從數量關系入手，巧解倍數、分數應用題

邢明明

[摘 要]機械地套用“萬能公式”來解應用題無異于飲鴆止渴，那些根據漢語語法習慣提煉的數學公式，徒有其表，或許一時管用，一旦數量關系發生變化，就會黯然失色，毫無用處。因此，只有從數量關系上著手，才能找到統領各種應用題的鎖鏈。

[關鍵詞]倍數;分數;應用題;萬能公式

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）29-0094-02

讀完《中小學數學》中刊載的一篇論文《我的“萬能公式”》（登載于該刊2014年12期）后，筆者不禁掩卷而思，對作者的見解欽佩之余，也有自己的一些感觸和不同看法。依筆者多年的教學實踐經驗來看，肖老師的“萬能公式”確實能在短期內提升學生在某一知識區塊的答題得分（特別是針對低年級的倍數問題更是藥到病除），不僅如此，還能大幅提高課堂教學效率。許多同行也用過這種“偏方”，收到一些好的反響和令人滿意的結果，但是到了高年級，該方法的弊端和危害開始顯露，讓人苦不堪言、悔不當初。倍數問題中已經深入人心的技巧——“知較小數求較大數用乘法計算，知較大數求較小數用除法計算”，到分數領域就不再靈驗，學生用這個技巧做題屢屢犯錯。

后來我校低、中、高年級教研組改弦易轍、另起爐灶，統一認識，從“分析數量關系”著眼，借助畫線段圖、摘抄關鍵條件等，助攻學生透視題意，徹底肅清“萬能公式”不良影響。筆者發現這樣做反而讓學生對知識掌握得更牢固，理解得更精深，學生不僅對低年級所學的整倍數應用題的理解更上一層樓，解決高年級的分數應用題時也是手到擒來。筆者反思上述現象，查找原因如下。

一、“萬能公式”有利有弊

還是以肖老師的例子來解析：1.A國有4架F-35隱形戰斗機，B國F-35隱形戰斗機的數量是A國的2倍，B國有多少架F-35隱形戰斗機？2.A國有4架F-35隱形戰斗機，是B國F-35隱形戰斗機數量的2倍，B國有多少架F-35隱形戰斗機？

肖老師對這類整倍數問題的解法做了總結，即“知較小數求較大數用乘法計算，知較大數求較小數用除法計算”，并進一步概括出“求‘是字前面的數量用乘法，求‘是字后面的數量用除法”。應用現成的公式，學生審題時就會將精力用在甄選公式上，用最省事的辦法解決問題，這無疑削弱了學生對數量關系的理解，學生的理解力和分析力就得不到應有的鍛煉，對于將來繼續學習分數應用題也極為不利。再者，這種機械的斷句拆字規律到了分數應用題就會失效。

例如，解分數應用題“某國進口300噸原油，使用了[13]，還剩下多少噸原油？”學生如果認為300噸量較大，余下的石油的量肯定偏小，就用“知較大數求較小數用除法計算”來列式求解，這就大錯特錯了，分析數量關系，列出的正確算式應是“300×（1- [13]）”，這與前面的規律不相符。

又如，解分數應用題“市政部門計劃增建一條地鐵線，已經修了[45]，還剩6千米沒修，這條地鐵線全長多少米？”。全長無疑是較大數，剩下的6千米必然是較小數，學生如果用“知較小數求較大數用乘法計算”這個技巧去解答，無疑又會出錯，正確算式是“6÷（1- [45]）”。

以上兩例告訴我們，以數的大小來選擇列式方法，對低年級的倍數問題確實有效，學生在做題時屢試不爽，到了高年級卻頻頻受挫，還會產生負遷移，從低年級的無往不利到高年級的無可奈何，學生漸漸地就會陷入困頓。套用所謂的“萬能公式”，只不過是玩弄技巧，雖然短時間內可以取得好的卷面成績，但是，卻阻礙了學生思維的健康發展，讓學生學會投機取巧，弊大于利。

二、抓住單位“1”才能融會貫通

要讓學生把知識掌握牢靠，唯有追求根本，在分析數量關系上下功夫，現以倍數、分數應用題進行對照辨析。分數應用題是從倍數應用題演化而來的，換言之，倍數應用題是分數應用題的前身和靈魂，所以打通倍數、分數應用題的壁壘，構建通用解題結構模型，學生學起來才會輕松，應用時才能舉一反三、一通百通。

1.從“求甲數是乙數的幾倍”擴展到“求甲數是乙數的幾分之幾”

這兩個問題可以歸為一類，數量關系的對應方式一樣，只是從“整數倍”拓展到“分數倍”，倍數既可以是整數也可以是分數?！皫妆丁迸c“幾分之幾”的說法不一樣，但是本質都是表示一個數與另一個數的倍率關系，學生掌握了比較的方法，問題就變得簡單了。乙是參照量，甲是相對量，用“甲數÷乙數”得出的都是比較后的倍率，只不過結果小于1（甲小于乙），就說幾分之幾，大于1（乙小于甲）就說幾倍，換湯不換藥。

2.從“求某數的幾倍是多少”擴展到“求某數的幾分之幾是多少”“求比某數多（或少）幾分之幾的數是多少”

上述問題同樣屬于一類，用倍數來表述，就是“求幾個幾是多少”，用分數來表述，先要將參考量視為單位“1”，再來求這個單位“1”的幾分之幾的對應量是多少。這類問題一律可以運用乘法的基本意義來解答。

例如，對問題“超市進貨200千克冷鮮肉，當天賣出[15]，當天賣出了多少千克？”，教師可引導學生抓住關鍵詞“賣出”，讓學生明白是賣出200千克的[15]。這里是將200千克的冷鮮肉總量視為單位“1”，根據分數乘法的意義，列式“200×[15]”。

又如，對問題“某煤礦4月份采煤60噸，5月份采煤量比4月份增長[16]，5月份采煤多少噸？”，同樣可以抓住關鍵句“5月份采煤量比4月份增長[16]”，讓學生明白是在4月份的基礎上增長，將4月份采煤量看作單位“1”，5月份的采煤量就是在此基礎上多出它的[16]，列式為“60×（1+ [16]）”。可以看出，條件雖然變得復雜了，但數量關系依然清晰。

三、找準對應分率才能逆向思考

倍數應用題與分數應用題可以統一簡略地理解為“把某數平均分成幾份，求一份，用除法計算”。“已知某數的幾分之幾是多少，求某數”與“已知比某數多（少）幾分之幾的數是多少，求某數”問題，采取除法解題，注意找準已知量，并精準確定其“對應的分率”。

例如，對問題“國內某著名手機代工廠今年接收手機芯片加工訂單720萬份，比去年增加了，去年接收訂單多少萬份？”。此題中，“比去年增加了”可以轉化為“是去年的（1+ ）倍”，即“720萬份是去年的（1+ ）倍，求去年接收訂單多少萬份”。

由此例可知，解決分數應用題時逆轉思路，就能切換成倍數應用題，分數應用題其實就是倍數應用題的擴充，轉換的關鍵在于找準“對應的分率”，解題方法與倍數應用題有異曲同工之妙。

總之，應用題的教學，找準數量關系是關鍵，抓住這一根本，引導學生對比分析、類比歸納，把“各自為政”的應用題歸為一統，使學生的思路更開闊，思維水平得到質的飛升。

（責編 楊偲培）