信息論中的高階導(dǎo)數(shù)插值方法

李冱岸 劉曉陽

摘 要：對復(fù)雜信號函數(shù)進(jìn)行插值恢復(fù)是信號處理領(lǐng)域中的一個熱門問題，本文利用給出的信號函數(shù)在插值節(jié)點(diǎn)處的高階導(dǎo)數(shù)信息，構(gòu)造出了新的插值恢復(fù)方法，并得到了對一類重要信號函數(shù)進(jìn)行恢復(fù)的收斂結(jié)論。

關(guān)鍵詞：帶有限函數(shù);插值;樣本定理

一、問題背景

香農(nóng)是信息論的創(chuàng)始者，在1940年左右，他明確闡述了關(guān)于信號函數(shù)的樣本定理。

它表示上的帶狀有限信號函數(shù)可由其在可列個等距節(jié)點(diǎn)處的值來完全重構(gòu)，但是，對上的函數(shù)呢？Schmeisser H.J. 和Triebel H在1987年給出上的樣本定理。它表明上的有限帶函數(shù)可以由它在等距離散點(diǎn)處的值在意義下重構(gòu)。

在之后很長一段時間內(nèi)，樣本定理被廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域，很多專家學(xué)者都嘗試去拓展樣本定理。其中包括Butzer[1]和Splettst?sser[2]都給出了這方面的研究結(jié)果。更進(jìn)一步的，本文利用給出的信號函數(shù)在插值節(jié)點(diǎn)處的各階導(dǎo)數(shù)信息，構(gòu)造出了新的插值恢復(fù)方法。

二、對帶有限信號函數(shù)進(jìn)行插值恢復(fù)的主要結(jié)論

帶有限函數(shù)即函數(shù)的傅里葉變換是具有緊支集的一類重要信號函數(shù)。根據(jù)Schwartz定理，，即上的帶狀有限函與上的指數(shù)型整函數(shù)是一致的。

參考文獻(xiàn)：

[1]Butzer P. L.， A survey of Whittaker-Shannon sampling theorem and some of the extension [J]. Math Res. Exposition， 1983， 3：185-212.

[2]Splettst?sser W， T?rnig W. Error estimates for sampling approximation of non-bandlimited functions [J]. Mathematical Methods in the Applied Sciences， 1979， 1（2）： 127-137.

[3]李冱岸，陳佳，李晶，帶二階導(dǎo)數(shù)的插值定理[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2014， 44（11）：300-307.

[4]李冱岸，房艮孫.Hermite型導(dǎo)數(shù)樣本定理和Sobolev類上的混淆誤差[J]. 北京師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2004，40（3）：315-319.

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[6]Jagerman D L ， Fogel L J . Some general aspects of the sampling theorem[J]. IEEE Trans Inform Theorem ， 1956， 2-39.