關注平面區域的其他解題功能

浙江省杭州市富陽區江南中學 (311421) 余 濤

在一些題目中經常會出現關于兩個變量的不等式(組)，或者在推理化簡過程中出現此類情形，那么此類問題解決的一個重要思路就是找出不等式(組)所對應的幾何意義，即用平面區域分辨出變量在平面中的變化范圍，從而抓住解題的契機，本文通過對幾個典型問題的分析與探究，揭示平面區域的其他解題功能，供讀者朋友參考．

1、求幾何概率

在一些求概率問題中，常涉及兩個變量在一定的約束條件下變化，必須用平面區域將問題幾何化，利用平面幾何知識幫助解題．

例1 已知關于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0，若a是區間[0，3]內任取的一個實數，b是區間[0，2]內任取的一個實數，求上述方程有實根的概率．

圖1

評注：通過分析題目可知，本題是關于兩個實數對的問題，而且這兩個實數還有其他的約束條件，這就需要我們通過畫出對應的構成區域，研究滿足題意的各自的面積，然后由面積比解決問題．

2、求三角形中的范圍

在一些關于三角形的問題中，因為三角形的三邊之間存在約束條件，而有的題目本身也給出一些構成條件，這樣通過轉化就形成一些約束范圍，利用這個范圍就是解題中的重要步驟．

評注：本題雖然是一個解三角形的問題，但在解決后面的取值范圍問題時必須由線性區域來幫助完成，體現了此知識點應用廣泛性，同樣，在很多范圍問題中都隱藏著這一情況．

3、解決函數中的參數范圍

在求函數的最大值或最小值問題中，如果已經給出了一些不等條件，在使用這些條件組時，應該考慮到用平面區域協助求出公共的范圍，這樣才能準確的確定相關參數的取值范圍．

例3f(x)是定義在R上的增函數，且對任意的x都有f(1-x)+f(1+x)=0恒成立，如果實數m、n滿足不等式f(m2-6m+23)+f(n2-8n)<0(m>3)，求m2+n2的取值范圍．

圖2

評注：本題主要考查內容是函數性質的運用，當問題經過化簡和推演后變成了一個含有兩個變量的不等式，如何繼續？就得需要畫平面區域幫助解決．

4、確定大小關系

對于含有兩個變量的不等式組中，不只是線性區域的內容，也有許多是非線性區域的，如關于圓錐曲線的，同樣的方法，我們也是通過畫出相關的平面區域協助解題．

圖3

評注：用平面區域將給出的不等關系的幾何意義表示出來后，所需比較兩個實數的大小問題就是一個特殊情況下的結果，所以對獲得的平面區域分析研判就是解題核心所在．

5、解決多元最值

一個表達式如果能取到最大值或最小值，都是在特定情形或特殊位置上取得的，如果給出條件是不等關系，那么這個特殊情況就是某個極限位置，用畫平面區域的方法可以比較直觀地找到極限位置．

圖4

評注：首先將待求的絕對值變形轉化為求動點到定直線的距離的最小值問題；而將給出的二元三次不等式分解成熟悉的二次不等式與一次不等式組，利用平面區域表示出它的幾何意義，通過分析研判得到解題方案是成功解題的關鍵．