立足于數(shù)學(xué)本原 提高數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)
——一道解析幾何題的探討與推廣

江蘇省泰州市羅塘高級中學(xué) 趙允星

文章通過對一道高三模擬題的思考，層層遞進地設(shè)計出一系列具有高度思維價值的問題，定位于高考考查的重難點，立足于數(shù)學(xué)的本原，更有利于培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》提出了高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)，即：數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象。從數(shù)學(xué)發(fā)展的角度來看，要求學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光觀察問題、會用數(shù)學(xué)的思維思考問題、會用數(shù)學(xué)的語言表述問題。因此，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心。而如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是當(dāng)今絕大多數(shù)老師思考的問題。常見的數(shù)學(xué)教學(xué)有三種模式：一是以情境創(chuàng)設(shè)為開篇，逐步引導(dǎo)學(xué)生認識新知識，再以例題講解加以鞏固；二是以知識點為主線，以點帶題，層層深入；三是以例題為載體，將知識點串聯(lián)起來。然而在日常的教學(xué)過程中，很多老師都會遇到這樣的問題：學(xué)生在遇到一些有難度的題目時往往觀察不出問題的結(jié)構(gòu)，以致無法關(guān)聯(lián)相關(guān)的知識。筆者在一道高三模擬題研究的基礎(chǔ)上進行推廣探究，這樣可以實現(xiàn)知識的類比聯(lián)系，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

一、問題呈現(xiàn)

例題：如圖所示，F(xiàn)為拋物線C：y2=8x的焦點。過點F的直線l與拋物線C交于M、N兩點。試確定在x軸上是否存在點P，使得PM、PN關(guān)于x軸對稱？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由。

解法探究一：若存在點P，使PM、PN關(guān)于x軸對稱，則kPM=-kPN，由此求得P點坐標。

由kPM+kPN=0 得a=-2，此時P（-2，0）。

所以，當(dāng)直線l垂直于x軸時，此時P為除F的一切點；當(dāng)直線l不垂直于x軸時，P點坐標為（-2，0）。

解法探究二：若存在點P，使得PM、PN關(guān)于x軸對稱，由對稱性可知，點N關(guān)于x軸的對稱點N1為PM與拋物線的交點，可以證明直線MN1過定點P。

解答：（1）若直線l垂直于x軸，此時P為除F的一切點。

即點P坐標為（-2，0）。

所以，當(dāng)直線l垂直于x軸時，點P為除F的一切點；當(dāng)直線l不垂直于x軸時，P點坐標為（-2，0）。

針對本題，若只是通過常態(tài)的教師展示講授，可能導(dǎo)致學(xué)生對于題目的理解和把握僅僅停留在機械的記憶和模仿層面，缺乏思考與探究，更不能靈活地整合知識、遷移知識，無法解決類似的問題。這顯然與新課程理念不相符。筆者希望學(xué)生能將這道例題的研究方法和思維形式化為思維習(xí)慣，從而使學(xué)生能夠觸類旁通，進而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。在有了類似的解題經(jīng)驗之后，根據(jù)數(shù)學(xué)抽象可以將已有數(shù)學(xué)命題進行整合類比，進而推廣到更一般的情形中，能夠在新的情境中選擇和運用數(shù)學(xué)方法來解題，以達到觸類旁通的效果，這正是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的內(nèi)涵要求。

二、推廣探究

PM，PN關(guān)于x軸對稱？

解法探究：若存在點P，使得直線PM，PN關(guān)于x軸對稱，由對稱性可知，點N關(guān)于x軸的對稱點N1為直線PM與橢圓的交點，可以證明直線MN1過定點P。

解答：設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則N關(guān)于x軸的對稱點為N1（x2，-y2）。

三、反思與結(jié)語

本文立足于數(shù)學(xué)的本原，采用特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，通過“例題+推廣探究”的形式，讓學(xué)生體會從一個問題到一類問題的歸納過程，從而抓住圓錐曲線中定值定點問題的本質(zhì)，同時學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光處理結(jié)構(gòu)→提取特征→關(guān)聯(lián)知識思想方法→生成解法→解決問題，這是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的內(nèi)涵，也是落實數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的要求。