促進核心素養提升的微專題復習實踐與感悟

吳小明

摘? 要：“微專題”復習是以學生在高考中的某個熱點、難點、易錯點或數學解題思想的應用等作為主題來研討，退回到該知識的“最原始”概念處復習的一種技法。通過三個具體的復習案例來展示“微專題”復習法的思維過程與建構方法。

關鍵詞：專題;素養;思維;設計;實踐

一、現狀剖析

高三數學復習是對中學數學知識的重建構、再完善，是學生學習能力及核心素養再提升的過程。如果說一輪復習是高三復習的“形成期”，那么二輪復習是高三復習的“整合期”。這里的整合，既有各分支內部的整合（大單元復習），又有各分支之間的整合（微專題復習），這與高考的命題策略是完全一致的，這一階段必須協調好專題訓練與綜合訓練的關系，力求做到兩者之間的有機結合。

隨著高考二輪復習的不斷深入，各地調研試題的新鮮出爐，綜合訓練頻率的逐步增加，會導致學生備考心理失衡，出現焦慮不安、眼高手低、急于求成等現象，陷入常規題易做錯、難題做不出的困境，數學成績不升反降。課堂上學生出現興趣不濃、參與率不高的現象，課堂教學效果大打折扣。

面對這種現狀，在二輪復習中，有效地開展“微專題”復習教學研討與實踐，極大地調動了學生復習的積極性與主動性，提升了學生的基本知識、基本技能、基本思想方法、基本活動經驗積累，對學生數學能力與核心素養的培養頗有成效，深受學生的喜愛。

二、專題建構

復習效果的好壞，關鍵因素是教師必須樹立良好的課程意識，即教學中選擇什么內容或材料作為復習的重點，其有效性和針對性更強;其次才是怎么教的問題。

“微專題”復習是以學生在高考中的某個熱點、難點、易錯點或數學解題思想的應用等作為主題來研討，回到該知識的“最原始”概念處復習的一種技法。再依托新穎的材料、寬泛的背景，通過設計一條清晰的主線串起這些問題，以適合不同層次的學生參與課堂復習活動，讓學生學會分析與聯想、比較與選擇等策略，在激活知識的同時提升學習能力與核心素養。

“微專題”復習建構方法可概括如圖所示：

三、實踐案例

（一）基于數學方法應用的“微專題”復習建構

方法能指引學生激活知識、解決數學問題。可以說不提煉一些固有的解題方法，學生學習及解題能力不可能得到質的升華。在教學實踐中，教師應結合相關熱點思維方法設計對應的“微專題”，對思維方法的來源進行剖析挖掘，對相近的方法進行比較綜合，對基本的題型進行變式，有效地幫助學生形成必要的定勢思維，即所謂的“通法”，提高學生的實戰解題能力。

案例1.“三角形中的三角函數”的微專題復習設計片斷

（1）知識激活，回歸教材。

引例：如圖，在△ABC中，∠B=45°，點D在BC邊上，AD=5，AC=7，DC=3，則AB的長為______________.

分析：在△ABC中，多了條AD線后，形成了多個三角形。此時我們需要在圖中標出已知條件，尋找可解三角形。注意到△ACD三邊都已知，這個三角形可解。再分析未知目標，需要求解AB長，盡可能地放在條件比較多的△ABC中，已知一邊一對角，欲求另一邊，只需另一對角即可。

反思：通過上述分析過程，反思可以直接解三角形的條件有哪些？回歸到書本上解三角形的兩大工具——正弦、余弦定理及其適用條件，強化定理的選擇與優化，提升學生發展的邏輯推理素養。

（2）題組比較，方法提煉。

變題1：

在△ABC中，AD為BC邊上的中線，且∠BAC=120°，BC=2? 21 ，AD=3，則AC的長為_______________.

變題2：

在△ABC中，AD為BC邊上的中線，且AB=4? 3，AC=2? ?3，

∠BAD=30°則BC的長為________________.

分析：在引例的基礎上，把AD線改為中線后，改變已知條件，使得沒有哪一個三角形可以直接求解，加大了題目的難度。學生在圖形中標出已知條件后，感覺隨便哪個三角形都缺條件可解，也就下不了手。這時候我們需要在標注未知的條件時，尋找關聯的條件并進行標注。如變題1，△ABC中已知一角及一對邊，未知一條邊，關聯一角或一邊使得△ABC可解;△ADC中已知兩邊未知第三邊，關聯任一角使得△ADC可解;△ADB中也已知兩邊未知第三邊，關聯任一角使得△ADB可解;綜上，AB可以將三個三角形關聯起來，這時候引進AB新變量，建立關于AB和AC的方程組，通過解方程組法可以將問題迎刃而解。

反思：通過上述分析過程，反思兩個變題的聯系及其處理方法的異同？可以發現：兩個變題的處理方法完全一致，，都是列方程組法，且都是“知三求一”的過程，而區別僅在于已知量和未知量的位置交換。從特殊到一般再到特殊的邏輯思維，再次提升了學生的邏輯推理素養。再反思如何會想到引進新的變量建立方程組的想法？這是從無到有，由遠及近的探究方法，從學生的最近發展區展開引導，歸納得到“通法”的同時，更重要的是實現了學生核心素養的提升。

（3）回歸本質，素養升華。

反思：這兩個變題的背景都是三角形的中線，研究的問題其本質是什么？

能不能有新的想法？教師引導學生探求問題的本質，在解題的過程中意外地收獲了三角形中線長定理：三角形兩邊平方和的兩倍等于它第三邊的平方與第三邊中線長平方的四倍之和，這與平面向量中的極化恒等式是一致的。如果預料到了這一點，還可以簡化問題。這是教師引導學生的對數學抽象素養的發展，也是對學生邏輯素養的深度升華。

（二）基于教材問題變式的“微專題”復習建構

在復習中，師生往往過多關注題目，忽視了教材。教材應是高考的源頭，更是復習必須回歸的原點，在復習中，教師應在源于教材又高于教材的基礎上，積極地“溯源登高”，既要重溫教材，追蹤其在知識結構、編排體系、問題設計等方面存在的痕跡，更要挖掘教材問題，探索命題發展的趨向，并透視教材的基礎性，展現髙考的導向性。

（1）尋根溯源，挖掘“生長點”。

“微專題”復習應體現知識的整合和聯系，探尋其本源，挖掘“生長點”，揭示所學知識的背景及內在規律。在復習中找到一條主線將一些散落的知識點按照內在邏輯將其系統地串聯起來，達到知識的融會貫通。

案例2.“隱形圓”的“微專題”復習設計片斷。

引例：在平面直角坐標系xOy中，A為直線l：y=2x上在第一象限內的點B（5，0），以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D，若AB·CD=0，則點A的橫坐標為___________

分析：由2018江蘇數學高考12題引入，基礎較好的學生會從“△ADC是一特殊的等腰直角三角形”下手，利用幾何法分析得到AB直線方程，再聯立已知直線l方程便可得到點A的橫坐標;相對一般的學生也能通過代數法，聯立圓C的方程和直線l方程，先得到D點的坐標，再利用向量垂直關系建立A點橫坐標的方程進而得到A點的橫坐標。

反思：兩種解法的區別在于：前一種是探求A點運動的軌跡，既在已知直線l上又在直線AB上（核心）;后一種是探求D點運動的軌跡，既在直線l上又在圓C上（核心）;線線交點算法優于線圓交點。但究其本質，都是在探求動點的軌跡，而探尋“隱形圓”又是一個難點。

聯想：

1.已知直線l：x-y+2=0 與x軸交于點A，點P在直線l上，圓C：（x-2）2+y2=2上有且僅有一個點B滿足AB⊥BP，則P點的橫坐標為____________.

2.已知點A（1，0），B（4，0），若直線x-y+m=0上存在點P，使得2PA=PB， 則實數m的取值范圍為______________.

3.已知A（2，3），B（6，-3），點P在直線3x-4y+3=0上，若滿足等式AP·BP+2λ=0的點P有兩個，則實數λ的取值范圍是_____________.

4.已知圓C： x2+y2-4x=0及點A（-1，0） ， B（1，2） ， 圓C上是否存在點P，使得PA2+PB2=12？ 若存在，求出P點個數，若不存在，說明理由。

分析：通過探求動點的運動軌跡，歸納總結得到圓的一些隱含的說法，如：到定點的距離等于定值的隱形圓（定義圓）;到兩定點距離之比為一定值的隱形圓（阿波羅尼斯圓）;與兩定點的連線互相垂直的隱形圓（直徑圓）;到兩定點的距離平方和為定值的隱形圓等（平方圓）。將“隱形圓”巧現出來，形成對“圓”認識的一般抽象，而這其中的難點應在于抽象得到這樣的“隱形圓”模式。

應用：在平面直角坐標系xoy中，已知A，B為圓C： （x+4）2+（x+4）2=16上兩個動點，且AB=2 11 . 若直線l：y=2x上存在唯一的一個點P ， 使得PA+PB=OC，則實數a的值為_______________________.

分析：學生由前面獲取的活動經驗積累，取AB中點D，由CD=? 5 將D點運動軌跡的“隱形圓（定義圓）”顯現出來，進而得到P點的軌跡使得問題得以解決。學生運用知識原點，在由此及彼生成新知識的過程中，不僅鍛煉了思維能力，還學會舉一反三、觸類旁通，能有效提升核心素養。

（2）凸顯疑點，設計“問題串”。

針對學生的疑難點，有效幫助學生解決實際困惑。在復習教學時，可以依據教材借助學生的疑問創設問題情境，喚醒舊知識，引導學生主動建立復習目標，并采用變式訓練、題組策略、問題串設計來編制微專題。通過設置“問題情境一問題串設計一真題檢測”完成微專題復習。其中，問題情境必須提煉學生的問題所在，即提出一堂課的核心問題;問題串設計可以將學生的問題回到最簡單、最本質的地方，通過變換問題背景，逐步深入問題的核心;最后的真題檢測，是檢驗所學知識、方法的應用過程。

案例3.“函數的圖像與性質”的“微專題”復習設計片斷。

習題：設函數f（x）是定義在R上的奇函數，當x≤0時，f（x）=2x2-x，則x>0時，f（x）=____________________

問題1：解決函數問題我們一般先考慮用什么方法？（圖像）

問題2：思考上題，如何求解？（利用奇函數圖像關于原點對稱的性質）

問題3：利用“對稱”解題很方便，有別的想法嗎？（利用奇函數的定義）

問題4：抓住“定義”解題，也是種常規方法。回顧剛剛這個問題，與函數的什么性質有關？（奇函數的定義、對稱性）

問題5：若已知函數是奇函數，我們經常會處理的題型？（f（0）=0）

問題6：也就是特殊值求法，比如怎么求f（1）？f（2）？

問題7：求出f（1），f（2）后，我們又可以用什么方法解決剛剛的習題？（二次函數：待定系數法）這樣我們可以解決一類“已知函數類型求解析式”的問題。

問題8：有句成語說：“窺一斑見全貌”，圖像對稱又有什么一般特點？（由奇函數的性質知，圖像上任意一點（x，y）關于原點對稱的點（-x，-y）也在該圖像上，同樣可以解決剛剛的習題）這樣我們又可以解決一類“軌跡”問題。

問題9：那么用什么方法最簡單？（對稱）

分析：用反思的方式、問問題的結構來推進教學：反思理解題意的過程，提高問題意識;反思數學知識的應用，完善知識結構;反思基本解題規律，掌握基本解題方法;反思一題多解，強化解題能力;反思解題方法的優劣，優化解題體系。

四、結語

“微專題”復習教學能有效地幫助學生更好地清除盲點、強化重點、突破難點、糾正易錯點，課堂形式活潑多樣，學生能積極思考、主動配合、層層深入，小組討論高效有序，課堂充滿生機與活力?！拔ｎ}”在知識整合和優化上具有得天獨厚的優勢，教師應系統地把握學情、考情、教材、考綱等，注重聯系與發展，注重熱點與難點，注重感悟與提煉，可引領學生進行高效的教與學，有助于學生深度參與、深度學習、深度反思。