立足于數學本原 提高數學抽象素養
——一道解析幾何題的探討與推廣

江蘇省泰州市羅塘高級中學 趙允星

文章通過對一道高三模擬題的思考，層層遞進地設計出一系列具有高度思維價值的問題，定位于高考考查的重難點，立足于數學的本原，更有利于培養學生分析問題和解決問題的能力。

《普通高中數學課程標準》提出了高中數學六大核心素養，即：數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析、邏輯推理、數學抽象。從數學發展的角度來看，要求學生會用數學的眼光觀察問題、會用數學的思維思考問題、會用數學的語言表述問題。因此，培養學生的數學抽象思維是數學教學的核心。而如何培養學生的數學抽象素養是當今絕大多數老師思考的問題。常見的數學教學有三種模式：一是以情境創設為開篇，逐步引導學生認識新知識，再以例題講解加以鞏固；二是以知識點為主線，以點帶題，層層深入；三是以例題為載體，將知識點串聯起來。然而在日常的教學過程中，很多老師都會遇到這樣的問題：學生在遇到一些有難度的題目時往往觀察不出問題的結構，以致無法關聯相關的知識。筆者在一道高三模擬題研究的基礎上進行推廣探究，這樣可以實現知識的類比聯系，以提高學生的數學抽象素養。

一、問題呈現

例題：如圖所示，F為拋物線C：y2=8x的焦點。過點F的直線l與拋物線C交于M、N兩點。試確定在x軸上是否存在點P，使得PM、PN關于x軸對稱？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由。

解法探究一：若存在點P，使PM、PN關于x軸對稱，則kPM=-kPN，由此求得P點坐標。

由kPM+kPN=0 得a=-2，此時P（-2，0）。

所以，當直線l垂直于x軸時，此時P為除F的一切點；當直線l不垂直于x軸時，P點坐標為（-2，0）。

解法探究二：若存在點P，使得PM、PN關于x軸對稱，由對稱性可知，點N關于x軸的對稱點N1為PM與拋物線的交點，可以證明直線MN1過定點P。

解答：（1）若直線l垂直于x軸，此時P為除F的一切點。

即點P坐標為（-2，0）。

所以，當直線l垂直于x軸時，點P為除F的一切點；當直線l不垂直于x軸時，P點坐標為（-2，0）。

針對本題，若只是通過常態的教師展示講授，可能導致學生對于題目的理解和把握僅僅停留在機械的記憶和模仿層面，缺乏思考與探究，更不能靈活地整合知識、遷移知識，無法解決類似的問題。這顯然與新課程理念不相符。筆者希望學生能將這道例題的研究方法和思維形式化為思維習慣，從而使學生能夠觸類旁通，進而提升學生的數學綜合素養。在有了類似的解題經驗之后，根據數學抽象可以將已有數學命題進行整合類比，進而推廣到更一般的情形中，能夠在新的情境中選擇和運用數學方法來解題，以達到觸類旁通的效果，這正是數學抽象素養的內涵要求。

二、推廣探究

PM，PN關于x軸對稱？

解法探究：若存在點P，使得直線PM，PN關于x軸對稱，由對稱性可知，點N關于x軸的對稱點N1為直線PM與橢圓的交點，可以證明直線MN1過定點P。

解答：設M（x1，y1），N（x2，y2），則N關于x軸的對稱點為N1（x2，-y2）。

三、反思與結語

本文立足于數學的本原，采用特殊到一般的數學思想，通過“例題+推廣探究”的形式，讓學生體會從一個問題到一類問題的歸納過程，從而抓住圓錐曲線中定值定點問題的本質，同時學會用數學的眼光處理結構→提取特征→關聯知識思想方法→生成解法→解決問題，這是數學抽象素養的內涵，也是落實數學抽象核心素養的要求。