+24）×15=

36×15+24×15和（60+15）×2=60×2+15×2。

“從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題”是數(shù)學建模的首要環(huán)節(jié)。教學中，教師借助生活情境，使學生從現(xiàn)實生活的角度思考問題，激活了學生的已有經(jīng)驗。學生通過計算和分析，初步感知了數(shù)學模型。

2.抽象概括，構(gòu)建模型

構(gòu)建模型是一個循序漸進、由淺入深的過程，如果僅僅憑借得出的兩個等式就對乘法分配律的數(shù)學模型進行概括，未免過于“單薄”，進而也會影響學生對該模型的深度認知。這就需要教師為學生提供更加豐富的學習材料，為學生從知識表象中抽象出本質(zhì)規(guī)律“造勢”。在這個過程中，教師要充分激發(fā)學生原有的生活經(jīng)驗和調(diào)動學生的知識儲備，讓學生經(jīng)歷猜測、驗證的推理過程，引導學生主動對學習材料進行歸納和運用，從而讓學生體驗現(xiàn)實問題數(shù)學化、數(shù)學問題模型化的完整過程。

【教學片段2】

師：請觀察這兩組等式，說一說你有什么發(fā)現(xiàn)。

（36+24）×15=36×15+24×15

（60+15）×2=60×2+15×2

生1：左邊是先算和，再算積，右邊是先算出積，再把這兩個積加起來。

生2：左右兩邊最后一個數(shù)字都是一樣的。

師：你還能再舉出一些這樣的例子嗎？

生3：（4+6）×12=4×12+6×12。

生4：（10+5）×7=10×7+5×7。

……

生1：這樣的例子有很多，永遠也舉不完。

師：這是我們已經(jīng)學過的14×12的點子圖，你能看懂嗎？

生5：把12分成10和2，即14×12=14×（10+2）=14×10+14×2。

生6：原來運用點子圖也可以證明這種運算方法的正確性。

師：你能概括出這種式子的特點嗎？

生7：一個數(shù)加上另一個數(shù)的和乘以一個數(shù)等于一個數(shù)乘這個數(shù)，加上第二個數(shù)乘這個數(shù)。

師：你還能再舉出一些這樣的例子嗎？

生8：一個轉(zhuǎn)筆刀2元，一個文具盒5元，淘氣買了轉(zhuǎn)筆刀和文具盒各3個，那么淘氣一共需要付多少錢？這道題既可以先算出一個轉(zhuǎn)筆刀和一個文具盒一共多少錢，再乘它們的個數(shù)，列式為（2+5）×3=21（元），也可以先算出買轉(zhuǎn)筆刀花了多少錢，再算出買文具盒花了多少錢，然后把二者加起來，列式為2×3+5×3=21（元）。因此可以得出（2+5）×3=2×3+5×3。

師：請用自己喜歡的方式表達乘法分配律。

生9：（A+B）×C=A×C+B×C。

生10：（甲+乙）×丙=甲×丙+乙×丙。

生11：（△+□）×☆=△×☆+□×☆。

上述教學中，學生通過觀察和分析，形成對乘法分配律模型的初步認識，教師再通過圖形表征、語言表征、符號表征等形式使學生逐漸加深對乘法分配律的認知，使學生在自我否定和不斷補充完善中抽象出數(shù)學模型，親身經(jīng)歷建構(gòu)模型的過程。

三、感悟模型思想

課程標準明確指出： “數(shù)學思想蘊含在數(shù)學知識形成、 發(fā)展和應用的過程中， 是數(shù)學知識和方法在更高層次上的抽象與概括， 如抽象、 分類、歸納、 演繹、 模型等。學生在積極參與教學活動的過程中， 通過獨立思考、 合作交流， 逐步感悟數(shù)學思想。”然而，數(shù)學思想比數(shù)學知識要抽象得多，數(shù)學思想不能照搬、不能復制，只能依靠學生通過親身體驗去感悟，模型思想亦是如此。盡管模型思想具有“只可意會，不可言傳”的特質(zhì)，但是模型思想并非難以捉摸。學生感悟模型思想具體可從以下兩個方面著手：一是在學習知識的過程中親身體驗模型建立的完整過程，并在這個過程中感悟模型思想;二是多分析、多思考，在應用中進一步深化模型思想，提升自身運用數(shù)學知識解決問題的能力。

例如，在構(gòu)建“植樹問題”的數(shù)學模型后，教師安排了“模型應用，解決問題”的環(huán)節(jié)：學校召開運動會，在筆直的跑道一旁插彩旗。跑道的長度是100米，每隔2米插一面彩旗（兩端都要插），一共需要多少面彩旗？此外，教師進一步引導學生聯(lián)系現(xiàn)實生活，尋找生活中的“植樹問題”，從而進一步加深學生對“植樹問題”數(shù)學模型的認識。

通過應用模型解決現(xiàn)實問題，引導學生主動將生活中的實例與“植樹問題”相聯(lián)系，既使學生驗證了模型的正確性，也使學生的數(shù)學思維得以升華和發(fā)展，使學生意識到“植樹問題”數(shù)學模型并非單一用于解決“植樹問題”，它可以解決生活中的很多問題，由此使學生的模型思想逐漸變得“豐滿”起來。

總之，在小學數(shù)學教學中，教師要合理設(shè)計數(shù)學活動，注重滲透數(shù)學模型思想，使學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型并進行解釋與應用的過程，激發(fā)學生研究數(shù)學建模的興趣，提升學生數(shù)學建模的能力，使學生逐漸養(yǎng)成應用數(shù)學模型分析問題和解決問題的意識和能力，使數(shù)學學習真正成為積淀素養(yǎng)的過程。

（責編 黃春香）