淺析函數極限的兩種求解方法

顏云

摘要：函數極限是微積分學的基本概念之一，而求解函數極限的方法則是研究函數的重要工具。因此，本文就如何利用一些求解函數極限的兩種基本方法展開論述，包括遞推形式的函數、洛必達法則。本文把每一種方法的使用特點和前提作了詳細說明，再借助一些經典案例加以對比分析，并在過程中滲透每一種解題的思路，旨在能夠熟練地的應用這些方法作為求解函數極限地有力手段。

關鍵詞：函數極限;洛必達法則;遞推形式

1.遞推形式求極限

有些數列常利用遞推形式給出，則完成這樣的一些函數極限的求解問題時，一般可以利用單調有界定理求解函數極限。

定理1^[1]（單調有界定理）在實數系中，有界的單調數列必有極限.

要點：假如可以利用某種方法證明遞推數列的極限存在，然后對此遞推式的兩邊取極限，便可以得到關于所設極限值為A的方程，解此方程即得A值.

①判斷“單調性”的常用方法：

： 當時：單調遞增 當時：單調遞減

： 當時：單調遞增 當時：單調遞減

若則當時：單調遞增;當時：單調遞減

②判斷“有界性”的常用方法：

基本的不等式 數學歸納法 利用單調性 從數列遞推關系式中觀察

例1^[3]證明數列{}收斂，其中，. 并求極限.

分析：首先利用基本不等式進行“有界性”的判定，其次根據極限式的特征利用“作商”來判斷單調性.

證明 由題意可得： 所以{}有下界

又由于： 所以{}單調遞減，從而依據單調有界定理可知：存在 對兩邊取極限可得：

解之可得：.

2.利用洛必達（LHospital）法則求解函數極限

（1）要點

每次使用洛必達法則之前，務必要看清它是否屬于可使用洛必達法則的幾種常見的不定式極限型，否則不可使用。洛必達法則是求解不定時極限的常用方法，而且幾種常用的等價關系也變得十分明顯易記。

例1求極限.

分析：對于本題所求極限式，首先應當進行三角恒等變換，然后不斷地使用洛必達法則進行求解.

解 原式

.

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