怎樣解答圓錐曲線定點問題

王慧嫻

同學們對圓錐曲線中的定點問題并不陌生，此類問題一般較為復雜，側重于考查同學們的邏輯思維能力和運算能力.解答此類問題一般有兩種思路：先設后求和設而不求.下面我們結合一道題目來進行探討.

例題：已知A，B分別是橢圓的左、右頂點，點G是橢圓的上頂點，點P為直線x=6上的動點，PA與橢圓的另一交點為C，PB與橢圓的另一交點為D，證明：直線CD過定點.

我們可先根據題意繪制出圖形，以便明確各點、線之間的位置關系，這樣也方便尋找解題的思路.要證明直線CD過定點，需先結合題意求出直線CD的方程，然后根據一次等式的性質來求得定點的坐標.

一、先設后求

先設后求是指先設出直線的方程或點的坐標，然后根據題意進行求解.該思路較為直接，是大部分同學慣用的解題思路.對于本題，我們可先設出P點的坐標，以便根據直線的兩點式求得直線AP、BP的方程，再將直線方程和圓錐曲線方程聯立，求得點C、D的坐標和直線CD的方程，便能快速確定定點的坐標.

解：由題意可得A（-3，0），B（3，0），設點P（6，t），

則直線AP的方程為，

聯立線AP的方程和橢圓的方程可得

解方程可得x=-3或，

則點，

同理可得點，

則直線CD的方程為，故直線CD過定點??? .

二、設而不求

設而不求是指設出相關的點、直線的方程，而不求出它的具體值，并將其當作已知的值代入題設中進行求解.在求解圓錐曲線的定點問題時，我們可將問題中動點的坐標設出來，將其視為定點來進行求解.對于本題，我們可設C（x1，y1），D（x2，y2），然后聯立直線和橢圓的方程，通消參得到一元二次方程，進而得到關于x1、y1、x2、y2的表達式，對過定點的直線的解析式進行化簡、整理，即可得到定點的坐標.

解：由題意可得A（-3，0），B（3，0），

設點P（6，n），當n=0時，CD=BA，

當n≠0時，設C（x1，y1），D（x2，y2），

∵直線，直線，

聯立線AP的方程和橢圓的方程可得

化簡整理可得（n2+9）y2-6ny=0，

∴，，

∴點，

同理可得，

當，n2=3時，，

當，n2≠3時，直線CD斜率為，

∴直線CD的方程為，

∴直線CD過定點??? .

通過上述分析，同學們可以發現，運用先設后求、設而不求兩種不同的思路求解圓錐曲線定點問題，可以得到不同的解題方案.雖然運用這兩種思路解題的運算量都比較大，但是不同的解題思路有其不同的優勢.相比較而言，第一種思路較為直接，第二種思路較為靈活.同學們要善于發現不同的解題思路，以便優化解題的方案.

（作者單位：江蘇省啟東市東南中學）